期中培优：利用三角函数的值域、基本不等式求解三角形最值与范围问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：利用三角函数的值域、基本不等式求解三角形最值与范围问题复习讲义 期中培优：利用三角函数的值域、基本不等式求解三角形最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数的值域求解三角形最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 考点一 利用三角函数的值域求解三角形最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托三角形内角和定理（）、正余弦定理，将三角形的边、角转化为单一三角函数式（如），结合三角函数的有界性（、）及三角形边角的取值限制（如角∈(0,π)、两边之和大于第三边），求解三角函数式的值域，即得三角形边、角、面积等的最值与范围，本质是边角互化转三角式，有界性定最值范围。 二、解题思路（四步法） 1. 边角互化，统一变量：根据已知条件，用正弦定理将边转化为角（），或用余弦定理将角转化为边，将待求量（边长、面积、角）表示为单一角/少量相关角的函数； 1. 化简三角式，配标准型：利用三角恒等变换（和差角、二倍角、辅助角公式），将函数化简为/的标准形式，明确自变量（角）的取值范围； 1. 定角的范围，结合有界性：根据三角形内角范围（0<角<π）及已知条件（如边的关系、角的不等关系），确定标准型中自变量的具体范围，结合三角函数的单调性、有界性分析函数值域； 1. 求最值/范围，验证取等：根据三角函数值域，得出待求量的最值与范围，验证取等条件是否符合三角形边角限制（如角在范围内、边能构成三角形）。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，满足． (1)证明； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 例3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． (1)求外接圆的直径； (2)直接写出面积的最大值（无需过程）； (3)记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 变式2．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 变式3．（25-26高一下·北京·月考）已知的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 考点二 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托正余弦定理、三角形面积公式，将待求的最值问题转化为边的乘积/和的代数表达式，结合基本不等式（均值不等式）（如、，），利用三角形的边的约束条件（两边之和大于第三边、余弦定理中）确定等号成立条件，求解边、面积等的最值，本质是边角互化转代数式，基本不等式定积/和的最值。 二、解题思路（四步法） 1. 建代数关系，锁定积/和形式：通过余弦定理（如）、面积公式（如），将待求量（面积、边长）表示为两边的乘积（）或和（）的代数形式，明确已知定值条件（如一边定、一角定）； 1. 选基本不等式，定应用形式：根据表达式特征选对应不等式：求积的最大值用和定积最大（为定值时，）；求和的最小值用积定和最小（为定值时，）； 1. 明确约束条件，定等号前提：结合三角形三边关系（、）和余弦定理有界性（如推出），确定不等式中变量（边）的取值范围，明确等号成立条件（）； 1. 求最值/范围，验证构形：代入基本不等式求解待求量的最值，验证等号成立时的边、角是否能构成有效三角形，若不能则结合函数单调性求范围。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 例2．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 例3．（2026·安徽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·江苏淮安·月考）内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，且，求的最小值； (3)是边上一点，且，，求面积的最大值． 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． (1)若，，求的面积； (2)若，求的最小值． 变式3．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用三角函数的值域、基本不等式求解三角形最值与范围问题复习讲义 期中培优：利用三角函数的值域、基本不等式求解三角形最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数的值域求解三角形最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 考点一 利用三角函数的值域求解三角形最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托三角形内角和定理（）、正余弦定理，将三角形的边、角转化为单一三角函数式（如），结合三角函数的有界性（、）及三角形边角的取值限制（如角∈(0,π)、两边之和大于第三边），求解三角函数式的值域，即得三角形边、角、面积等的最值与范围，本质是边角互化转三角式，有界性定最值范围。 二、解题思路（四步法） 1. 边角互化，统一变量：根据已知条件，用正弦定理将边转化为角（），或用余弦定理将角转化为边，将待求量（边长、面积、角）表示为单一角/少量相关角的函数； 1. 化简三角式，配标准型：利用三角恒等变换（和差角、二倍角、辅助角公式），将函数化简为/的标准形式，明确自变量（角）的取值范围； 1. 定角的范围，结合有界性：根据三角形内角范围（0<角<π）及已知条件（如边的关系、角的不等关系），确定标准型中自变量的具体范围，结合三角函数的单调性、有界性分析函数值域； 1. 求最值/范围，验证取等：根据三角函数值域，得出待求量的最值与范围，验证取等条件是否符合三角形边角限制（如角在范围内、边能构成三角形）。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别是，，，满足． (1)证明； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形的内角和公式，可得，进而可得角的关系. （2）先根据条件求出，，再利用结合三角形的面积公式可求的长度. （3）先根据正弦定理结合三倍角公式可得，再结合的取值范围可求的取值范围. