精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2026-2027学年高一上学期10月期中考试数学试题

佳一中2026-2027学年度第一学期高一学年期中考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由全集，且，则， 因，解得，则， 所以. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，当时，，所以， 函数在上单调递减，不满足要求，A错误； 对于选项B，当时，， 函数在上单调递减，不满足要求，B错误； 对于选项C，设， 函数为幂函数，定义域为，定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数， 因为幂指数，所以函数在上单调递增， 结合为奇函数可得，函数在上单调递增，C正确； 对于选项D，设， 函数为幂函数，定义域为，定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数， 因为幂指数，所以函数在上单调递减， 结合为奇函数可得，函数在上单调递减，D错误. 3. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及函数解析式有，即可得定义域. 【详解】由题设，则， 对于，则，即，可得， 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 已知函数，设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为,所以为偶函数,故. 当时,幂函数单调递减,即在上单调递减. 又,. 因为,所以,即,所以. 6. 若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质条件可转化为，恒成立，再利用基本不等式求的最小值可得结论. 【详解】不等式，则有， 当时，可化为， 因为命题：，是真命题， 所以，恒成立， 所以，其中， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围是. 7. “”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行分类讨论. 【详解】当，即时，函数，在上单调递减，不符. 当，即时，函数，在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上不能单调递增，舍去. 当，即时，函数，在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上单调递增，则，解得， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 8. 已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（    ） A. -2026 B. 2026 C. -4025 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得函数关于对称，再根据函数的对称性求解函数所有实数根之和即可. 【详解】已知函数是偶函数，则有， 由此可得：函数关于轴对称，故函数所有实数根也会关于两两对称， 即函数的个实数根可分为组，每组根之和为， 综上可得：函数所有的实数根之和为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A：当时，，但，所以A错误； 对于选项B：任何有理数的绝对值仍为有理数，所以B正确； 对于选项C：实数的立方仍是实数，所以C正确； 对于选项D：对于任意，，所以恒成立，所以D正确. 10. 已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，则，可得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：ACD. 11. 已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A. B. 函数在区间为增函数 C. 函数在区间为增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法令，即可判断选项A；不妨设，设，利用定义证明其单调性即可判断选项B；设，利用定义即可判断选项C；由函数在为增函数，所以，，结合证明，即可判断选项D. 【详解】依题意，当时，恒有， 令则， 即，所以，故A正确； 不妨设，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以在为增函数，故B正确； 设，的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，故C错误； 由上述判断可知，函数在为增函数， 所以，所以， 所以， 同理，所以， 所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________. 【答案】## 【解析】 【详解】 13. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 14. 已知函数对于任意实数，恒有 ，若函数的最小值为-6，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】因为对任意实数，，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数， 令，其中，为奇函数，所以为奇函数， 由奇函数的图象特点可知， 所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若且，求实数的取值范围； （2）若仅有1个子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用元素与集合的关系列出不等式组求解. （2）根据给定条件，可得为空集，再利用一元二次不等式的解集情况列式求解. 【小问1详解】 由且，得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由仅有1个子集，得为空集，当时，不为空集， 因此，，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数 ． （1）判断函数的单调性，并证明； （2）若 ，求的取值范围． 【答案】（1）函数 在 上单调递增， 证明：任取，且，， ， ，，， ，即， 在 上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）用定义法证明. （2）由（1）得函数单调性，推出，解不等式组即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解： 在 上单调递增， ，，，， 的取值范围. 17. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. 【小问1详解】 由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， 【小问2详解】 由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 18. 已知幂函数在上单调递增 （1）求函数的解析式； （2）若，求的值； （3）已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义知系数必须为,即,再分别代入检验在上的单调性,舍去单调递减的情形. （2）先用把已知条件化为,再用完全平方公式把作为整体求出,并说明正、负两个值都能取到. （3）先求在上的最大值,问题转化为不等式;再令其对恒成立,利用二次函数在闭区间上最大值在端点取得,列关于的不等式. 【小问1详解】 因为是幂函数,所以其系数为,即,解得或. 当时,指数,此时,在上单调递减,与题设不符,舍去. 当时,指数,此时,在上单调递增,符合题意. 所以. 【小问2详解】 由（1）知,所以题设等式为,其中. 又,所以或. 这两个值都能取到:由得,即或,二者均为正数,取时,取时. 所以的值为或. 【小问3详解】 在上单调递增,所以的最大值为,最小值为. 对固定的,存在使,等价于. 于是问题化为对任意都成立,即在上恒成立. 的图象开口向上,它在上的最大值必在端点处取得,故只需且. 由恒成立;由,解得. 所以实数的取值范围是. 19. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 【答案】（1） （2）最大值5，最小值4 （3）， 【解析】 【分析】（1）当时，，由可得时的解析式，进而得到结果； （2）设，化简得到；分别在和的情况下，由的正负得到函数单调性，进而可求解； （3）分别在、和的情况下，根据的单调性确定最值点，结合最值求得，的值. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， ∴当时，，则； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得当时，； 设，则 ； 当时，，， ∴，在上单调递减； 当时，，∴，在上单调递增； 又，所以在上的最大值是，最小值是. 【小问3详解】 当时，. 当时，在上为增函数，故，此时无解； 当时，在上为减函数，故，解得； 当时，在上为增函数，在上为减函数，故，得，不合题意； 综上所述，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026-2027学年度第一学期高一学年期中考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A. B. C. D. 3. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 6. 若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数是偶函数，如果方程恰有2026个实数根，则所有实根之和为（    ） A. -2026 B. 2026 C. -4025 D. 4052 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A. B. 函数在区间为增函数 C. 函数在区间为增函数 D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算__________. 13. 函数的单调递减区间为__________. 14. 已知函数对于任意实数，恒有 ，若函数的最小值为-6，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若且，求实数的取值范围； （2）若仅有1个子集，求实数的取值范围. 16. 已知函数 ． （1）判断函数的单调性，并证明； （2）若 ，求的取值范围． 17. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． （1）写出与的函数关系式； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 18. 已知幂函数在上单调递增 （1）求函数的解析式； （2）若，求的值； （3）已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 19. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $