聚焦二次函数性质的应用问题&例析三角函数中的参数问题-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

青一敬学识体种与奶骨中学生款理化 聚焦二次函数性质的应用问题 ■谭玉圣 二次函数是一类特殊的函数，其性质在 A.1 B. C.2 高中数学中有着广泛的应用。下面举例分析 其应用，供同学们学习与参考。 解：由题意设f(x)=x“。因为f(x)的 一、在常用逻辑用语中的应用 图像过点(2，√2)，所以f(2)=2=√2，则a 例1若命题“3x∈（一1,3），x2一2x 2,所以f(x)=√反，所以y=√五+1-z a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值 为()。 =-(反-名)广+号，所以函数y=f()+1 A.-1B.0C.1D.3 解：由题意得3x∈(-1,3)，a≥(x2 一x的最大值是号。应选B。 2x)m血。令函数h(x)=x2-2x,因为h(x) 评注：注意幂函数与指数函数的区别。 =x2一2x在（一1,1]上单调递减，在(1,3）上 四、在三角函数中的应用 单调递增，所以h(x)mm=h(1)=1一2=一1， 例4函数y=cos2x一4cosx十5的值 所以a≥一1，所以实数a可取的最小整数值 域是 是一1。应选A。 解：令t=cosx,则一1≤t≤1。原函数 评注：分离参数转化为a≥(x2一2x)m 等价于函数f(t)=t-4t十5=(t-2)”+1, 是解题的关键。 一1≤t≤1，所以当t=一1时，函数f(t)取得 二、在指数函数中的应用 最大值10：当t=1时，函数f(t)取得最小值2。 例2已知函数f(x)=2的定义域是 所以函数y=cos°x一4cosx十5的值域 [0,3],设函数g(x)=f(2x)一f(x+2),则 是[2,10]。 函数g(x)的值域是。 评注：形如y=asin'x十bsin x十c(a≠ 解：因为f(x)=2,所以g(x)=f(2x) 0)的三角函数，可先设t=sinx,将函数y= -f(.x+2)=2-2+2=(2-2)2-4。因为 asin'x+bsinx十c(a≠0)化为关于t的二次 函数f(t)=at2+bt+c(a≠0)，再利用二次 函数f(x)的定义域是[0,3]，所以 函数的单调性求值域（最值）。 02x≤3， 解得0≤x≤1，即函数g(x)的 五、在复数中的应用 0≤x十2≤3， 例5已知复数之满足|之一1|=之+i| 定义域为[0,1]。因为x∈0,1]，所以2∈ (1为虚数单位)，在复平面内，记之。=2十i对 [1,2],所以当2=2，即x=1时，g(x)取得 应的点为Z。,之对应的点为Z,则点乙。与点 最小值一4；当2=1，即x=0时，g(x)取得 Z之间距离的最小值是()。 最大值一3。所以函数g(x)的值域是[一4， -3]。 B.√2 C.3/ D.2√2 2 2 评注：解题时要注意函数f(x),f(2x), 解：设之=x+yi(x,y∈R),由|之一1|= f(x+2)中x的意义。 |x+i得(x一1)2+y2=x2+(y+1)2,所以 三、在幂函数中的应用 y=一x,所以点Z。(2,1)与点Z(x,y)之间 例3若幂函数f(x)的图像过点(2， 的距离d= √(x-2)+(y-1) √2)，则函数y=f(x)十1一x的最大值是 ( )。 √/2.x-2x+5= √(-+≥ 2 5 知识结构与拓展 中学生数理化高数学2026年7-8月 当且仅当x= 2时取等号。应选C -10)2+(b-10)+(13-10)2+(16 10)门。要使该组样本的方差最小，只需(a 评注：复数之=a十bi(a,b∈R)与复平面 10)2+(b-10)最小即可。而(a-10)+(b 内的点(a,b)一一对应。 -10)2=(a-10)2+(21-a-10)2=2a2- 六、在平面向量中的应用 42a+221=2(a一10.5)2+0.5，所以当a= 例6设e1,e:为单位向量，非零向量 10.5时，(a一10)2+(b一10)的值最小，此 a=xe1+ye2,x,y∈R,若e1,ee的夹角为 时b=10.5,所以2a+b=2×10.5+10.5= 45°，则0的最大值等于()。 31.5。 评注：要使题中样本的方差最小，只需 A.1 B.2 C.√3 D.1 (a-10)+(b一10)最小即可。 解：易得|a|=√xe+ye+2xye1·e2= 八、在解三角形中的应用 x2+y2+2xy· √2 例8在△ABC中，P为边AB上一点， 2 =√x2+y2+√2xy。 CP=1,∠ACP=30°，∠BCP=45°，∠CPB 当y=0时，可得合的值为0： =6。当△ABC的面积最小时，tan日=。 解：易得A=0-30°，B=135°-0。 当y≠0 时，可得 y 在△ACP和△BCP中，由CP=1,可得 a sin sin 0 AC= ly sin(0-30),BC= sin(135°-0) √x+y2+√2xy ()+()+1 因为∠ACB=75,所以S=AC· 三，所以当工=一 BC·sin75°。易得sin(0-30)= √++ 2时， √3sin0-cos0 ,sin(135 一日)= 2 (+）+取得最小值，此时 有最 √2(sin0+cos0 a 2 ,sin75°=6+2 据上可 4 大值 1 =√2。应选B。 得，S△ABC= 1 V2 tan'6+(W3-1)】 1 tan+3 评注：解题的关键是讨论y=0与y≠0 两种情况。 尽十】，所以S人c取最小值等价于二次函数 七、在统计中的应用 f)=-+(5-1D+(其中iam) 1 例7已知一组样本数据为3,7，a,b, 取最大值。 13,16,其中a,b∈(7,13)，该组样本的中位 数为10.5。若要使该组样本的方差最小，则 由二次函数的性质可得，当：=-」 2 2a+b的值是 2 解：已知样本共有6个数据，且最中间的 时，f(t)取得最大值，所以tan6= √3-1 两个数据为a,b,结合题意得a十b=10.5,即 2 √3+1。 评注：在△ACP和△BCP中，由正弦定 a+b=21,所以样本的平均数x= 6(3+7+ sin sin 理得到AC= sin (0-30.BC= sin(135°-0) a+6+18+16)合×(39+2》=10，所以样 是解题的关键。 作者单位：山东省青岛市即墨区第一中学 本的方差s2= 6[(3-10)2+(7-10)2+(a 1 (责任编辑王琼霞) 高一数学物与药骨中学生款理化 例析三角函数中的参数问题 ■廖鲁丽 、利用定义域与值域求参数 例1函数y=sinx的定义域是[a,b], 增，因为f(x)在0，]和[3m]上均单测 值域是 .17 -12 ,则b一a的最大值与最小 0<≤ 递增，所以 5≤3m<π 解得≤m≤子所 值之和是 解：结合y=sinx的图像知b一a的最 3π5π_2π 小值可以是-否=，最大值可以是2十 以实数m的取值范围为[π，工] L24’4」° 评注：熟记正弦函数y=-sinx的单调递 买-5=4红，所以其和是 66 3 4r一2r。 3 增区间是解题的关键。 评注：熟练掌握y=sinx的图像与性质 四、利用三角函数的图像变换求参数 是解题的关键。 例+若把函数y=sin(ax一)的图像 二、利用三角函数的奇偶性求参数 例2已知函数f(x)= 向左平移三个单位长度，所得到的图像与函 c0s(x+b)(>0)是偶函数，则a,b的值 sin(x+a)(x0), 数y=cos wx的图像重合，则w的一个可能 取值是()。 可能是( )。 A.2 Aa=子b= D B.a= 3 6 D.a 解：由y=sin(ox+g-吞)和函数y 6 解：当x>0时，一x<0,由f(x)= c0sa心的图像重合，可得-后-号+2张， cos(r+6)--sin (+6-)()- k∈Z,则w=6k十2，k∈Z,所以w的一个可 能值是2。应选A。 sin(-x十a)=-sin(x一a),结合f(x)为偶 评注：函数y=Asin(wzx十p)十k图像的 函数满足f()=f(一x)得6一 -a+ 平移规律为“左加右减，上加下减”。 五、利用三角函数图像的对称性求参数 2kr,k∈Z,即a十b=交十2k元，k∈Z,对比选 2 例5已知函数f(x)=sin(ar+)的 项知C满足。应选C。 评注：偶函数∫(x)的定义域为1，若 图像关于直线x=对称，求。的最小值 x∈1，都有一x∈I,则f(一x)=f(x)。 三、利用三角函数的单调性求参数 解：因为f(x)的图像关于直线x=登对 例3若函数f(x)=2sin(2x+牙）在 称所以臣十晋-三十友，k∈Z解得@ [0,公]和[3m,]上均单测递增.则实数m 4十12k,k∈Z,所以|w的最小值是4。 的取值范围为一。 评注：f(x)的图像关于直线x=是对 解：由f(x)=2sin(2x+牙)知当x∈ 称，即当x=时函数取得最大值或最小值。 [o时f)在[，]和上单调 作者单位：广西贵港市覃塘区石卡高级中学 (责任编辑王琼霞)