精品解析：安徽省百校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测B卷数学 试卷

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 抛物线的对称轴为y轴，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 12. 已知二次函数的图像开口方向向上，则的取值范围是_______． 13. 一种药品今年8月份价格为20元/盒，9月份下降率为x，10月份下降率比9月份多，设10月份这种药品价格为y元/盒，则y关于x的函数表达式为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的三个顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且轴． （1）若、两点的坐标分别为，，则的值为_______； （2）若，则菱形的面积为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数的图象经过，两点，求的值． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求出该二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当为何值时，函数随的增大而增大？ 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正比例函数和反比例函数的图像相交于，两点． （1）求的值； （2）求证：． 20. 王叔叔以每吨0.4万元的价格购进一批无公害蔬菜，根据去年的销售经验可知：这种蔬菜在市场上的销售量y（吨）与销售价格x（万元/吨）之间的函数关系为．根据上述条件解决下列问题： （1）设销售毛利润为w万元，写出这批无公害蔬菜售完后w与x之间的函数关系式； （2）当销售价格为多少时，这批无公害蔬菜售完后销售毛利润最大？最大毛利润是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，两点分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的两边相交于两点，已知，，直线经过两点． （1）若，求直线的函数表达式； （2）若的面积为，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习 【项目主题】 函数表达式及函数值问题探究． 【知识学习】 以x为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． 【知识运用】 （1）对于函数． （ⅰ）________； （ⅱ）计算：的值； 【项目拓展】 （2）已知函数，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 【详解】解：两条抛物线的形状相同， 两条抛物线的二次项系数的绝对值相等， ，， 与 形状相同． 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限， 又， 反比例函数的图象在第四象限． 3. 抛物线的对称轴为y轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴公式的应用即可求解结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴，y轴对应的直线为， ∴， ∵， ∴分母， 要使分式的值为0，仅分子为0即可，即， ∴． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是． 5. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 6. 已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是轴，得到抛物线上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，进而判断抛物线经过的点. 【详解】解：抛物线中不含一次项， 其对称轴为轴（即直线）， 又点在该抛物线上， 点关于轴的对称点也必在抛物线上，点关于轴对称的点为，即. 7. 已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，确定反比例函数的解析式，再根据的符号判断增减性，结合自变量的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：把代入中得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 8. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点和点，轴于点，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可以求出，从而求出点、、的坐标，根据点、、的坐标求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点， ，， ， ， 解得：， ，， 点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示， 轴于点， 点的坐标是， ， ． 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得， 解得 ∴直线 设，则 ∴ ∵ ∴， ∴当时，取得最大值为， 设，则， ∴， 同理可求当时，取得最大值为， ∵， ∴当且仅当时，取得最大值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】将代入反比例函数解析式计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴． 12. 已知二次函数的图像开口方向向上，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于二次函数，当时，该函数的图像开口方向向上；当时，该函数的图像开口方向向下．据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向上， ∴，解得． 13. 一种药品今年8月份价格为20元/盒，9月份下降率为x，10月份下降率比9月份多，设10月份这种药品价格为y元/盒，则y关于x的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出9月份价格，再表示出10月份价格，从而即可得出结果． 【详解】解：∵一种药品今年8月份价格为20元/盒，9月份下降率为x， ∴9月份价格为元， ∵10月份下降率比9月份多， ∴10月份价格为元， ∵设10月份这种药品价格为y元/盒， ∴y关于x的函数表达式为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的三个顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且轴． （1）若、两点的坐标分别为，，则的值为_______； （2）若，则菱形的面积为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）令与轴的交点为，则，，，再利用勾股定理得出，即可得解； （2）由（1）可得，，，设，利用两点间距离公式，求出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，令与轴的交点为， 菱形， ，，， 轴， 轴，轴， 顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且、两点的坐标分别为，， ，，， ， 在中，， ； （2）由（1）可得，，， 设，则， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知反比例函数的图象经过，两点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，，即得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴，， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可设该抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求出该二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】（1）开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴该二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设该抛物线的函数解析式为，整理并化简，结合常数项相同可得，求解即可确定的值，然后计算的值即可； （2）根据二次函数图像的对称性可得，整理即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线的顶点为， 可设该抛物线的函数解析式为， 化简得，则， ， ， ，即，； 【小问2详解】 ∵点，在该抛物线上， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正比例函数和反比例函数的图像相交于，两点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：由题意知，， ，，，， ． 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的图像与性质可得，关于原点O对称，据此可得，然后代入计算的值； （2）由题意知，，进而可得，，，，然后证明结论即可． 【小问1详解】 解：，关于原点O对称， ； 【小问2详解】 略 20. 王叔叔以每吨0.4万元的价格购进一批无公害蔬菜，根据去年的销售经验可知：这种蔬菜在市场上的销售量y（吨）与销售价格x（万元/吨）之间的函数关系为．根据上述条件解决下列问题： （1）设销售毛利润为w万元，写出这批无公害蔬菜售完后w与x之间的函数关系式； （2）当销售价格为多少时，这批无公害蔬菜售完后销售毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价格为1.5万元/吨时，销售毛利润最大，最大毛利润是1.21万元 【解析】 【分析】（1）根据“销售毛利润销售量每吨毛利润”，即可获得答案； （2）将由（1）得到的二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可得； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 即当销售价格为1.5万元/吨时，销售毛利润最大，最大毛利润是1.21万元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，两点分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的两边相交于两点，已知，，直线经过两点． （1）若，求直线的函数表达式； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为4 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件求出两点的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）先把两点的坐标用含的代数式表示出来，再利用直角三角形的面积公式得到含的方程，解出方程的根，进行取舍即可． 【小问1详解】 解：，， ∴点坐标为， 将E点坐标代入，得， ∴， ∵， ∴F点坐标为，设直线l的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意得点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵两点均在反比例函数的图象上， ，， ， 即，整理得，解得，， 又，，， ， ∴k的值为4． 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习 【项目主题】 函数表达式及函数值问题探究． 【知识学习】 以x为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． 【知识运用】 （1）对于函数． （ⅰ）________； （ⅱ）计算：的值； 【项目拓展】 （2）已知函数，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）（ⅰ）证明：， ， ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）把代入即可求得结果；（ⅱ）分别把代入，把它们的函数值相加，即可得到答案； （2）（ⅰ）把代入，整理即可求得结论；（ⅱ）把函数里面的换成得到的值等于，化简，即可求得结论． 【小问1详解】 解：（ⅰ）把代入得 （ⅱ） ． 【小问2详解】 解：（ⅰ）详解见答案． （ⅱ）， ， 化简得， 取任意值等式成立，得到，，即， ， ， ， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）把两点代入小问1求出的解析式，作差，可求出与的关系，进而求得的值； （3）设，连接交对称轴于点，把用含的代数式表示出来，利用三角形的面积得出关于的二次函数，化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ， 由题意得， 解得，， ∴该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，∵点在抛物线上， 设，， 连接交对称轴于点， 设直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 点坐标为， 设直线的函数解析式为， 把与代入得：， 解得： 直线的函数解析式为， ∴点坐标为， ， ，， ， 配方得， 的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $