统计问题常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

经典题突座方清中学生教理化 高一数学2026年6月 统计问题常见典型考题赏析 ■杨红 题型1：抽样方法的选取及应用 部分频率分布直方图。 当总体容量较小，样本容量也较小时，可 ◆频率/组距 采用抽签法：当总体容量较大，样本容量较小 0.025…… 0.02 时，可采用随机数法：当总体中个体差异较显 0.015 0.01 著时，可采用分层随机抽样。掌握简单随机 0.005… 十□分数/分 抽样和分层随机抽样方法，可以提升数据分 405060708090100 析素养。 图1 例1某班45名同学都参加了立定跳远 观察图形给出的信息，回答下列问题。 和100m跑两项体育学业水平测试，立定跳 (1)求第四组的频率，并补全这个频率分 远和100m跑测试合格的人数分别为30和 布直方图。 35,两项都不合格的人数为5。现从这45名 (2)估计这次竞赛成绩的及格率(60分 同学中按测试是否合格分层（分成两项都合 及以上为及格)和平均分（同一组中的数据用 格、仅立定跳远合格、仅100m跑合格、两项 该组区间的中点值代表)。 都不合格四种)，若用比例分配的分层随机抽 解：(1)因为各组的频率之和等于1，所 样的方法从中抽取9人进行复测，那么应从 以第四组的频率f4=1一(0.025十0,015×2 两项都合格的人中抽取的人数为 +0.01+0.005)×10=0.3,所以频率分布直 解：总人数为45，两项都不合格的有5 人，因此至少有一项合格的人数为45一5= 方图中第四组的纵坐标是，3=0.03。补全 10 40。设两项都合格的人数为x,则30+35 的频率分布直方图如图2所示。 x=40,即x=25。从45人中抽取9人进行 ◆频率/组距 复测则轴样比为器号，所以应从两项都合 0.03 0.025 0.02 格的人中轴取的人数为25×言=5。 0.015 0.01 0.005 一分数/分 题型2：用样本的取值规律估计总体的 405060708090100 取值规律 图2 用样本估计总体的取值规律是数据分析 (2)依题意得60分及以上所在的第三、 的核心任务之一。绘制频率分布直方图时需 四、五、六组的频率之和为(0.015十0.03十 注意的两点：制作好频率分布表后，可以利用 0.025+0.005)×10=0.75,所以估计这次竞 各组的频率之和是否为1来检验该表是否正 赛成绩的及格率是75%。利用组中值估计 确：频率分布直方图的纵坐标是频率 组距 抽样学生成绩的平均分为45×0.1+55× 例2某中学团委在中国共产党成立庆 0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95 祝日时，开展有关中国共产党历史事迹知识 ×0.05=71(分)，所以估计这次竞赛成绩的 竞赛，满分为100分。学校规定60分为及格 平均分是71分。 分，为了统计每个班级的合格率，要求班主任 题型3：用样本的百分位数估计总体 将其成绩（均为整数）分成六段：[40,50)， 四分位数：第25百分位数，第50百分位 [50,60),…,[90,100]后，画i出如图1所示的 数，第75百分位数，这三个分位数把一组由 45 经典题突破方法 中学生数理化高数学202年6月 小到大排列后的数据分成四等份，因此称为 近似代替总体的平均数和方差（标准差），呈 四分位数。由频率分布直方图求百分位数 现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实 时，一般采用方程的思想，设出第p百分位 现对总体的估计。 数，根据百分位数的意义列出方程求解。 例5在某县100万户家庭中随机抽取 例3某次数学考试后，抽取了20名同 200户家庭，对其2025年的全年收入进行调 学的成绩作为样本，绘制了如图3所示的频 查，调查结果的频率分布直方图如图4所示。 率分布直方图。 ◆频率/组距 频率/组距 0.31 0.3 7ab-..--.------ 6a 3a 2a 0.14 成绩/分 0.1-- 0.06 5060708090100 0.02 年收入万元 图3 试估计样本数据的第一四分位数和第 图4 80百分位数（保留三位有效数字）。 (1)估计这200户家庭的全年收入的样 解：由题图可知，2a+3a+7a+6a十2a 本平均数x和方差s(同一组中的数据用该 =0.1,所以a=0.005,则[50,60)，[60,70)， 组区间的中点值代表)。 [70,80),[80,90),[90,100]对应的频率分别 (2)用样本的频率分布估计总体分布，估 为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，前两组的频率 计该县100万户家庭中全年收入低于1.5万 之和恰为0.25，所以第一四分位数为70。 元的数量。 前三组的频率之和为0.6，前四组的频 解：(1)估计这200户家庭的全年收入的 率之和为0.9，所以第80百分位数在第四组。 样本平均数x=1×0.06+2×0.1+3×0.14 设第80百分位数为x,则0.6+(x一80)× +4×0.31+5×0.3+6×0.06+7×0.02+8 0.03=0.8,解得x≈86.7。 ×0.01=4(万元)，方差s2=(一3)2×0.06+ 例4高一(1)班30名学生的一次数学 (-2)×0.1+(-1)2×0.14+0×0.31+1 考试成绩按从小到大排序结果如下： ×0.3+2×0.06+3×0.02+4×0.01= 515459606468687071 1.96。 7272747576798080 81 (2)由频率分布直方图可知，样本中全年 8283858788909192 93 收入低于1.5万元的频率为0.06，所以估计 9598100 该县100万户家庭中全年收入低于1.5万元 则估计这次数学考试成绩的第75百分 的数量为100×0.06=6（万户）。 位数为( )o 说明：本文是以下课题的研究成果： A.87 B.88 C.90 (1)常州市教育科学“十四五”规划课题“高中 D.87.5 解：由30×75%=22.5，可知样本的第 数学建模作业设计与实施策略的研究”，课题 75百分位数为第23项数据，据此估计这次 号：CJK一L2025320。(2)南京市建邺区教育 数学考试成绩的第75百分位数为88。应选 科学规划第十一期个人课题“新课标下高中 B。 生数学建模能力评价指标构建研究”，课题立 题型4：用样本的集中趋势、离散程度估 项号：JYGRKT/2024/11/1178。 计总体 作者单位：南京市金陵河西学校 通常用样本的平均数和方差（标准差）来 (责任编辑郭正华) 46