3.1.3 第2课时函数奇偶性的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

●085 第2课时函数奇偶性的应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.（重点） 1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养。 2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的 2.借助奇偶性与单调性的应用，培养逻辑推理、数学运 问题.（难点、易错点） 算素养 必备知识探新知 知识点1函数的单调性与奇偶性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数（减函数），则f(x)在[-b,-a]上为 即在关于原点对称的区间上单调性 (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上为增函数（减函数），则f(x)在[-b,-a]上为 即在关于原点对称的区间上单调性 ●对应练习 1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，则 A.f(3)<f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f-4) D.f(4)<f(-π)<f(3) 2.定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在区间[0,3]上的图像如图中曲线OAB,其中点O,A,B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则函数f(x)的单调递减区间是 知识点2函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D,对HxeD都有fa+x)=f(a-x)(a为常数)，则x= 是f八x)的对称 轴. (2)若函数f代x)的定义域为D,对Vx∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数)，则 是f(x)的 对称中心 ●对应练习 思考辨析（正确的打“V√”，错误的打“×”） ()奇函数)=士，当>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，+”)上的解析式 与(-，0)上的解析式也相同. (2)对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(Ixl). (3)若存在x使f1-x)=1+x),则f(x)关于直线x=1对称， (4)若奇函数f(x)在(0，+∞)上有最小值a,则f八x)在(-∞，0)上有最大值-a. ( 086 关键能力攻重难 ●题型一 利用奇偶性求函数解析式 例 1.(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x-1,求函数 f(x)的解析式. (2)设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=e,求函数f(x),g(x)的 归纳提升：利用函数 解析式. 奇偶性求函数解析式 的步骤 (1)“求谁设谁”，即 在哪个区间上求解析 式，x就应在哪个区 间上设： ●[归纳提升] (2)转化到已知区间 提醒：若函数f(x)的定义域内会0且为奇函数，则必有f(0)=0,但若为偶函裁， 上，代入已知的解 未丈有f(0)=0.(易混点) 析式 》对点训练 (3)利用f(x)的奇偶 1.(1)f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+x3)+b,则当x<0时f(x)= 性写出-∫(x)或 () (-x),从而解出 A.x(1+x3) B.-x(1-x3) f(x). C.x(1-x3) D.-x(1+x3) (2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 归纳提升：判断含参 g(1)= 数的函数的奇偶性 ●题型二含有参数的函数的奇偶性的判断 时，应注意对参数进 例 2.设a为实数，讨论函数f(x)=x2+Ix-al+1的奇偶性. 行分类讨论，若函数 思路探究：以a是否为0进行分类讨论. 为非奇非偶函数时， 可用特值法进行判 断. ·[归纳提升] 对点训练 2.已知函数f(x)=x2+a,常数a∈R,讨论函数f代x)的奇偶性，并说明理由. ●087 ●题型三 函数奇偶性与图像的对称性的综合应用 归纳提升：（1)解决函数奇 例31)定文在R上的函数)在(-云，2)上是增函数，且：+2)为偶丽 偶性与图像的对称性的综合 问题时，要注意把已知函数 数，则 (） 的奇偶性按定义转化，再判 A.f(-1)<f(3) B.f0)>f(3) 断函数图像的对称轴或对称 C.f(-1)=f3) D.f0)=f3) 中心，也可利用图像变化关 (2)设x)是定义在R上的奇函数，且x)的图像关于直线x=方对称， 系得出函数图像的对称性 总之，要充分利用已知条件 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= [归纳提升] 进行适当转化 )对点训练 (2)关于函数的对称性 3求证：函数八)+的图像关于(-1，)对称 函裁f(x)若对于任意x∈ R,a是常数 ①关于直线x=对称 f(a+x)=f(a-x)(f(2a -x)=f八x)）, ②关于点(a,b)对称 台f(a+x)+f(a-x)= 2b(f2a-x)+f(x)=2b), 特别地：关于点（a,0)对 称，则∫(a+h)= ●题型四函数奇偶性与单调性的综合问题 -f(a-h). 例4函数()为定义在R上的奇函数，已知当x≥0时x)=x本 (1)当x<0时，求f(x)的解析式； 归纳提升：利用函数的奇偶 (2)判断f(x)在[0，+∞)上的单调性，并利用单调性的定义证明； 性和单调性解不等式要注意 (3)若f(a+1)+f(2a-2)>0,求a的取值范围. 两点 (1)奇函数在定义域内的关 于原点对称的两个区间上单 调性相同，偶函裁在定义域 内的关于原点对称的两个区 间上单调性相反， P[归纳提升] (2)确定单调区间，依据题 对点训练 设条件将不等式转化为具体 4.设函数f(x)在R上是偶函数，在(-∞，0)上单调递增，且f(2a2+a+1)<不等式，在这个区间上解不 f(-3a2+2a-1).求实数a的取值范围. 等式 088 课堂检测 固双基 1.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 是 5,则f(x)在区间[-7，-3]上是 ( ) A.a>1 B.a<-2 A.增函数且有最大值-5 C.a>1或a<-2 D.-1<a<2 B.增函数且有最小值-5 C.减函数且有最大值-5 4.已知f(x)= -3,x>0·是奇函数，则八g(-3)= Ig(x),x<0 D.减函数且有最小值-5 2.已知偶函数在(-∞，0)上单调递增，则 )5.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=x+1, A.f1)>f2) B.f(1)<f2) 则x>0时f(x)= C.f(1)=f(2) D.以上都有可能 夯基提能作业 3.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0， 请同学们认真完成练案[23] +∞)上是增函数，f(3)<f(2a+1),则a的取值范围 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点、二次函数的零，点及其与对应方程、 不等式解集之间的关系 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之 1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养. 间的关系.（难点） 2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻 2.会求函数的零点.（重点） 辑推理的素养 3.掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零 3.利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养 点法求不等式的解集.（重点、难点） 必备知识 探新知 思考1：(1)函数的零 知识点1 函数的零点 点是点吗？ (1)零点的概念：如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零，即 ,则a (2)所有的函数都有 为函数f(x)的零点. 零点吗？ (2)零点的意义 提示：(1)函数的零 点是实数，而不是点 函数y=fx)的零点a 如函裁f(x)=x+1的 零点是-1，而不是 函数y=f(x)的图像 方程f(x)-0的根a (-1,0) 与x轴的公共点(a,0) (2)并不是所有的函 ●[思考1] 数都有零点，如函裁 ●对应练习 八)=L ，y=x2+1 函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 均没有零点 A-2,-1 B.2.l c小(2)由图像知，使)<0的x的取值集合为(-2,0)U4.一子 由题得f代x)为奇函数，则f(0)=0,即0+2a+3=0, (2,5) 3 对点训练2：因为代)=+ ,所以f代x)的定义域为R又对任 ∴.a=- 此时八)=+g为奇函数 意xeR,都有f(-x)=(-+12+1 =f(x),所以fx) 第2课时函数奇偶性的应用 为偶函数，所以f代x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示 : 必备知识探新知 知识点1：(1)增函数（减函数）相同(2)减函数（增函 数)相反 2 对应练习 1.Cf代x)是定义在R上的偶函数， …… 7 .f代-m）=fπ)，f(-4)=f4), -324. 01.2.3. 又fx)在(0，+0)上是增函数，0<3<π<4， .f3)<f(π)<f4),即f3)<f(-π)<f-4). 2.[-1,0]和[1,3]利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其 在[-3,0]上的图像后写出单调递减区间.由于函数f(x)是 [-3,3]上的偶函数，所以其图像如图所示.所以它的单调递 例3：方法一：任取x>0,则-x<0. 减区间为[-1,0]和[1,3]. .f代-x)=(-x)2-1=x2-1=-(-x2+1)=-fx). 又任取x<0,则-x>0. f-x)=-(-x)2+1=-x2+1=-(x2-1)=-fx). 综上，对xe(-0,0)U(0,+0)都有f代-x)=-fx)成立， ∴.函数f(x)为奇函数 方法二：)=：+1，后(0，+0) -3-2-10 lx2-1,xe(-o,0) 知识点2：(1)a(2)(a,b) 对应练习 即x)=(-x+)0)， (1)×(2)V(3)×(4)V 则-)=(-)=-1(-+)=-) 关键能力攻重难 例1：(1)当x<0时，-x>0f孔-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2 ∴.f(x)为奇函数 +2x-1. 对点训练3：函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),所以x<0 当x>0时，-x<0f(-x)=-(-x)2-2=-x2-2=-(x2 时f(x）=-x2-2x+1, +2)=-f(x), 又因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.所以 当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2 x2-2x-1(x>0), 2)=-f(x). f(x)= 0(x=0), 当x=0时f(0)=0,即x=0时f(-x)=-f(x). l-x2-2x+1(x<0) 综上所述，x∈R,有f(-x)=-f代x),故该函数为奇函数 (2):f孔x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)=-f(x), 课堂检测固双基 g(-x)=g(x). 1.Cy=f(x)是奇函数∴f(-a)=-f(a).故选C. 由fx)+g(x)=e,① 用-x代替x得f代-x)+g(-x)=e, 2.B由 3-x2≥0， 得fx)的定义域为[-3,0)U(0,5],关 [x≠0 .-fx)+g(x)=e*,② 于原点对称， (0-2)2.得)=2二 又-)=3-(--3-王.-3- =-fx), 一X -x (①+②)÷2，得g(x)=e+e 2 ∴f(x)是奇函数， 对点训练1：(1)C(2)3(1)根据题意，f(0)=b=0, )=3立的图像关于原点对称 所以当x≥0时f(x)=x(1+x3), 若x<0,则-x>0, 3.B因为函数f代x)是定义在R上的偶函数，所以f2)=f(-2)= 则f代-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3),又由函数fx) （-2)3=-8,故选B. 为奇函数，则f(x)=-f代-x)=x(1-x3) -185 (2)由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+ g(-1)=f1)+g(1)=4,两式相加，解得g(1)=3. 解析武为x)=产文 例2：当a=0时，fx)=x2+1x|+1, (2)fx)在[0，+∞)上单调递增；任取x,x2∈[0，+0)， f-x)=(-x)2+1-xl+1=x2+xl+1=f(x), 且x<,则x)-f)=- x1+1x2+1 ∴.当a=0时，函数f(x)为偶函数. 当a≠0时，f(1)=2+11-al,f(-1)=2+I1+al, (x2+1)-x2(x1+1) x1-X2 假设f(1)=f孔-1)， （+1)(+)厂(+1)(，+因为0≤< ,所以-2<0，+1>0+1>0(+1)(+1 X1-X2 则11-a=11+al,(1-a)2=(1+a)2, .a=0,这与a≠0矛盾， ! 0,即f代x)<f(x2),所以fx)在[0，+0)上单调递增. 假设f(-1)=-f(1),则2+11+al=-2-11-al这显然 (3)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)在[0， 不可能成立(.2+1+al>0,-2-11-al<0), +∞)上单调递增， ∴.f-1)≠f1),f(-1)≠-f1), 所以函数f(x)在R上单调递增，由f代a+1)+f代2a-2)>0 .当a≠0时，函数f代x)是非奇非偶函数 对点训练2：当a=0时，f(x)是偶函数： 得fa+1)）>f2-2a),所以a+1>2-2a,解得a>号，所 当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数. 函数f代x)的定义域为(-，0)U(0,+∞)，定义域关于原点 以a的取值范围是（行，+） 对称 :对点训练4：f(x)为偶函数，则f(-x)=f代x)=f代Ix1), 当a=0时，f-x)=（-x)2=x2=f(x), 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增， .函数f(x)为偶函数 所以f代x)在(0，+∞)上单调递减： 当a≠0时f(1)=1+a,f(-1)=1-a, 又2a2+a+1=2e++景>0.-3+2a-1 .f代-1)≠f代1)，∴f(x)不是偶函数. f-1)+f1)=2≠0， -a--号<0， f-1)≠-f1), 且f2a2+a+1)<f-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1),所以 f代x)不是奇函数 2a2+a+1>3a2-2a+1, f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 例3：(1)A(2)0(1)因为f(x+2)为偶函数，所以其图像关 即a2-3a<0,解得0<a<3,即a的取值范围为(0,3). 于y轴对称，由于f(x+2)的图像可f(x)的图像向左平移 课堂检测固双基 2个单位长度得到，故代x)的图像关于直线x=2对称因1.A因为f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，所以 为函数f(x)在(-∞，2)上是增函数，所以f代x)在(2，+o) f代3)=5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知代x)在区 上是减函数，所以f-1)=f5)<f4)=f0)<f3). 间[-7，-3]上为增函数，且有最大值f(-3)=-f代3)= (2)由f(x)是R上的奇函数，得f0)=0.fx)的图像关 -5.故选A. 于直线x=对称，于是f代x)=f(1-x),f1)=0)= 2.Af(x)是偶函数，且在(-∞，0)上单调递增，f(x)在(0， +0)上单调递减，∴f1)>f(2),故选A. 0,f(2)=f代-1)=-f1)=0,f3)=f(-2)=-f2)=0,3.C因为函数fx)在实数集上是偶函数，且f3)<f2a+1), f4)=f-3)=-f3)=0f5)=f-4)=-f(4)=0,从 所以f代3)<f代I2a+1I),又函数f(x)在[0，+∞)上是增函 而f1)+f2)+f3)+f(4)+f5)=0. 数，所以3<12a+11,解得a>1或a<-2.故选C 对点训练：任取eR且么0，因为个-1+)=会 =4.-33因为函数f(x)是奇函数，所以f(-3)=g(-3)= 2-1-A)=22 -f3)=-6,所以fg(-3)=f-6)=-f6)=-33. -1-h+1--h-h 5.-x+1当x>0时，-x<0, 所以-1+h)+-1-h)=-2+h+2+h=2 ..f-x)=-x+1, h h 又f(x)为偶函数，..f(x)=-x+1. 所以函数x)-的图像关于(-1，)对称 3.2函数与方程、不等式之间的关系 例4：(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数，x≥0时，f(x) 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其 与对应方程、不等式解集之间的关系 当x<0时，-x>0, 必备知识探新知 所以x)=-f-)=-第 =产所以<0时)的 知识点1：(1)f(a)=0 -186