剖析集合中元素的三个特性&揭秘交集的四种应用-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

夯基固本 剖析集合中元素的三个待性 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 一、确定性 -1,满足题意；由1-a=4得a=-3, 集合中的元素是确定的，即任何一 此时a2十a一2=4，不满足互异性。综 个对象，都能明确判断它是或者不是某 上得a=2。 个集合中的元素，两种情况有且仅有一 点评：解含参数的集合问题时，先 种成立，不会模棱两可。 利用元素的确定性求出参数的所有可 例1已知集合A={x|ax2-4x+ 能取值，再利用互异性检验，剔除使元 1=0,a∈R}中只有一个元素，则a的 素重复的解，最后得到符合条件的参数 取值集合为。 的值。 解：当a=0时，由一4x+1=0,解 三、无序性 集合中元素的无序性是指集合中 得x=,满足集合A中只有一个元 元素的排列顺序不影响集合本身，无论 素；当a≠0时，a.x2-4x+1=0为一 元素如何排列，只要元素完全相同就是 元二次方程，因为集合A中有且只有 同一个集合。 一个元素，所以△=16一4a=0,解得 例3已知集合A={0,4,a2}, a=4。综上得a的取值集合为{0,4}。 B={0,4,3a一2}，若A=B,则a的值 点评：对于二次项含参数的一元二 是( )。 次方程，要讨论二次项系数是否为零， A.1或2 B.-1或0 否则容易漏解。 C.1 D.-1 二、互异性 解：由题设得a2=3a一2，解得 在一个给定的集合中，元素是互不 a=1或a=2。当a=1时，可得a2= 相同的，即在同一集合中不能出现相同 3a一2=1，满足题意；当a=2时，可得 的元素。 a2=3a一2=4，这时不符合集合中元 例2已知集合A={a2+a-2, 素的互异性。综上得a=1。应选C。 1-a,2},若4∈A,则a=。 点评：由两集合相等的含义可知， 解：因为4∈A,所以a2+a-2=4 两集合的元素完全相同，因此列出所有 或1-a=4。由a2+a-2=4得a= 可能的元素对应等式，解得参数的值即 -3或a=2,当a=-3时，1-a=4, 可，但要注意检验是否满足集合中元素 不满足互异性，当a=2时，1一a= 的互异性。® 务基固木 由所有属于集合A且属于集合B 的元素组成的集合，称为A与B的交 揭秘交集的 集。下面揭秘交集的四种应用，供同学 们学习。 四种应用 一、求集合 例1已知集合A={x|x二B}, B={1,2,3},则A∩B=。 解：因为集合A={xx二B},B= {1,2,3},所以A={,{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},所以 A∩B=。 ■新疆师范大学附属中学 揭秘：集合A中的元素是集合，B 李如贵陈情 中的元素是数字，显然A∩B=心。 二、求集合中元素的个数 揭秘：由交集的区间端点锁定含参 例2设集合A={(x,y)|y= 集合的边界，通过端点相等建立方程， x},B={(x,y)|y=x2},则集合A∩ 即可求出参数的值。 B中的元素个数是。 四、求参数的取值范围 解：集合A={(x,y)ly=x},B= 例4已知集合A=(1,3),集合 {(x,y)|y=x2},所以集合A∩B= B={x|2m<x<1-m},若A∩B ⑦，则所有满足条件的实数m的取值 (x,y) y-, y=x ={(1,1),(0,0)},所 范围是 以集合A∩B中的元素个数为2。 解：由2m≥1-m得m≥了，这时 揭秘：注意集合中元素的特征，题 中集合A,B中的元素是点。 B=0,满足A∩B=☑；当2m<1 三、求参数的值 例3设集合A={xx2-4≤0}， m,即m 3时，由A∩B=②，可得 B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2 -1 m 3或m<3'解得0≤m< 1 ≤x≤1}，则a= 1-m≤1 2m≥3， 解：由x2-4≤0得A={x|-2≤ 综上得m≥0，即实数m的取值范围是 x≤2}，由2x+a≤0得B= [0,+∞)。 女z≤-2.因为AnB=x1-2 揭秘：当集合B={x|2m<x< 1一m}是空集时，2m≥1一m,这时不要 ≤x≤1，所以--1，解得a=-2。 漏掉等号。® 5