考案 (3) 第三章函数的概念与性质-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

新数学必修·第一普RU以 6.(2026·新高考Ⅱ卷)已知八x)为定义在R上的偶函数，且八x)+三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 材 习、究、练、测四位一体 考案（三） f代x-2)=0.当x [层时s=+ar6则 12(2022·北京卷)函数(x)=↓+/=的定义域是 第三章函数的概念与性质 A.a=-2.b=-3 B.a=-2,b=3 13.已知f(x)= 2x,x>0, C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 (x+1),x≤0 则r()+()等于 (时间：120分钟满分：150分) 7.已知函数f代x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f八x)(y),且 整 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 4)=16,则八3)= 14.已知幂函数(x)=”的图象经过点(9,3)，则了()月 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) A.1 B.2 C.4 D.8 函数/片)的定义域为 r-x2-ax-5(x≤1)， 1.函数f(x)=√+x+的定义域是 8.已知函数f(x)= 是R上的增函数，则实数a的 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 (x>1 A[-1,+) B.(-g,0)U(0,+o) x 程或演算步骤)】 C.[-1,0)U(0,+) 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2f(2)=-1. D.R 取值范围是 A.-3≤a<0 B.-3≤a≤-2 (1)求f(m+1)的值： 2.下列各组中的函数f(x)与g(x)是同一个关于x的函数的是 C.a≤-2 D.a<0 (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给 为 A0)=l,g=￡ 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分】 B.f(x)=2x-1,g(x)=2x+1 9.已知∫(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是 C.f(x)=x2,g(x)= A.f(3)=9 B.f(-3)=4 C.f(x)=x D.f(x)=1,g(x)=x D.f(x)=(x+1) 10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是 3.有关函数单调性的叙述中，正确的是 ( 2 A.y=-二在定义域上为增函数 Af(0)=0 B.若f(x)在[0，+0)上有最小值-1，则f(x)在(-∞，0]上有最 Ry=在0，+云)上单调递增 大值1 x+1 C.若f(x)在[1，+)上为增函数，则f(x)在(-，-1]上为减 C.y=-3x2-6x的减区间为[-1，+∞) 函数 D.y=ax+3在(-，+)上必为增函数 D.若x>0时，f(x)=x2-2x,则x<0时，f(x)=-x2-2x 11.德国数学家狄利克雷(1805-1859)在1837年时提出：“如果对于 4.已知幂函数∫(x)=的图象过点(2.2 ）,则函数g(x)= x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的 函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵。只要有一个法则， (x-2)f(x)在区间 [公小上的最小值是 ( 使得取值范围中的每一个x,有一个确定的y和它对应就行了，不 管这个法侧是用公式还是用图象，表格等形式表示，例如狄利克 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 雷函数D(x),即：当自变量取有理数时，函数值为1：当自变量取 5.已知函数f(x)为偶函数，且在(-，0]上单调递增，f(-1)=2,则 无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确 不等式f(2x+1)<2的解集为 ( 的有 ( ) A.(-∞，-1)U(0,+x) B.(0,+) A.D(2)=0 B.D(x)的值域为0,1 C.(-1.0) D.(-∞，-1)】 C.D(x)为奇函数 D.D(x-1)=D(x) 417 418 16.(本小题满分15分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且 18.(本小题满分17分)已知函数g(x)=+xe(-1,1). 19.(本小题满分17分)如果函数y=f(x)(xED)满足： f几f(x)]=9x-2. ①f(x)在D上是单调函数： (1)求f(x): (1)证明：函数g(x)在(-1,1)上单调递增： ②存在闭区间[a,b]CD,使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a, (2)求函数y=f(x)+-x在xe[-1,]上的最大值， (2)若g(-1)+g(2)<0,求实数t的取值范围. b].那么就称函数y=∫(x)为闭函数. 试判断函数y=x2+2x在[-1，+∞)内是否为闭函数.如果是闭函 数，那么求出符合条件的区间[a,b]:如果不是闭函数，请说明 理由， 17.(本小题满分15分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共 14,如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元：如果进行精 加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费。 总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x()有如下关系：P 品0≤8， 设该蔬菜种植基地将x()蔬菜进行精加工后销 3x+8 10,8<r≤14. 售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元).（注：总利润 =销售获利-加工费) (1)写出y关于x的函数解析式： (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润 419 4203 由根与系数的关系可得马18，得日 2 (2)因为关于x的不等式2+-8<0的解集为R,6≠0， 所以20， 4=2+3k<0,解得-3<k<0,故k的取值范围为k1-3<h<01. 18.(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W=xR(x)-(160.x+400) =x/7400040000 -(160x+400) x2 400000 =74000 160x-400 400000 =73600- -160x(x≥40) (2)由(1)可得W=73600400000 160x 400000 ≤73600-2 .160x =73600-16000=57600. 当且仅当400000 160x,即x=50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手 机的生产中获得最大利润为57600万元. 19.(1)证明：a2+(y1+y2)a+yy2=0,.(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a. (2)证明：当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为-a,且 -a<0,∴.图象与x轴有两个交点； 当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为-a,且-a>0, ∴.图象与x轴有两个交点.“.二次函数的图象必与x轴有两个交点. (3).·ax2+bx+c>0的解集为{xlx>m或x<n}(n<m<0), m+n=- ∴.a>0且ax+bx+c=0的两根为m,n, a. -且c>0, C mn c mn= cx2-bx+a>0即26rt 0即00(+)（日）0 mn mn 11 .'n<m<0,. n m 不等式a2-a+n>0的解集为或K} m 考案（三） 1.C要使函数有意义，则+≥0，解得x≥-1且x≠0，故选C x≠0， 2.CA中的f(x)=x-1与g(x)=-1定义域不同：B中的f(x)=2x-1与g(x)=2x+1对 应关系不同；C中的f(x)=x2与g(x)=定义域相同，且5=x2,故是同一个函数；D 中的f(x)=1与g(x)=x°定义域不同.故选C 3.C对于A,其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整 个定义域上为增函数：对于B,在[0，+0)上单调递减：对于C,因为y=-3x-6x -3(x+1)2+3,可求得减区间为[-1，+∞)；对于D,增减性与a的取值有关.故选C. 4C由已知得2了解得。=-1g)212在区同[行，上单调递指，则 /11 g(x)m=g（2)=-3,故选C 5.A因为函数f(x)为偶函数且在(-∞，0]上单调递增，f(-1)=2,所以函数f(x)在 [0,+∞)上单调递减，f(1)=2,且f(2x+1)=f(I2x+11),所以f(I2x+1I)<f(1),所以 I2x+1I>1,解得x<-1或x>0,即x的取值范围是(-0，-1)U(0,+∞).故选A. 6.Df代x)是定义在R上的偶函数，f(-x)=f代x),:f(x)+fx-2)=0,f1)+f(1-2) =03)+3-2)=0f()(3-2）-0(3)+(32）=0,2)=03)+ )=0(3)(2）=0(3)(2）=03)=0(含)f(2)又 r9+3a+b=0, e[时)=a+h 25.5 (42+h= 93 42a+h, =故选D 43 7D由已知得x)=(宁+号)=[/（乞）]≥0代4)=f2+2)=2(2)=16,所以 f代2)=4，所以f代1)f(1)=f(2)=4,所以f1)=2,所以f(3)=f代2+1)=f(2)f(1)=8.故选D. 8.B由条件可知{ 2≥1， 解得-3≤a≤-2. a<0, 1-a-6≤a, 9.BD因为f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故选项C错误， D正确：f(3)=16,f(-3)=4,故选项A错误，B正确.故选BD. 10.ABD奇函数在对称的区间上单调性相同，故C错误，其余都正确。 ABD由题得D()=0,Q,则D(VD)=0,所以A正确：容易得D(x)的值域 10,1,所以B正确：因为D(-)-股0.所以D(-)=D(,0)为偶函数，所 O;EQ,所以D(x-1)=D(x),所以D正确.故选ABD, 以C不正确；因为D(x-1)=,x∈Q, 12(-,0)U(0,】因为到=，所以化0.0，解得≤1且0.故函数的 定义域为(-0,0)U(0,1]. a4)=00.f(号)（含-(）-（专1） 48 48 14② (0,1] 幂函数∫(x)的图象经过点(9,3)，所以3=9，所以a=7,所以幂函数 =,放了（分）-号放上1≥0.解得01 15.(1)由f(1)=2,f(2)=-1,得a+b=2,2a+b=-1,即a=-3,b=5, 故f(x)=-3x+5,f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2. (2)f(x)在R上是减函数. 