幂函数的单调性问题知多少-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

解題锦囊 幂函数的单调性问题知多少 ■河北省廊坊市第一中学 杨明 幂函数f(x)=x“(α为常数)看似 调性加以取舍。 简单，但它的单调性问题却五花八门， 三、根据幂函数的单调性比较大小 千姿百态。 例3下列比较大小中错误的是 一、根据幂函数的单调性求最值 )。 例1已知幂函数f(x)的图像过 A.2.2<2.3 点(2,4)，那么f(x)在[0，e]上的最大 值为 (》<( 解：设f(x)=x“,因为f(x)的图 C.1.2>1.3 像过点(2,4)，所以2=4，解得a=2, D.(-0.63)3<(-0.64)3 所以f(x)=x2。因为f(x)在[0，e] 上单调递增，所以f(x)在[0，e]上的最 解：对于A,令f(x)=x,因为月 大值为f(e)=e2。 >0,所以幂函数f(x)在(0，十∞)上 点评：函数的单调性是求函数最值 单调递增，由0<2.2<2.3得f(2.2) 或值域最有效的工具之一。 <f(2.3),A正确。对于B,令f(x) 二、根据幂函数的单调性求参数 =x-2,因为一2<0，所以幂函数f(x) 例2已知幂函数f(x)=(a2- 在第一象限单调递减，且为偶函数，可 8)x在(0，十o∞)上单调递减，则a= 得f(-2)=f(份)f(-)=f() ()。 A.-2√2 B.2√2 由：言>0得付)f传}所以 C.3 D.-3 解：由f(x)=(a2-8)x为幂函 f(2》<f(),B正确。对于C, 数得a2-8=1,解得a=士3。由 令f(x)=x,因为-2<0，所以幂 fx)在(0，+∞)上单调递减得号<0. 函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，由 即a<0,所以a=一3。应选D。 1.3>1.2>0得f(1.2)>f(1.3),C 点评：解题时，先根据幂函数的定 正确。对于D,令f(x)=x3,因为3> 义求出参数的可能值，再根据函数的单 0,所以幂函数f(x)在R上单调递增， 13 解题锦囊 由-0.63>-0.64得f(-0.63)> 数f(t)=t22?+2027t,因为 f(一0.64)，D错误。应选D。 f(-t)=(-t)2027十2027(-t)= 点评：解题时，构造幂函数f(x) -t2027-2027t=-f(t),所以f(t)是 =x“,利用α的正负来确定幂函数 定义在R上的奇函数。因为函数g(t) f(x)的单调性，进而比较幂值的大小。 =t2o27在R上单调递增，函数h(t)= 四、根据幂函数的单调性解不等式 2027t在R上单调递增，所以f(t)是 例4若幂函数f(x)的图像过点 定义在R上的增函数。因为 (4,2),则不等式f(2x-1)>f(x十1) (x-3)2027+2027(x-3)=-2, 所以 的解集为 (y-3)202+2027(y-3)=2, 解：设f(x)=x”,由4=2得22 f(x-3)=-2,f(y-3)=2,所以 =2,即2a=1,解得a=2,所以f(x) f(x-3)=-f(y-3),所以f(x-3) =f(-y+3),所以x-3=-y+3,所 =x,所以f(x)在定义域[0，十∞)上 以x十y=6。应选D。 单调递增。由f(2x一1)>f(x+1)得 ,点评：解题时，构造奇函数f(t)= f2x-1>x+1, t2027+2027t,利用f(t)是定义在R上 8x+1≥0， 解得x>2,所以不等 的增函数求得最终结果。 2x-1≥0， 式f(2x-1)>f(x+1)的解集为(2， 十∞)。 1 函数f(x)= 的单 点评：解题时，先求出幂函数的解 √-x2-x+2 析式，再根据函数的单调性与定义域列 调递增区间为 不等式组求解。 提示：易得f(x)=（-x2-x十 五、幂函数的单调性与奇偶性的综 2),由-x2-x十2>0，解得-2<x 合应用 <1,所以f(x)的定义域为（一2,1）。 例5已知x,y∈R,且满足 1(x-3)2027+2027x=6079, 令--+2-女+}+是 则x十y (y-3)2027+2027y=6083, 则“在(-2,1上单调递减，函数y 的值为( )。 A.0 B.2 u在(0，十o∞)上单调递减，所以函数 C.4 D.6 f(x)= 的单调递增区间 解：由题设条件等价变形可得， √一x2-x+2 1(x-3)+2027(x-3)=-2设函 为(2图 (y-3)2027+2027(y-3)=2。 14