函数的基本性质：函数单调性的证明、由函数单调性求参数、复合函数的单调性专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的基本性质：函数单调性的证明、由函数单调性求参数、复合函数的单调性专项训练 函数的基本性质：函数单调性的证明、由函数单调性求参数、复合函数的单调性专项训练 考点目录 函数单调性的证明 由函数单调性求参数 复合函数的单调性 考点一 函数单调性的证明 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明： 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减； 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）略 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) 设任意的且， 则 . 因为，所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. (2)， 【分析】（1）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （2）结合函数的单调性，求出函数的最值. 【详解】（1）略 （2）因为在区间上单调递减， 所以，. 例3．（25-26高一上·浙江·期中）已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) 任取，，且， 则. ，，而， ，即， 在区间上是增函数. (2)，. 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可求解. （2）利用（1）结果，由函数单调性的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，在区间上是单调增函数， ，. 变式1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知函数，其中． (1)若在上具有单调性，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值，并根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)，；证明如下： 由的解集为， 所以，得，，                  因此 ．               任取，且 ， 则 ， 因为，所以，所以，即． 所以在上单调递增． 【分析】（1） 应用二次函数单调性结合已知列不等式求出参数； （2）先应用一元二次不等式的解结合韦达定理得出，，再应用单调性定义证明即可. 【详解】（1）当时，即时，函数在单调递增， 当时，即时，函数在单调递减， 综上，的取值范围是． （2）略 变式2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)4 (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由基本不等式，求出函数最小值； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）略 变式3．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数,证明略. 考点二 由函数单调性求参数 例1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 例3．（25-26高一上·陕西榆林·期中）若是上的单调函数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由反比例函数和一次函数的单调性判断. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以函数是上的单调递减函数， 故在上单调递减， 所以，且， 即. 故答案为： 例4．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围. 【详解】当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，由题意得， ①当时，，显然不合题意； ②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意； ③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得. 综上，可得实数的取值范围是. 故答案为： 变式1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 变式2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 变式3．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. 变式4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围______. 【答案】 【分析】根据一次函数、二次函数的性质确定的单调区间，再结合已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】由在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，在上单调递增， 且， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，则，可得. 故答案为： 考点三 复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 例2．（25-26高一上·山西运城·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 例3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，令，再利用复合函数求单调性即可. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得或， 故函数的定义域为， 令，则， 当时，单调递增，则单调递增； 当时，单调递减，则单调递减， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·辽宁营口·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数的定义域，再根据复合函数的单调性原则求单调性即可. 【详解】由题意知，解得或， 令，对称轴为， 则在上单调递减，在单调递增， 又是增函数，所以的单调递增区间是. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，则，解得， 故函数的定义域为， 令，， 由可得，由可得或， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的增区间为、. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·黑龙江·期中）函数的单调递增区间为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合复合函数的单调性的判断方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在时单调递增， 要使得函数单调递增，则满足，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的基本性质：函数单调性的证明、由函数单调性求参数、复合函数的单调性专项训练 函数的基本性质：函数单调性的证明、由函数单调性求参数、复合函数的单调性专项训练 考点目录 函数单调性的证明 由函数单调性求参数 复合函数的单调性 考点一 函数单调性的证明 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 例2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)根据定义证明：函数在区间上单调递减； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 例3．（25-26高一上·浙江·期中）已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 变式1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知函数，其中． (1)若在上具有单调性，求的取值范围； (2)若的解集为，求的值，并根据定义证明函数在上单调递增． 变式2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 变式3．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 考点二 由函数单调性求参数 例1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·陕西榆林·期中）若是上的单调函数，则实数的取值范围为__________. 例4．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是______． 变式1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 变式3．（25-26高一上·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 变式4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围______. 考点三 复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·山西运城·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数是定义在上的增函数，则的单调递减区间是______. 变式1．（25-26高一上·辽宁营口·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 变式3．（25-26高一上·黑龙江·期中）函数的单调递增区间为________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $