平面向量中的最值(范围)问题题型例析-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化贺织锁挚与器年6月 得)亚面向量中的最值（范围）问题题型刷析 ■洪高翔 平面向量中的最值（范围）问题是高考考 查的热点，也是同学们学习的难点，此类问题 时，P才·(P店+P元)取得最小值- 2 2 综合性强，体现了知识的交汇与融合。 应选B。 题型1：与参数有关的最值（范围）问题 评注：坐标法是求数量积的最值（范围） 例1已知m>0,平面向量a=(m2+ 问题的一种常用方法，通过建立直角坐标系， 2,m),b=(入，1)。若a∥b,则实数a的取值 利用向量的坐标运算转化为代数问题进行处 范围是。 解：由a=(m+2,m),b=(入，1)，a∥b, 理。证意题中平方关系式、()是 可得m入=m2十2。 非负数。 因为m>0,所以A=m+2=m十2≥ 题型3：与模有关的最值（范围）问题 例3已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 2√2，当且仅当m=√2时取等号，所以实数入 的取值范围是[2√2，十©∞)。 3,a与b的夹角为吾，则a+b1(a∈)的取 评注：设向量a=(x1,y1),b=(x2y2), 值范围是( )。 向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y:一 A.[1,5] B.[0,+∞) x2y1=0。 C.[0,5] D.[1,+o∞) 题型2：与数量积有关的最值（范围）问题 解：因为|a|=2,b|=3,a与b的夹角 例2已知△ABC是边长为2的等边三 为晋，所以a·b=2×3×c0s晋-35，所以 角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB 十PC)的最小值是( )o |a+λb12=a2+2aa·b+λb2=9λ2+6W3λ B.一2 3 十4。由二次函数的性质可知，当入=- √3 A.-2 3 c- D.-1 时，a+ab|2取得最小值1，所以|a+b|2≥ 1,所以|a+ab|≥1，即|a+ab|(入∈R)的取 解：如图1，以等边三角形ABC的底边 值范围为[1，十∞)。应选D。 BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线 评注：二次函数是熟悉的函数，利用其性 为y轴建立平面直角坐标系。 质求解最值（范围）是常用的方法。已知函数 b y=ax+bx+c(a>0),当x=-6时，yn Aac-b2 Aa 题型4：与夹角有关的最值（范围）问题 图1 例4已知向量a,b,c满足|a|=1,b= 由题意得A(0,W3),B(一1,0)，C(1,0)。 一2a,c一b=2|c一a,则向量c一b与a 设点P(x,y),则PA=（一x,N3-y),PB 的夹角的正切值的最大值为。 (-1-x,-y),PC=(1-x,-y),所以PA· 解：由a|=1,b=-2a,可知|b|=2,且 (PB+PC)=(-x,3-y)·(-2x,-2y) a·b=-2a·a=-2a12=-2。 =2x+2(6-号】 ) 是，所以当=0y 由|c一b|=2|c一a|两边平方得|c|2+ 1b12-2b·c=4|c2+4|a12-8a·c,即4+ 16 商一黄学识结胸军柄骨中学生款理化 4a·c=3|c|2+4一8a·c,整理得a·c= 日C+号a·AC,即4=音+ 4 6+ c。设向量c一b与a的夹角为a,则〈c 1 -b,a)=a∈[0，x],所以cosa=c-b）·a bcc0s60°，整理得b+4c2+2bc=36,所以 4 c-ba (b+2c)一36=2bc。又因为2bc≤ =a·c-a·b4e1+2 -,即 |c一b 21c-aT。因为1e-a1= 生2)，所以6+2c)-86<6+20 4 (b+2c)≤48，所以b+2c≤4√3，当且仅当 √Tc2+a2-2a·c= 「1 √2c+1,所以 b=2c时等号成立，所以b+2c的最大值为 c2+2 4 c2+2 4√3。 4 cos a 评注：基本不等式可以正用、逆用和变形 2|c-a 1 2√2c1+1 应用。若a:6∈，则Va瓜≤士< 8(2c1+4)+ 3 2 1 a+6 √/2c2+4 ,当且仅当a=b时等号成立。 √21c2+4 8 2 3 1×3= 3 2√2e2+4 ≥2√8×2 ,当且仅当 感任与收 8V2c+4 3 已知OA,OB是两 ,即|c|=2时 2√2c2+4 个夹角为120°的单位向 B 等号成立，所以夹角α∈ π 根据正切 量，如图2所示，点C在 以O为圆心的AB上运 函数的单调性得tana≤tan √ 6 3,所以向 动。若OC=xOA+ 图2 OB,其中x,y∈R,则 量c一b与a夹角的正切值的最大值为3。 x十y的最大值是( )o 评注：解题时，由|c一b|=2c一a,可得 A.2 B.2 C.3 D.3 。·c=子c,再利用向量的数量积公式求 提示：以O为坐标原点，OA的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系如图2。 出向量c一b与a的夹角的范围，最后利用正 设C(cos0,sin0),0°≤0≤120°，则点A(1, 切函数的性质求得最大值。 题型5：与代数式有关的最值（范围） 0,点B(←2，经.南0成=x1,0)+ 问题 例5已知△ABC的内角A,B,C的对 (-合，）=(cos9,sin0,可得x一安 - 边分别为a,b,c,A=60°，D为BC上一点， 且AD=2.A币=号A店+号AC,则6+2c的 CosB,/3,snB,所以号3y=√3snB,所以 最大值是( )。 x+y=(e-2)+号y=cos0+万sim0 A.27 B.43 2sin(0十30°)。因为0°0120°，所以30° 7 0+30°≤150°，所以当0=60°时，x十y取得 C.6 D.5√2 最大值2，此时C为AB的中点，所以x十y 解：由市-号A正+号A亡，可得A市 的最大值是2。 作者单位：福建省泉州外国语学校 (号A店+号A心)，所以4=号 AB1+ (责任编辑王琼霞) 17