已知函数的单调性，求参数的取值范围&聚焦函数单调性的应用-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

解题锦囊 已知函数的单调性，求参数的取值范围 江苏省无锡市第六高级中学陈敏 函数的单调性是函数的重要性质 a>0, 之一，利用函数的单调性求参数的取值 1 ≤2，解得a>0。综上得实数a 范围是高考的常考题型。 a 一、绝对值函数型 4a+3≥0， 例1 已知函数f(x) 的取值范围是[0，十c∞)。 a一2x在（一o∞，3）上单调递减，则实 评注：复合函数的单调性遵循“同 数a的取值范围是 增异减”法则。 解：因为函数f(x)=|a一2x|= 三、其他函数型 2x-a,x≥g 例3若函数y=x一十号在(1 在-∞， 上单调递 十c∞)上单调递增，则实数a的取值范 02xx<2、 围是 解：当a=0时，y=x在R上单调 减，在 ?+∞)上单调递增，要使 递增，符合题意；当a>0时，一a<0, f(x)在（一∞，3）上单调递减，则需 因为y=x在R上单调递增，y=二a ≥3，即a≥6，所以实数a的取值范 a 在(0，十∞)上单调递增，所以y=x 围是[6，十∞)。 评注：解题时，先去绝对值，变成分 +号在(0，十e∞)上单调递增：当a<0 x 段函数，找到单调分界点，再让给定区 时，一a>0,则对钩函数y=x十一a+ 间落在单调区间内即可。 二、复合函数型 兰在0，一a]上单调递减，在（厂a, 例2已知函数f(x)= 十∞)上单调递增，要使y=x一 √Jax2+2x-1在[2，+o∞)上单调递 x 增，则实数a的取值范围是 在(1，+∞)上单调递增，需满足 解：设t=ax2+2x-1,则t在[2， √/-a≤1， 解得-1≤a<0。综上得实 +c∞)上单调递增，且t≥0在[2，+∞) a<0, 上恒成立。当a=0时，t=2x一1在 数a的取值范围是[-1，十∞)。 [2,十∞)上单调递增，且2x-1≥3>0 评注：解题时要分类讨论a的情 恒成立，符合题意；当a≠0时，可得 况，避免漏解。 15 解题锦囊 聚焦函数单调性的应用 ■山东省青岛市即墨区第四中学 郭伟 函数的单调性广泛应用于比较大 小、求最值、已知含参函数单调性求参 ≥2)。因为f(t)=t十在[2，+∞) 数值（取值范围）等题型中。同学们若 能熟练掌握函数单调性的判断方法，并 上单调递增，所以当t=2,即x=3时， 初步形成分类讨论的数学思维，则可以 )有小值2即y 快速、准确地解决相关问题。 聚焦1：比较大小 -1+x(x≥3)的最小值为2。 例1已知函数f(x)=x2025 x一1其中a-f(2),b=f(5),c= 点评：对钩函数y=x十二(k>0) 的单调递增区间为（一∞，一√」， f(5),则( )。 [√E,十∞)；单调递减区间为（一√E, A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 0),(0,√E)。 解：因为y=x2025在(1，十∞)上 聚焦3：求参数的取值范围 单词通增y=一在1，十)上单调 例3已知函数f(x)=a+1 在 x +2a 递减，所以f(x)=x225- 区间（一2，+o)上单调递增，求实数a x一1在(1， 的取值范围。 +∞)上单调递增，又因为5>3>2 解：易得函数f(x)= >1,所以f(5)>f(3)>f(√2)，即 ax+2a2-2a2+1=4- a2-1 ,所以 x+2a x+2a c>b>a。应选D。 点评：增函数一减函数所得函数是 f(x)可看作g(x)=-2a-1 先向上 增函数。 平移a个单位长度，再向左平移2a个 聚焦2：求最值 单位长度得到的函数，所以 1 例2函数y= x-1 -1+x(x≥ 2a2-1>0, 解得a≥1，即实数a的取 3)的最小值为。 -2a≤-2， 值范围为[1，十∞)。 1 解：设t=x-1,t≥2，则y= x-1 ,点评：熟记分离参数法和反比例函 -1+x(x≥3)等价于f)=1+1( 数的性质是解题的关键。 16