浅探函数的概念与性质问题的求解策略&函数的值域或最值的解法归类”-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

解题锦囊 浅探函数的既念与 性质问题的求解策略 ■河南省商丘市实验中学 马春林 题型一：分段函数问题 例1 已知函数f(x)= x2-ax+5,x≤1， 满足对任意实数 xx>1, 1（1≠x),都有f,)-f ∠0 x2一x1 成立，则实数a的取值范围是()。 A.(0,3] B.[2,+o∞) C.(0,+∞) D.[2,3] 解：由题意可知，函数f(x)在R ≥. 上单调递减，所以 解得 a>0, -a+6≥a, 2≤a≤3，所以实数a的取值范围是 [2,3]。应选D 策略：分段函数在R上单调，既要 各段分别单调，还要比较分段点两侧的 函数值。 题型二：单调性、奇偶性、周期性和 对称性的综合应用 例2（多选题）已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2 -x)=5,g(x)-f(x-4)=7。若直 20 线x=2是g(x)的图像的对称轴，且 g(2)=4,则下列说法中正确的是 )。 A.f(x)是奇函数 B.(3,6)是g(x)的对称中心 C.2是f(x)的周期 n2xe)=130 k=1 解：对于A,因为直线x=2是 g(x)的图像的对称轴，所以g(2一x) =g(x+2)。又因为f(x)+g(2一x) =5,所以f(一x)十g(2十x)=5,故 f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数，A 错误。对于B,因为g(x)一f(x一4) =7,所以g(x+4)-f(x)=7。又因 为f(x)+g(2-x)=5,联立得g(2- x)+g(x十4)=12，所以g(x)的图像 关于点(3,6)对称，B正确。对于C,由 f(x)十g(2-x)=5,g(2)=4,可得 f(0)+4=5,即f(0)=1。因为g(x) -f(x-4)=7,所以4-f(-2)=7, 即f(-2)=-3,则f(2)=f(一2)= 一3，显然f(2)≠f(0),所以2不是 f(x)的周期，C错误。对于D,因为直 线x=2是g(x)的图像的对称轴，所 以g(6-x)=g(x-2)。因为g(2一 x)+g(x+4)=12,所以g(x)+g(6 -x)=12,所以g(x)十g(x-2)= 12,所以g(x十2)+g(x)=12,所以 g(x+2)=g(x-2),即g(x)=g(x 十4)，所以g(x)的周期为4。因为 g(x)的对称中心为(3,6)，所以g(3) =6。当x=4时，g(4)-f(0)=7,所 解題锦囊 函数的值域或最值的解法“归类” ■湖北省兴山县第一中学 陈秀雄 R。由y= 2x2-x+2 得(y-2)x2+ 函数的值域或最值是函数的重要 x2+x+1 性质之一，所有函数都有值域，但不一 (y+1)x+y一2=0，当y=2时，x= 定有最值。 0,符合题意；当y≠2时，关于x的一 一、解不等式求值域 元二次方程(y-2)x2+(y+1)x十y 例1求函数y 2-x 2+x的值域。 一2=0恒有实数根，所以△=(y+1)2 -4(y-2)2≥0，解得1≤y≤5且y≠ 解：由y= 2-x 之千得工1一之之，因 2。综上得函数y的值域为[1,5]。 1+y 评析：解题时注意不要漏掉对y= 为≥0，所以≥0，所以-1 2的讨论。 y≤1，所以函数y的值域为（一1,1]。 三、配方法求值域 评析：解题的关键是利用x4≥0。 例3函数y=3.x2-x十2的值域 二、判别式法求值域 为 2x2-x+2 解：显然x∈R,函数y=3x2一x 例2函数y= x2十x+1 的值域 为 +2=3-) 当x-时，函 3 + 6 解：因为x+x+1=(+2)十 23 数y取得最小值，且ym一12，所以函 >0恒成立，所以函数y的定义域为 23 数y的值域为 4 + 以g(4)=8,所以g(4)=g(0)=8。又 在常数a使得f(x)=f(2a一x)台 因为直线x=2是g(x)的图像的对称 f(a十x)=f(a-x)台y=f(x+a) 轴，所以g(1)=g(3)=6,所以 为偶函数，则y=f(x)的图像关于直 g)=5x6+4+6+8+6+话 22 线x=a对称；(2)存在常数a,b使得 f(x)+f(2a-x)=2bf(a+x)+ =130,D正确。应选BD。 f(a-x)=2b台y=f(x十a)-b为奇 策略：函数y=f(x)的定义域为 函数，则y=f(x)的图像关于，点(a,b) D,对廿x∈D,有以下常用结论：(1)存 中心对称。 21 解题锦囊 评析：函数y=ax2+bx十c(a卡 0),当a>0时，有最小值4ac-b 4a；当 a<0时，有最大值 Aac-62 Aa 四、利用不等式的性质求最值 员4若≥则丽数f) x2一4红十5的最小值为 2x-4 解：因为x≥2，所以x一2>0。 因为f(x)= x2-4x+5=x-2+ 2x-4 2 1 x-2 1 2(x-2)≥2，/ 22(x-2) =1,当 且仅当号 2(x-2),即x=3时等 1 号成立(x=1应舍去，x=3在定义域 内)，所以函数f(x)的最小值为1。 评析：若x,y都是正数，且x与y 的积为定值，则当x=y时，x十y取得 最小值。 五、利用函数的单调性求最值 x+3,x<1, 例5 函数y= 的 -x+6,x≥1 最大值为 解：当x<1时，y=x+3单调递 增，可得y<4,这时取不到最大值；当 x≥1时，y=一x+6单调递减，在x= 1处取得最大值5。综上得函数y的最 大值为5。 评析：一次函数y=ax十b(a≠0)，当 a>0时单调递增；当a<0时单调递减。 22 六、换元法求值域 例6函数f(x)=x+√2x-1 (x≥1)的值域为 解：令t=√2x-1,t≥1，则x= 1，所以原函数f(x)等价于函数 2 1+2t+1D2,t≥1。y y=- :十1)°的图像是开口向上的抛物 线，对称轴为t=-1,所以y=2(1+ 1)2在[1，+∞)上单调递增，当t=1 时，y=2(t+1)取得最小值2，所以 )=2(1+1)的值域为[2，+∞)，即 1 函数f(x)的值域为[2，+∞)。 评析：利用换元法求解问题时要注 意新元的取值范围。 七、分离常数法求值域 例7函数f(x)= 2x-1 x-1 的值域 为 解：函数f(x)的定义域为（一∞， 1)U(1,+∞).因为f(x)=2x-1 x-1 2“》+1-2+六又因为高 x-1 ≠0，所以f(x)≠2，所以函数f(x)的 值域为（一∞，2）U(2,+∞)。 评析：分离常数法求函数值域的关 键是把函数分离成一个常数与一个分 式的和的形式。超