精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2025—2026学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由补集的概念，得，故选C． 【考点】集合的补集运算 【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】是，. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 4. 已知，，，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举特殊值可判断ABC，根据不等式性质可判断D. 【详解】对于A，若， 此时，，但，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若， 此时，，但，故C错误； 对于D，若，则，故，故D正确. 故选：D 5. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性定义以及分段函数性质，限定得出对应不等式可得结果. 【详解】由任意，当时都有成立可知在定义域上单调递增； 因此当时，若为单调递增函数，可得，解得； 当时，若为单调递增函数，可得，解得； 又在定义域上单调递增，还需满足，解得； 综上可得，即可得的取值范围是. 故选：D 6. 对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，根据基本不等式“1”的妙用，求解可得，不等式恒成立转化为，解不等式即可求解. 【详解】由得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即， 不等式恒成立，即， 解得，即实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数，则该函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 8. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 所以，当时，， 令时，或；令时，；令时，或， 所以，作出函数的图像如图， 当时，实数的取值范围是. 故选：D 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则集合为 D. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法可判断B；化简集合，结合，可判断C；先分离常数，再结合反比例函数的图象性质，可判断D. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 而函数的定义域为， 两函数定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故选项A错误； 对于B选项，由函数的定义域为，可得， 所以，即，解得， 即函数的定义域为，故选项B正确； 对于C选项，由集合，解方程得或， 即， 当时，集合，满足，所以集合中必定有， 故选项C错误； 对于D选项，函数， 因为函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减， 根据反比例函数的性质，可得，解得，故选项D正确. 10. 已知正实数，，满足，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，根据基本不等式，可得， 又，即，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故选项A错误； 对于B选项，由基本不等式可得， 又，即， 当且仅当，即，时等号成立，故选项B正确； 对于C选项，因为， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时等号成立，故选项C错误； 对于D选项，由可得，所以， 由C选项，可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故选项D正确. 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，代入等式化简可得出函数的解析式. 【详解】令，则，代入等式得， 故. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为实数集，则实数k的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分与讨论列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可得，. 故答案为：． 14. 已知正实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由常数代换法，换元法，并利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】解：根据题意，由于 ， 令， 当时，由已知可得，所以； 当时， 则 ， 令； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最大值. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合，集合，． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得⫋，再对进行讨论，求出集合，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，解得，所以， 由，得到， 因为，则由可得，所以， 则. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 又，， 若，则，此时不满足⫋， 若，则，此时⫋不成立， 若，则，又⫋，则， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知在上是单调递减的一次函数，且. (1)求； (2)求函数在上的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意，设，根据，得到，由对应系数相等，求出，即可得出结果； （2）先由（1）得，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为在上是单调递减的一次函数， 所以设， 又，所以， 即，所以，解得：， 因此； （2）由（1）可得：是开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，函数在上单调递增，所以； 当，即时，函数在上单调递减，所以； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以； 综上，函数在上的最小值为. 【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，以及二次函数的值域，利用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 17. 中国车企在电动汽车自动驾驶技术方面日益成熟. 问界汽车凭借华为的技术支持， 在市场上取得了显著的成绩， 问界M9是华为旗下的一款大型SUV， 于2023年12月26日正式上市， 上市后受到广大车友的青睐.近期华为拟推出一款更加高阶的M9智驾新车型， 并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为10亿元，受到场地和产能等其它因素的影响， 该公司一年内生产该车万台且全部售完， 每台售价20万元，每年需投入成本为 (单位:亿元). （1）写出年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时， 该企业的年获利润最大， 并求出最大年利润； （3）若该企业不亏本， 求年产量(万台)的取值范围. 【答案】（1）； （2）当年产量为6万台时，该企业的年获利润最大，最大年利润49亿元； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式. （2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润. （3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元，总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元. 因此； 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 因此， 所以年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式为. 【小问2详解】 当时，在上单调递增，则亿元； 当时，，当且仅当，即时取等号， 而，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 【小问3详解】 当时，由，解得，则； 当时，，即， 函数在上单调递减，当时，， 则当，恒成立，因此， 所以该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为. 18. 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且. （1）求的值； （2）求证在定义域R上单调递减； （3）若时，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）令可得，再令运算即可得解； （2）结合函数单调性的定义任取，，证明即可得证； （3）由函数的性质转化条件为，先后令、即可得，结合函数单调性即可得解. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以； （2）证明：任取，，设， 则， 因为，所以，， 所以即， 所以在定义域R上单调递减； （3）由题意，，， 所以原不等式可化为即， 令，则，所以， 令，则， 所以， 又函数在定义域R上单调递减，所以. 【点睛】解决本题的关键是结合抽象函数的性质合理赋值，使其与所求产生联系，细心计算即可得解. 19. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合的生成集； （2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求证． 【答案】（1） （2）或或 （3），， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【小问1详解】 由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． 【小问2详解】 ①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2025—2026学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则= A. B. C. D. 2. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则该函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则集合为 D. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 10. 已知正实数，，满足，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 定义 ，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若直线与的图象有2个交点，则 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，则的解析式为________． 13. 已知函数的定义域为实数集，则实数k的取值范围为_________． 14. 已知正实数满足，则的最大值为__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合，集合，． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知在上是单调递减的一次函数，且. (1)求； (2)求函数在上的最小值． 17. 中国车企在电动汽车自动驾驶技术方面日益成熟. 问界汽车凭借华为的技术支持， 在市场上取得了显著的成绩， 问界M9是华为旗下的一款大型SUV， 于2023年12月26日正式上市， 上市后受到广大车友的青睐.近期华为拟推出一款更加高阶的M9智驾新车型， 并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为10亿元，受到场地和产能等其它因素的影响， 该公司一年内生产该车万台且全部售完， 每台售价20万元，每年需投入成本为 (单位:亿元). （1）写出年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时， 该企业的年获利润最大， 并求出最大年利润； （3）若该企业不亏本， 求年产量(万台)的取值范围. 18. 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且. （1）求的值； （2）求证在定义域R上单调递减； （3）若时，求实数的取值范围. 19. 定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合的生成集； （2）若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $