剖析子集的应用问题&反思常用逻辑用语中的参数问题-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

解题锦囊 剖析子集的应用问题 ■甘肃省庆阳市宁县第二中学 李爱华 若集合A的每个元素都是集合B 点评：熟记子集的定义是解答本题 的元素，则称集合A为集合B的子集， 的关键。 记作A二B(或B口A),任何一个集合 应用三：求集合的个数 都是它本身的子集。下面介绍子集的 例3已知集合A={1,2},B= 四种应用，供同学们学习。 {x|一1<x<5,x∈N},则满足A二C 应用一：判断集合间的关系 B的集合C的个数为 例1设集合M={菱形}，N= 解：因为集合A={1,2},B={x| {平行四边形}，P={四边形}，Q={正 -1<x<5,x∈N}={0,1,2,3,4},所 方形}，则这四个集合之间的关系是 以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2， ()。 3},{1,2,4},{0,1,2},{0,1,2,3},{0, A.P∈N二M二Q 1,2,4},{1,2,3,4},共有7个。 B.QCMCN∈P 点评：解答本题的关键是理解子集 C.P二M二N二Q 与真子集的含义。若集合A中含有n D.Q二N二MCP 个元素，则集合A的子集个数为2”，集 解：正方形都是菱形，菱形都是平 合A的非空子集个数为2”一1，集合A 行四边形，平行四边形都是四边形，因 的真子集个数为2”一1，集合A的非空真 此Q二MCN二P。应选B。 子集个数为2”一2。 点评：正确判断集合M,V,P,Q 应用四：求参数的取值范围 的包含关系是解答本题的关键。 例4已知集合A={x|-2≤x 应用二：求集合 ≤7}，B={x|m+1<x<2m-1},若 例2（多选题）已知A二B,A三 B二A,则实数m的取值范围是 C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则 解：当B=⑦时，由m+1≥2m 集合A可以是( )。 1,可得m≤2。当B≠⑦时，由B二A, A.{1,8} B.{2,3} m+1≥-2， C.{1 D.{2} 可得2m-1≤7， 解得2<m≤4。 解：因为A二B,A二C,B={2,0, m+1<2m-1, 1,8},C={1,9,3,8},所以集合A中 综上所述，m≤4。 定含有集合B,C的公共元素，结合选 点评：由集合间的关系求参数问 项可知A,C满足题意。应选AC。 题，不能忽视空集的情形。 19 解题锦囊 十1=0有两个不相等的负实数根，命 题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无 反思常用逻辑用语中的 实数根，若“p或q”为真命题，“p且q” 为假命题，求实数m的取值范围。 参数问题 解：当力为真命题时，可得 △1=m2-4>0, 解得m>2;当g为真 -m<0, 命题时，由△2=16(m一2)2一16<0， ■华中师范大学苏州实验高级中学 解得1<m<3。 张凤卿 由命题的真假知p和q一真一 假，下面分两类讨论：若p真q假，则 常用逻辑用语中的参数问题是集 m>2, 合与函数、不等式综合考查的重点。下 解得m≥3；若p假q m≤1或m≥3， 面结合例题梳理三类题型的求解方法， m≤2， 供同学们学习。 真，则 解得1<m≤2。 1<m<3, 题型一：充分条件与必要条件类 综上可得，m∈(1,2]U[3,+∞)。 例1已知命题p:x2-3x一4≤ 反思：解答命题含参数问题的关键 0,命题q:x2-6x+9-m2≤0(m> 是紧扣“或、且、非”的真假逻辑，求出命 0),若p是q的充分不必要条件，求实 题成立的参数范围。 数m的取值范围。 题型三：量词命题恒成立类 解：易得p:-1≤x≤4，q:3-m≤ 例3已知Hx∈[1,3]，x2-ax x≤3+m(m>0)。记集合A= +3≥0恒成立，求实数a的取值范围。 [-1,4],B=[3-m,3+m](m>0)。 因为力是q的充分不必要条件，所以 解：分离参数得a≤x+,要使其 m>0, 在x∈[1,3]上恒成立，则需a≤ A王B,所以 3-m≤-1，解得m≥4， (+)·由基本不等式得 3+m≥4， min 即实数m的取值范围为[4，十∞)。 +3) =25,故a≤25，即实数 min 反思：解题时，要验证端点值，区分 包含与相等，避免误判范围或漏判无解 a的取值范围为（一c∞，23]。 的情况。 反思：全称量词命题对应恒成立问 题，可将其转化为函数的最值问题进行 题型二：复合命题真假类 求解。 例2已知命题p:方程x2+mx 20