证明：任取x1<x2(x1,x2eR), 则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),因为x1<x2, 所以f(x2)f(x)<0,即f(x3)<f(x1), 所以函数f(x)在R上单调递减. 16.(1)由题意可设f(x)=kx+b(k<0),由于f九f(x)]=9x-2,则k2x+仙+b=9x-2, 故低82-2.解得伦故到=-3x+1 (2)由(1)知，函数y=-3x+1+x2-x=x2-4x+1=(x-2)2-3, 故函数y=x2-4x+1的图象开口向上，对称轴为x=2, 当-1<a≤5时，y的最大值是f(-1)=6, 当a>5时，y的最大值是f(a)=a2-4a+1, 除上w-8 17.(1)由题意，知当0≤x≤8时，y=0.6x+0.2(14-x) .214 5x+5, 当8<x≤14时，=0.6x+0.2(14-)-3x+81 1010x+2, 12 214 20+5+5,0≤x≤8， 即y= 710x+2,8<x≤14. 2)由I)知当0≤x≤8时，y=)02+2+14=- 5+ 520(x-4)2+18 5 所以当x=4时，y取得最大值，为3.6. 当8<x≤14时，y=0+2,所以当x=14时，)取得最大值，为3.4 因为3.6>3.4，所以当x=4时，y取得最大值，为3.6. 故当精加工蔬菜4t时，总利润最大，为3.6万元 18.(1)证明：设x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, x1x2x(x号+1)-2(x+1)(x1-x2)(1-x1x2) 则g(x1)-g(x2)= x2+1x号+1(x+1)(+1)(x+1)(x+1) x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0,1-x1x2>0, （x1-x2)（1-x1x2 (+1)(+) -<0. 即g(x1)-g(x2)<0,∴.g(x)<g(x2),∴.函数g(x)在(-1,1)上单调递增 2)因为(-)()，则()为奇函数 5 43 由g(t-1)+g(2t)<0,得g(2t)<g(1-t). 又因为g(x)在(-1,1)上单调递增， r-1<2t<1, 则-1<1-<1，解得0<K3 2t<1-t, 11 故实数t的取值范围为t0<tK3}: 19.设x1,x2是[-1，+∞)内的任意两个不相等的实数，且-1≤x,<x2,则有 f(x2)-f(x1)=(x2+2x2)-(x+21)=(x-x1)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2). ,-1≤x1<x2,∴.x2-x1>0,x1+x2+2>0. .（x2-x1)(x1+x2+2)>0..f(x2)>f(x1) .函数y=x+2x在[-1，+∞)内是增函数。 假设存车符合条件的区侧a1,则有代8公：即叫8女 解得6=8或{69减8=0或8=- 1b=-1. 又：-1≤a<s{化0 .函数y=x+2x在[-1，+∞)内是闭函数，符合条件的区间是[-1,0]· 考案（四） 1.C“a<22a-1<0.于是，原式=(1-2a)=-2a.故选C 2B要使函数有意义，则1≥0，解得1≤<2，所以所求函数的定义域为[1,2).故选B. 12-x>0. 3.A:函数f(x)=log2x在定义域内单调递增，f(4)=log24=2,.不等式f代a+1)<2等价于 0<a+1<4,解得-1<a<3,故选A. 4.A函数f(x)=2-2+x3的定义域为R,又f(-x)=2-2+(-x)3=-(2-2+x3)= -f(x),所以f(x)=2-2+x3为奇函数，又y=2y=-2y=x均在R上单调递增，所以 f(x)=2-2+x在R上单调递增.故选A. 5.C当a>1时，y=logx单调递增，y=(a-1)x2-2x-1开口向上，不过原点，且对称轴x= >0,可排除A、B选项：当0<a<1时，y=logx单调递减，y=(a-1)x2-2x-1开口向下， a-1 可排除D,故选C. 6A由题意指数函数6(x)=a的图象过点(-2,4)，故可得4=a,解得a=了，故函数 g(x)= (2 ,故其反函数f代x)=log1x,故f代1)+f(2)=log11+og12=0-1=-1. 7B方法-：要使两数：)有意义，必须清起0解得或心分因为函数 是偶函数所以对任意e(”,)U(分+），都有-)=.即(-： In =2x-1 -2x+1 2则-h(+ab对征意e(,) =(xta)In 2x-1 2x+1 （2,+∞恒成立，所以a=0.故选B. 方法二：因为f(x)=(x+a)l 2x-1 1 2x+i为偶函数-1)=(a-1)1h31)=(a+1)n3=-(a +1)n3,所以(a-1)n3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 8.B由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3在R上单调递减，y=在[0，+∞)单调 递增，所以f(x)=0.3-在定义域上单调递减，显然f0)=1>0,f(0.3)=0.3a3-0.35> 0,f代0.5)=0.35-0.50.5<0，所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5 故选B 9.BD函数fx)=是奇函数，故A不符合题意：fx)=5x+221x'是偶函数，且易判断 f(x)在区间(0，+o)上单调递增，故B符合题意：f-x)=e-e=-(e-e)=f(x),故 fx)=e-e为奇函数；对于D,f(x)=ln(lxl+1)为偶函数，且在(0，+o)单调递增，故D 符合题意.故选BD. 10.ABCf(x)=1g(Ix-21+1),所以f(x+2)=1g(Ixl+1) 为偶函数，故A正确；同时画出函数的图象，如图所示： 所以函数在(-∞，2)上为减函数，在(2，+∞)上为增函 数，且存在最小值，没有最大值，故A、B、C正确。故 选ABC. 11.BC :正实数，y满足g+gy<(行)广 ()广r(）广sg-(）易知) 6