函数奇偶性的应用-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

务基固木 函数奇偶性的应用 ■湖北省巴东县第一高级中学 谭海锋 函数的奇偶性是函数的重要性质 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49) 之一，是函数在其定义域关于原点对称 +f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3) 的情况下，满足特定对称性质的特殊性 +f(4)]+f(1)+f(2)=12×0+2+ 质（奇函数的图像关于原点对称，偶函 0=2。应选C。 数的图像关于y轴对称)。 点拨：解答本题的关键是得到 应用一：求函数的值 f(x十4)=f(x),即f(x)是以4为周 例1已知f(x)是定义域为 期的周期函数。 (-∞，十∞)的奇函数，满足f(1一x) 应用二：求参数的取值范围 =f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+ 例2已知定义在[一2,2]上的奇 f(2)+f(3)+…+f(50)=()。 函数f(x)在区间[0,2]上单调递减， A.-50B.0C.2D.50 若f(1一m)<f(m),则实数m的取 解：因为f(x)是定义域为（一∞， 值范围是 +∞)的奇函数，且f(1-x)=f(1十 解：因为f(x)在区间[一2,2]上 x),所以f(1-x)=f(1+x)=-f(x 为奇函数，且在区间[0,2]上单调递减， -1),且f(0)=0,所以f(x+2)= 所以f(x)在区间[一2,2]上是减函 -f(x),所以f(x+4)=-f(x+2) 数。又因为f(1一m)<f(m),所以 =f(x),即函数f(x)的周期为4。由 -2≤1-m≤2， f(1-x)=f(1+x),令x=1得 2≤m≤2， 解得-1≤m<2,故 f(2)=f(0)=0,令x=2得f(3)= 1-m>m, f(-1)=-f（1)=-2,令x=3得 实数m的取值范围是 f(4)=f(-2)=-f(2)=0,则f(1) +f(2)+f(3)+f(4)=0。又因为 点拨：解题时注意f(x),f(1一m), f(49)=f(1)=2,f(50)=f(2)=0, f(m)中x,1一m,m的意义是相同的。 =4b2+2b一1，则下列结论正确的是 可得a2+|a<(2b)2+|2b|。构造函 ()。 数f(x)=x2+|x|,易知f(x)为R上 A.a<2b B.a>26 的偶函数，在[0，+∞)上单调递增，且 C.|a|<|2b D.|a|>|2b f(a)<f(2b),所以f(|aI)< 解：由a2+|a|=4b2+2|b|-1, f(|2b|),所以|a<|2b。应选C。® 11 夯基固本 应用三：求不等式的解集 C.有最大值3 例3假设f(x)为偶函数，在区 D.有最小值-3 间（一∞，0）上单调递增，且f(一2)= 解：由题意得f(x)在(-∞，0)上 0,则xf(x)<0的解集是()。 也单调递减。当x∈[-b,一a]时， A.(-1,0)U(2,+∞) -x∈[a,b],则f(b)≤f(-x)≤ B.(-∞，-2)U(0,2) f(a),即-3≤-f(x)≤4，所以-4≤ C.(-2,0)U(2,+∞) f(x)≤3，所以在区间[-b,-a]上有 D.(-2,0)U(0,2) f(x)mn=-4,f(x)mx=3。应选BC。 解：已知偶函数f(x)在（一∞，0） 点拨：奇函数在关于原点对称的区 上单调递增，且f(一2)=0，所以函数 间上具有相同的单调性。 f(x)在(0，+∞)上单调递减，且 应用五：比较大小 f(一2)=f(2)=0。作出函数f(x)的 例5对任意实数x总有f(一x) 大致图像，如图1所示。 =f(x),且f(x)在区间(-∞，一1]上 是增函数，则( A.f(-8)<f(-1)<f(2) B.f2)<f(-)<f(-1) 图1 x0, C.f(2)<f(-1)<f-多》 由xf(x)<0,可得 或 f(x)>0, x>0, D.f(-1D<f()<f2) 结合图像得一2<x<0或 f(x)<0 解：对任意实数x总有f(一x) x>2,所以不等式的解集为（一2,0）U f(x),所以f(x)为偶函数，所以f(2) (2,十∞)。应选C。 =f(-2)。因为f(x)在区间（一∞， 点拔：偶函数在关于原点对称的区 一1]上是增函数，且-2<- 间上具有相反的单调性。 3-1 应用四：求函数的最值 所以f(-2)<f(-)<f(-1),即 例4（多选题）已知f(x)是奇函 数，在区间(0，+∞)上单调递减，在区 f2)<f(-)<f(-1).应选B。 间[a,b](a<b<0)上的值域为[一3， 点拨：解题时，利用函数的奇偶性 4幻，则在区间[-b,-a]上( )。 先把自变量转化到同一单调区间上，再 A.有最大值4 利用单调性比较函数值的大小。 B.有最小值一4 12