精品解析：安徽省芜湖市繁昌区第三中学(南师大附中)2025-2026学年第一学期九年级第三次阶段测试数学试卷

南师大附校2025-2026（1）九年级第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 5. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是( ) A. 2023 B. 2021 C. 2020 D. 2019 8. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 5 9. 已知，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是O的直径，AB=8，点M在☉O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，则的长为__________． 14. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用公式法解一元二次方程：． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为_____________． 四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分） 17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 18. 阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． （1）若三角数是55，则______； （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； （3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 六、（本题满分12分） 21. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 内接于，过点作于点，延长交于点连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师大附校2025-2026（1）九年级第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，既是轴对称图形又是中心对称图形； B选项，是轴对称图形不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形不是中心对称图形； D选项，是轴对称图形不是中心对称图形． 2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求概率即可； 【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果， 选中的书是物理书的结果有1种， ∴从中任取1本书是物理书的概率=. 故选： B． 【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 5. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 6. 下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值是( ) A. 2023 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解. 【详解】，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据直径所对圆周角为得到，然后根据三角形面积即可求解． 【详解】在Rt△ACB中，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断． 9. 已知，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 10. 如图，AB是O的直径，AB=8，点M在☉O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，作关于的对称点，连接，则△PMN周长的最小值为，由，N是弧MB的中点，可知,，进而可得是等边三角形，进而可得，结合已知,即可求得△PMN周长的最小值． 【详解】作关于的对称点，连接，， △PMN周长=， △PMN周长的最小值为， ，N是弧MB的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧的中点的性质，等边三角形性质，轴对称求最短距离，正确的作出图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中象限的坐标特征，找出第一象限的点的个数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：从五个点中任选一个点，共有5种等可能的结果， 五个点中恰好在第一象限的点为和，共2个， 根据概率公式可得，选到的点恰好在第一象限的概率是． 12. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示，过点作于点，则，根据旋转的性质可得，在中，可得，，，由等腰三角形的性质可得，，，则有，是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 在中，， ∴，， 则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若点，在抛物线上，，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根． 其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④． 【详解】解：抛物线过，两点，且， ， ， ，即， 抛物线开口向下，， ，故①正确； 若，则， ， ，故②不正确； 抛物线，点，在抛物线上， ∴，，把两个等式相减，整理得， ，，， ， ， ，故③正确； 依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得， ， ，， ，， ， 故④正确． 综上所述，①③④正确． 故答案为；①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为_____________． 【答案】（1） 如图，即为所作，   （2） 如图，即为所作， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可将向右平移6个单位长度得到； （2）根据中心对称的定义即可画出关于点O的中心对称图形； （3）根据旋转的性质即可将绕某一点旋转可得到，进而写出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图形可知，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移、旋转作图，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分） 17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 18. 阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． （1）若三角数是55，则______； （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； （3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3） 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)根据建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：． 故答案为：． (2)由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：， 又由(1)中可知， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）60 （2）补全条形图如图所示： ； （3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； （4）所选2人恰好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题； （2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题； （3）利用样本估计总体即可； （4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次抽样调查的学生共有60名； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：C组人数为：（名）， 图略； 【小问3详解】 解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名）， 答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种， 故被选中的两人恰好是一男一女的概率是： 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 七、（本题满分12分） 22. 内接于，过点作于点，延长交于点连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，连接，若，试说明线段与的差为定值． 【答案】（1） 证明：于点， ， ； （2） （3） 解：如图3，分别延长、，交于点； 平分， ； 在与中， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理即可得到结论； （2）如图2，首先求出的度数，运用圆周角定理即可解决问题； （3）如图3，作辅助线，首先证明，得到，，进而判断为的中位线，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接、， ，， ，而， ∴ ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）满足条件的点E的坐标为(0，1)或(，)或(，)；（3）面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式； （2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，D的坐标，设点E的坐标为（x，x+1），分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况考虑：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x+3），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x﹣1），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标．综上，此问得解； （3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0），结合点A，C的坐标及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3． 设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0）， 将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝x+1． （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴点D的坐标为（1，4）． 当x＝1时，y＝x+1＝2， ∴点B的坐标为（1，2）． 设点E的坐标为（x，x+1）． 分两种情况考虑（如图1）： ①当点E在线段AC上时，点F在点E上方， ∴点F的坐标为（x，x+3）． ∵点F在抛物线上， ∴x+3＝﹣x2+2x+3， 解得：x1＝0，x2＝1（舍去）， ∴点E的坐标为（0，1）； ②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方， ∴点F的坐标为（x，x﹣1）． ∵点F在抛物线上， ∴x﹣1＝﹣x2+2x+3， 解得：， ∴点E的坐标为（）或（，）． 综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）． （3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）． ∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3）， ∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3， ∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN， ． ∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况，求出点E的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出S△APC关于x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $