函数的概念与性质学习导引-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

夯基固本 函数的概念与性质学习导引 ■重庆市第四十九中学校 李均 函数是高中数学的重要内容，函数 (-∞，-1)U(-1,+∞)，函数y=x 的概念与性质是同学们学习高中数学 一1的定义域为R,故这两个函数不是 必须掌握的一个极为重要的知识点，学 同一个函数，C错误。函数中一个x值只 好函数的概念与性质可以培养同学们 能对应唯一一个y值，若y值不同，则x 的逻辑思维和解决实际问题的能力。 的值一定不同，D正确。应选ABD。 要点一：函数的概念 跟踪训练1：（多选题）下列命题中 函数的概念中的两个要求：A,B 的假命题是()。 均为非空的实数集；集合A中的每个 A.函数y=2x(x∈Z)的图像是 元素在集合B中有且只有一个元素与 一条直线 之对应。两个函数只有满足定义域和 B.f(x)=√Jx-3+√2-x是函数 对应关系均相同时，才是同一个函数。 C.若函数f(x)的定义域为（一1， 例1（多选题）下列选项中正确 2),则函数f(x+1)的定义域为(0,3) 的是( )。 D.f)=x+}和g)=1+月 A.函数f（x)= x+一反的定 是同一个函数 义域为[0，+∞) 提示：因为函数y=2x（x∈Z)的 B.函数f(x)的图像与y轴最多 定义域为2，所以其图像是由离散的点 有一个交点 (整点，横坐标和纵坐标都是整数)组成 C.函数y= x2-1 x+1 与函数y=x一 的，A错误。要使x一3与√2一x有意 1表示同一个函数 义，需满足 /x-3≥0， 此不等式组无 D.对于任何一个函数，若因变量 2-x≥0， y的值不同，则自变量x的值一定不 解，则f(x)的定义域为空集，不满足 同 函数的定义，B错误。由f(x)的定义 x+1≠0， 域为(-1,2)得-1<x+1<2,即-2 解：由题意得 解得x≥ x≥0， <x<1,所以f(x+1)的定义域为 0,A正确。由函数的定义知，函数 (一2,1)，C错误。两个函数的定义域 f(x)的图像最多与y轴有一个交点， 都是（一∞，0）U(0,+∞)，且对应关系 B正确。函数y=-1 相同，故这两个函数是同一个函数，D x+1 的定义域为 正确。应选ABC。 务基固木 要点二：函数的单调性 C.f(3)<f(4)<f(-2) 确定函数单调性的三种方法：定义 D.f(4)<f(-2)<f(3) 法，图像法，性质法。函数单调性的三 提示：由题意知f(x)在（一∞，0] 个应用：比较函数值的大小，求解函数 上单调递减。又因为f(x)是定义在R 不等式，求参数的取值（范围）。 上的偶函数，所以f(x)在(0，+∞)上 例2（多选题）函数f(x)的定义 单调递增，则f(2)<f(3)<f(4)。因 域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠ 为f(-2)=f(2),所以f(-2)< x2),满足x1f(x1)十x2f(x2)> f(3)<f(4)。应选A。 x1f(x2)十x2f(x1),下列结论正确的 要点三：函数的奇偶性 是()。 判断函数奇偶性的前提是明确函 A.f(x)是减函数 数的定义域是否关于原点对称；利用函 B.f(-5)<f(0)<f(1) 数的奇偶性可以求函数值或求参数的 C.f(0)=0 取值（范围）；由函数的奇偶性可画出函 D.不等式f(2x-1)<f(3-x) 数在其对称区间上的图像，利用几何直 观可以求解相关问题。 的解集为(-c©，》 例3（多选题）已知f(x)是定义 解：由x1f(x1)+x2f(x2)> 在R上的函数，则下列结论正确的是 x1f(x2)+x2f(x1),可得(x1-x2): ）。 [f(x1)一f(x2)]>0,因此f(x)是增 A.若恒有f(x2)=-f(-x2),则 函数，A错误。由一5<0<1，可得 f(x)是奇函数 f(一5)<f(0)<f(1),B正确。不 B.若恒有2f(x十y)f(x一y) 定有f(0)=0,如f(x)=2x在R上为 f(x)十f(y),且f(0)≠0，则f(x)是 增函数，f(0)=1,C错误。由f(2x一 奇函数 1)<f(3-x),可得2x-1<3-x,解 C.若恒有f(x)十f(y)=f(x+ y),则f(x)是偶函数 得x<3D正确。应选BD。 D.若恒有f(xy)=yf(x)+ 跟踪训练2：定义在R上的偶函数 xf(y),则f(x)是奇函数 f(x)满足对任意的x1,x2∈（一∞，0] 解：对于A,Ht∈R,当t>0时，令 1≠x2,总有fx1)-f(x) ∠0，则 t=x2,由f(x2)=-f(-x2)得f(t) x1一x2 =-f(-t),即f(-t)=-f(t);当t ()。 =0时，令t=x2=0,由f(x2)= A.f(-2)<f(3)<f(4) -f(-x2)得f(0)=-f(0),即 B.f(-2)>f(3)>f(4) f(0)=0;当t<0时，令t=一x2,由 5 夯基固本 f(x2)=-f(-x2)得f(-t)= 直线x=a十对称台fu十x)=f6 -f(t)。综上可得，Ht∈R,f(-t)= 2 一f(t),所以f(x)是奇函数，A正确。 一x);函数f(x)的图像关于点(a,b) 对于B,令x=y=0得2[f(0)]2= 对称台f(a+x)+f(a-x)=2b台 2f(0),结合f(0)≠0得f(0)=1,显 f(2a-x)=2b-f(x);函数f(x)的 然不符合f(一x)=一f(x),B错误。 图像关于点士，引对称台a十 对于C,令x=y=0得f(0)+f(0)= 十f(b-x)=c。 f(0),即f(0)=0,令y=-x得f(x) 例4已知y=f(x)是定义域为 十f(-x)=f(0)=0,即f(-x)= R的函数，则函数y=f(x+2)与y= 一f(x),所以f(x)是奇函数，C错误。 f(4-x)的图像( ）。 对于D,令x=y=0得f(0)=0,令 A.关于直线x=1对称 x=y=1得f(1)=f(1)+f(1),即 B.关于直线x=3对称 f(1)=0,令x=y=-1得f(1)= C.关于直线y=3对称 -f(-1)-f(-1),即f(-1)=0,令 D.关于点(3,0)对称 y=-1得f(-x)=-f(x)十 解：设P(xo,yo)为函数y=f(x xf(-1)=-f(x),所以f(x)是奇函 十2)图像上任意一点，则yo=f(xo十 数，D正确。应选AD。 2)=f(4-(2-xo)),所以点Q(2 跟踪训练3：已知函数f(x)对任 xoyo)在函数y=f(4-x)的图像上， 意x,y∈R,都有f(x十y)=f(x)+ 显然点P(xo,yo)与点Q(2一xo,yo) f(y)+2,则f(x)+2为函数。 关于直线x=1对称。应选A。 (填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 跟踪训练4：（多选题）下列说法中 提示：由题意知函数f(x)的定义 正确的是( ）。 域为R,即定义域关于原点对称。令x A.函数f(x)=2x-1 x十2的图像关 =y=0,则f(0)=f(0)十f(0)+2,即 于点（一2,2)对称 f(0)=-2。令y=-x,则f(0)= B.若函数f(x)满足f(2x-1)为 f(x)+f(一x)+2,故f(x)+2= 奇函数，则函数f(x)的图像关于点 -f(-x)-2=-[f(-x)+2],即 (-1,0)对称 f(x)+2为奇函数。 C.若函数y=f(x)过定点(0,1)， 要点四：函数的对称性 则函数y=f(x一1)+1过定点(1,2) 函数y=f(x)的图像关于直线x =a对称台f(x)=f(2a-x)台f(a- D.若函数y= 一的图像关于点 x-b x)=f(a十x);函数f(x)的图像关于 (3,c)对称，则b十c=2 6 夯基固木 提示：f(x)= 2x-1 2一 6 一1)=f(x),g(x一3)是偶函数，且 x+2 x+2 f(x)+g(x-3)=2,若g(-3)=1, 5 其图像由y=一°的图像先向左平移2 则( )。 个单位长度，再向上平移2个单位长度 Af-日 5 得到，且y=一二的图像关于原点对 B.f(x)的图像关于点（号0）对称 称，故f(x)=2二的图像关于点 C.f(x)=f(x+6) x-2 D.f(x)是奇函数 (一2,2)对称，A正确。因为f(2x一 解：由f(x)+g(x一3)=2得 1)为奇函数，所以f(2x一1)= f(-x)+g(-x一3)=2，因为 -f(-2x-1),所以f（x-1)= g(x-3)是偶函数，所以f(-x)+ -f(-x-1),所以f(x)=一f(-x g(-x-3)=f(-x)十g(x-3)=2= -2),所以函数f(x)关于点(-1,0) f(x)+g(x-3),所以f(x)= 对称，B正确。