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 而为三角形内角，所以或， 所以或（舍去） 所以. （2）由，，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以. （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得：， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 例3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． (1)求外接圆的直径； (2)直接写出面积的最大值（无需过程）； (3)记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，；最大值为． 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理可得外接圆半径； （2）作出辅助线，得到的高的最大值，进而得到面积最大值； （3）记与的夹角为，，由正弦定理，用含的式子表达出，从而由三角恒等变换和三角函数的有界性得到的最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理， 所以， 由正弦定理可得直径． （2），理由如下： 设的外接圆圆心为， 由（1）可知外接圆直径为，故外接圆半径为，， 取的中点，连接，，由垂径定理得⊥， 显然当三点共线时，取得最大值，此时取得最大值， 其中，故，由勾股定理得， 所以， 故的面积最大值为. （3）记与的夹角为，连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得，，． 因此 ． 其中为锐角，． 又，现取，则有． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． （2）根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 变式2．（2026·陕西咸阳·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求角即可； （2）利用正弦定理边化角，再利用角的范围求出边的范围. 【详解】（1）由正弦定理边化角代入已知等式可得， 因为在 中，所以， 因为，所以； （2）因为，结合三角形内角和定理可得， 又因为为锐角三角形，故，即 再由正弦定理可得：， 因为，所以. 变式3．（25-26高一下·北京·月考）已知的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角． （2）利用正弦定理和辅助角公式将表示成关于角的函数，再求出周长取值范围即可． 【详解】（1）且，． 由正弦定理，得， 代入上式化简得， ，又，. （2）在中，， 由正弦定理得． ． 又，． ． ，， ． 即的取值范围为，又，则周长的取值范围为. 考点二 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 依托正余弦定理、三角形面积公式，将待求的最值问题转化为边的乘积/和的代数表达式，结合基本不等式（均值不等式）（如、，），利用三角形的边的约束条件（两边之和大于第三边、余弦定理中）确定等号成立条件，求解边、面积等的最值，本质是边角互化转代数式，基本不等式定积/和的最值。 二、解题思路（四步法） 1. 建代数关系，锁定积/和形式：通过余弦定理（如）、面积公式（如），将待求量（面积、边长）表示为两边的乘积（）或和（）的代数形式，明确已知定值条件（如一边定、一角定）； 1. 选基本不等式，定应用形式：根据表达式特征选对应不等式：求积的最大值用和定积最大（为定值时，）；求和的最小值用积定和最小（为定值时，）； 1. 明确约束条件，定等号前提：结合三角形三边关系（、）和余弦定理有界性（如推出），确定不等式中变量（边）的取值范围，明确等号成立条件（）； 1. 求最值/范围，验证构形：代入基本不等式求解待求量的最值，验证等号成立时的边、角是否能构成有效三角形，若不能则结合函数单调性求范围。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的数乘运算及数量积公式，再结合余弦定理及基本不等式计算求解. 【详解】（1）由结合正弦定理得：，即， 由余弦定理：， 因为，所以； （2），， 即， 两边同时平方： ， ≥， ，当且仅当即时，取等号． ， 即的最大值为． 例2．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 例3．（2026·安徽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·江苏淮安·月考）内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，且，求的最小值； (3)是边上一点，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形内角和化简已知等式中的角，再通过正弦定理完成边化角，结合三角形内角的取值范围求出角的大小； （2）先根据向量表达式判断出是的角平分线，利用得到与的关系，再结合余弦定理和基本不等式求出的最小值； （3）根据的共线条件将用、线性表示，两边平方得到的约束关系，再结合三角形面积公式和基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1） 在，，故，因此， 原等式化为，由正弦定理得， 因为，，又，代入得， 又，，故，得，即； （2） 由得，说明是的角平分线， 故为的平分线，， 由面积关系，代入得， 化简得，由余弦定理， 由基本不等式，得，函数在时单调递增， 当时，最小为，故最小值为； （3） 由，根据向量分点公式得， 所以，又，， 所以，即，面积， 由基本不等式，得，解得， 当且仅当时取等号，故，即面积最大值为。 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． (1)若，，求的面积； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）根据题意可得，得，再由余弦定理得，求得，结合三角形面积公式得解； （2）由得，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以是的中点， 所以，两边平方得，即， 又由余弦定理知，联立得， 故的面积. （2）由，得， 故，即， 故， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为27. 变式3．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． （2）因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $