函数奇偶性典型问题剖析&函数的基本性质应用“汇总”-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

若对于函数f(x)定义域内的任 意一个x,都有f(一x)=f(x),则称 f(x)是偶函数；若对于函数f(x)定义 域内的任意一个x,都有f(一x) 一f(x),则称f(x)是奇函数。下面谈 一谈函数奇偶性典型问题的求解。 题型1：由奇偶性解不等式 例1已知f(x)是偶函数，且 Hx1,x2∈[0，十∞)，都有 fx)-f(x2>0,若f(-2)=1,则 T-x2 不等式f(x一1)一1<0的解集为 )。 A.{xx>1或-3<x<0} B.{x|x<-1或x>3} C.{x|x<-1或0<x<3} D.{x|-1<x<3} 分析：利用奇偶性消去负号，将不 等式两边化为f(A)与f(B)的形式， 利用单调性去掉函数符号，结合定义域 即可求得解集。 解：Hx1,x2∈[0，十∞)，都有 f(x1)-f(x2)>0,不妨设x1>x2≥ x1C2 0,则f(x)>f(x2),所以f(x)在[0， +∞)上为增函数。因为f(x)为偶函 数，所以f(2)=f(一2)=1。由f(x -1)-1<0得f(|x-1|)<1=f(2), 所以|x一1|<2，解得一1<x<3。所 以不等式f(x一1)一1<0的解集为 {x|-1<x<3}。应选D。 题型2：由奇偶性求参数 例2若f(x)=ax3+bx4-7x3 解题锦囊 函数奇偶性 典型问题剖析 ■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 +2x是定义在区间[a一4,2a+1]上 的奇函数，则2a+b= 分析：由奇函数的定义域关于原点 对称，结合f(一x)=一f(x)对定义域 内所有x恒成立即可求出a,b的值。 解：因为奇函数f(x)的定义域关 于原点对称，所以a一4+2a+1=0,解 得a=1。因为f(x)是奇函数，所以 f(-x)=-f(x),即-x5+bx4+7x3 -2x=-x5-bx4+7x3-2x,所以 b=-b,即b=0。综上得2a+b=2。 感杯与限骨 已知定义在（一1,1）上的函数 f(x),对任意x,y∈（一1,1），都有 )+)=∫.判断 f(x)的奇偶性，并说明理由。 提示：f(x)的定义域为（一1,1）， 即定义域关于原点对称。令x=y=0, 则f(0)=0。令y=一x,则f(x)十 f(-x)=f(0)=0,所以f(x)是 (一1,1)上的奇函数。 17 解题锦囊 函数的基本性质应用“汇总” ■江苏省靖江市第一高级中学 侯剑桥 函数的周期性、对称性、奇偶性及 所以f(x)=-f(-x)=-f(6十x) 单调性是函数的重要性质，每年高考都 =f(x+12),所以f(x)的最小正周期 会进行综合考查，值得同学们重视。 是12。故f(-16)=f(-4)=-f(4) 一、周期性+对称性 =-f(2)=-(-2)=2。 例1已知定义在R上的函数 评析：由函数的奇偶性与对称性可 f(x),对任意实数x,都有f(x十5)= 求出函数的一个周期。 一f(x)十5。若函数f(x一1)的图像 三、奇偶性十周期性 关于直线x=1对称，且f(一3)=2，则 例3已知函数f(x)的定义域为 f(33)= R,f(x十2)为偶函数，f(2x+1)为奇 解：由f(x一1)的图像关于直线x 函数，则( )。 =1对称，知f(x)的图像关于y轴对 Af2)=0 B.f(-1)=0 称，所以f(x)为偶函数。由f(x+5) =-f(x)+5得f（x+5+5)= C.f(2)=0 D.f(4)=0 -f(x+5)+5=-[-f(x)+5]+5 解：因为f(x十2)为偶函数，所以 =f(x),所以f(x)是周期为10的偶 f(2+x)=f(2-x)。因为f(2x+1) 函数。故f(33)=f(3+3×10)= 为奇函数，所以f(1一2x)=一f(2x+ f(3)=f(-3)=2。 