集合问题中的易错题剖析-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

错解折 集合问题中的 ■安徽省阜阳第一 集合是高中数学中的第一章内容， 同学们学习这部分内容时常会因对集 合的理解不够深刻，考虑问题不够全 面，而犯一些错误。下面将相关常见错 误进行梳理，供同学们参考。 类型1：忽视集合中的代表元素 例1已知集合A={x∈N69 N.B={6∈Nz∈N,请说明集 合A和B中分别包含哪些元素。 错解：集合A和B中包含的元素 是相同的。 剖析：集合是由元素组成的，认识 集合应从认识元素开始。解题时要弄 清集合的代表元素和代表元素的属性。 正解：集合A的代表元素是x∈ N当=0时。=1∈N.所以0是 集合A中的元素。同理，当x=3,4,5 6∈N,所以集合A=(0,3,4, 时6 5。架合B的代表元素是。°，EN, 6 当x=0时，6一0=1N,所以1是集 合B中的元素。结合x∈N,可得集合 B={1,2,3,6}。故集合A={0,3,4, 5},B={1,2,3,6}。 36 易错题剖析 中学 葛辉 类型2：忽视集合转化的等价性 例2设全集U={(x,y)|x∈R, y∈R,集合M={(x,y) N={(x,y)|y≠x+1},则Cw(MU N)=( ）。 A.0 B.{(2,3)} C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1} 错解：应选A。 剖析：在进行集合转化时，要注意 转化的等价性，避免产生增解或漏解。 正解：集合M表示的是直线y x+1上除去点(2,3)的其他点，集合 N表示的是平面内不在直线y=x十1 上的点，所以MUN表示平面内除去 点(2,3)的其他点的集合，所以C(M UN)={(2,3)}。应选B。 类型3：忽视补集思想的应用 例3若三个方程x2+4ax一4a +3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+ 2ax一2a=0中至少有一个方程有实 根，求实数a的取值范围。 错解：有些同学看到本题会采用分 类讨论，而不会从反面思考，导致解题 思路受阻。 剖析：本题从正面考虑有7种情 况，比较复杂，而它的反面只有1种情 况，此时可尝试利用补集思想求解。 正解：若三个方程均无实根，则 △1=(4a)2-4(-4a+3)<0, △2=(a-1)2-4a2<0, 解得 △3=(2a)2-4(-2a)<0, a< 2 a<-1或a>了所以-a<-1. -2<a<0, 由补集思想知，若三个方程至少有 一个方程有实根，则实数a的取值范围 为{ala≤-2或a≥-1。 类型4：忽视集合元素表示的意义 贪4已知集合A={女=6+子， k∈Z,B-(xk=2k,k∈Z,则集合 A与B的关系为 错解：不理解集合中元素所表示的 意义，导致解题受阻。 剖析：判断集合间的关系，主要看 集合中元素的特征。将集合中的元素 一一列举出来直接观察，虽不严谨，但 较为实用。若能将集合中元素的表达 式进行形式上的统一，则更容易判断。 正解：（方法1）对于集合A,令k= …,0,1,2,3,4,…,可得A= 13579 …22222…。对于集合 B,令k=…,0,1,2,3,4,5,…,可得 B=…0,写22…：故A是 B的真子集。 错解制析 2k+1 (方法2)对于集合A,x= (k∈Z),分子为奇数。对于集合B, 工二(k∈乙⑦，分子为整数。故A是B 的真子集。 类型5：对新定义集合理解错误 例5在整数集Z中，被5除所得 余数为k的所有整数组成一个“类”，记 为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0, 1,2,3,4,则下列选项正确是()。 A.2025∈[0] B.-2024∈[4] C.若a∈[3]，b∈[4]，则a+b∈[1] D.整数a,b属于同一“类”的充分 不必要条件是a一b∈[0] 错解：不理解新定义集合的含义， 导致无从下手。 剖析：紧扣新定义，把新定义所述 问题的本质弄清楚。 正解：对于A,易知2025÷5= 405,能被5整除，因此2025∈[0]，A 正确。对于B,一2024=5×（一405）十 1,因此-2024∈[1]，B错误。对于C, 由a∈[3]，b∈[4]，可设a=5k1+3, b=5k2+4,则a+b=5(k1+k2)+7= 5(k1+k2+1)+2,因此a+b∈[2]，C 错误。对于D,若整数a,b属于同一 “类”，则两数除以5所得余数相同，作 差余数为0，即a-b∈[0]。若a-b∈ [0],则a,b除以5所得余数相同，故整 数a,b属于同一“类”。综上，满足充 要条件，D错误。应选A。 37