函数y=f(x)的图像 f(一x),故f(x)是偶函数。令x=0 先向右平移1个单位长度，再向上平移 得f(0)+g(-3)=2,由g(-3)=1 1个单位长度得到函数y=f(x一1)+ 得f(0)=1,所以f(x)不可能是奇函 1的图像，由于y=f(x)过定点(0,1)， 数，D不正确。由f(x+1)+f(x一1) 故y=f(x-1)+1过定点(1,2)，C正 =f(x),令x=0得f(1)+f(-1)= 确。函数y=二=1+的图像 x-b x-b 2f1)=f(0)=1,所以f(1)=2,A b=3, 关于点(3，)对称，所以 所以 正确。由f(x十1)十f(x-1)=f(x) c=1, 得f(x)+f(x-2)=f(x-1),所以 b十c=4,D不正确。应选ABC。 -f(x+1)=f(x-2),所以f(x)= 要点五：函数性质的综合应用 一f(x+3)。由f(x)=f(-x)得 单调性、奇偶性、对称性和周期性 f(-x)=-f(x十3)，即f(-x)十 是函数的四大性质，在高考中常常将它 f(x+3)=0,所以f(x)的图像关于点 们综合在一起命题。解题时，往往需要 借助函数的奇偶性、对称性和周期性来 (0)对称，B正确，由f) 确定函数在另一区间上的单调性，即先 -f(x十3)得f(x+6)=-f(x+3) 实现区间的转换，再利用单调性解决相 =f(x),C正确。应选ABC。 关问题。 跟踪训练5：（多选题）已知定义在 例5（多选题）已知函数f(x), R上的函数f(x)满足f(x)+f(一x) g(x)的定义域均为R,f(x+1)+f(x =0,f(x)十f(x十4)=0，且对任意的 夯基固本 x1,x2∈[-2,0]，当x1≠x2时，都有 像是一条直线 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则以 B.幂函数的图像都经过(0,0)， 下判断正确的是( )。 (1,1)两点 A.f(x)是偶函数 C.幂函数y=xm的图像不可能在 B.f(x)的最小正周期是4 第四象限内 C.f(x)在[2,6]上单调递增 D.若幂函数y=xm是奇函数，则 D.直线x=1是函数f(x十1)图 y=xm是定义域内的增函数 像的一条对称轴 解：当m=0时，函数y=xm的图 提示：由f(x)十f(一x)=0知 像是直线y=1除去点(0,1)，A不正 f(x)是奇函数，A错误。因为对任意 确。当幂函数的指数小于0时，幂函数 的x1,x2∈[一2,0]，当x1≠x2时，都 的图像不经过点(0,0)，B不正确。幂 有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0, 函数y=x”的图像不可能在第四象限 所以f(x)在[一2,0]上单调递减，结 内，C正确。当m=一1时，幂函数y= xm是奇函数，但在定义域内不是增函 合f(x)是奇函数知f(x)在[0,2]上 数，D不正确。应选C。 单调递减，所以f(x)在[一2,2]上单 跟踪训练6：（多选题）已知函数 调递减。由f(x)是奇函数及f(x)十 f(x)=x“(a为常数)，则下列说法正 f(x+4)=0知f(x)=-f(一x) 确的是( ）。 -f(x+4),即f(-x)=f(x+4),所 A.f(x)的图像恒过定点(1,1) 以f(x)的图像关于直线x=2对称， B.当a=一1时，f(x)是减函数 所以f(x)在[2,6]上单调递增，且直 C.当a=3时，f(x)是奇函数 线x=1是函数f(x+1)图像的一条 对称轴，C,D正确。由f(x)=一f( D.当a=2时，fx)的值域为(0， +4)=f(x+8),结合f(x)在[-2,6] 十∞) 上的单调性知函数f(x)的最小正周 提示：f(1)=1°=1，A正确。当a 期为8，B错误。应选CD。 =-1时，f(x)=分别在(-∞，0)， 要点六：幂函数的图像与性质 对于幂函数y=x(a是常数)，a (0,+∞)上单调递减，在定义域上不单 的取值不同，对应幂函数的单调性和奇 调，B错误。当a=3时，f(x)=x3的 偶性也不同。 定义域为R,且f(x)是奇函数，C正 例6 下列命题中正确的是 确。当a=2时，f(x)=丘的值域为 )。 [0,十∞)，D错误。应选AC。 A.当m=0时，函数y=xm的图 8