1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以 评析：函数f(x)满足关系f(a十 f(x)=-f(2-x),即f(x)=-f(2 x)=f(b一x)表明的是函数图像的对 十x),所以f(x)=f(x+4),故f(x) 称性，函数f(x)满足关系f(a十x)= 是以4为周期的周期函数。因为函数 f(b十x)(a≠b)表明的是函数的周期 F（x)=f(2x+1)为奇函数，所以 性，在使用这两个关系时不要混淆。 F(0)=f(1)=0。故f(-1)=f(3)= 二、奇偶性+对称性 一f(1)=0。其他三个选项无法由题 例2已知奇函数f(x)的图像关 意推导得到。应选B。 于直线x=3对称，当x∈[0,3]时， 评析：根据已知条件及函数的奇偶 f(x)=-x,则f(-16)= 性推导出函数的周期是解题的关键。 解：由函数f(x)的图像关于直线 四、对称性+单调性 x=3对称得f(x)=f(6一x),由 例4已知函数f(x)的定义域为 f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x), R,其图像关于直线x=3对称，且 18 f(6)=4。若对于任意的x1,x2∈[3， 十∞)，且x1≠x2,都有(x1一x2)· [f(x1)一f(x2)]>0成立，则下列不 等式成立的是()。 A.f(-2)>4B.f(-1)<4 C.f(0)<4 D.f(5)>4 解：由题意可知，函数f(x)在[3， 十∞)上单调递增。因为f(x)的图像 关于直线x=3对称，所以f(x)在 (一∞，3)上单调递减，且f(6)=f(0) =4。因为f(x)在（一∞，3）上单调递 减，所以f(-2)>f(-1)>f(0)=4, A正确，B,C错误。因为f(x)在[3， 十∞)上单调递增，所以f(5)< f(6)=4,D错误。应选A。 评析：Hx1,x2∈D,且x1≠x2, f(x)-f(x2)>0或(x1-x2)· x1-x2 [f(x1)一f(x2)]>0台f(x)在D上 单测递增，f)-f(x2) x1一x2 <0或(x1 x2)[f(x1)-f(x2)]<0台f(x)在D 上单调递减。 五、周期性十单调性 例5已知定义在R上的函数 f(x),满足f(x)=f(x十4)，f(x)= f(4一x),对于任意的x1,x2∈(0,2)， 且x1≠x2,都有f(c)-f(x,) ∠0，则 C1一x2 下列不等式成立的是()。 A.f(1.5)<f(3)<f(4.5) B.f(4.5)<f(1.5)<f(3) C.f(4.5)<f(3)<f(1.5) 解题锦囊 D.f(3)<f(1.5)<f(4.5) 解：因为f(x)=f(x+4),f(x) =f(4-x),所以f(4.5)=f(4+0.5) =f(0.5),f(3)=f(4-3)=f(1)。 对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1≠ 2,都有f)-fx)<0,则f(x) x1-x2 在(0,2)上单调递减，所以f(0.5)> f(1)>f(1.5),即f(1.5)<f(3)< f(4.5)。应选A。 评析：解答本题的关键是利用 f(x)=f(x十4)和f(x)=f(4-x), 将f(4.5),f(3)转化为区间(0,2)上 的函数值。 限司 感任与收 (多选题)下列函数中，既是偶函 数，又在(0，十∞)上单调递增的是 ）。 A.y=x B.y=|x|+1 C.y=xi D.y=-1 x 提示：y=x是奇函数，不符合题 意。y=|x|+1是偶函数，在(0， 十∞)上单调递增，符合题意。y=x 是偶函数，在(0，十∞)上单调递增，符 合题意。y=一正是奇函数，不符合题 意。应选BC。 说明：本文系泰州市教育学会课题 “高中数学‘自主，合作，展示教学模式 的实践与研究”（课题编号： TZ2024096)的研究成果。数 19