16.2 整式的乘法（第1课时 单项式与单项式相乘）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.2 整式的乘法 第1课时 单项式与单项式相乘 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解单项式与单项式相乘的法则，能说出法则的推导依据（乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质），理解“系数相乘、同底数幂相乘、其余字母连同指数照写”的运算步骤，体会从特殊到一般、从数到式的研究方法。 掌握单项式与单项式相乘的运算法则，能正确、熟练地运用法则进行单项式乘法运算，并能运用法则解决简单的实际应用问题（如求距离、路程等）。 在探究单项式乘单项式法则的过程中，经历观察、类比、归纳、验证的活动过程，体验转化与化归、类比等数学思想方法，发展运算能力与推理意识。 知识回顾 （一）幂的运算性质： am · an = am+n (m，n都是正整数)，即底数不变，指数相加。 ⑴同底数幂相乘 (am)n = amn(m，n都是正整数)，即底数不变，指数相乘。 ⑵幂的乘方 (ab)n = anbn (n是正整数)，即把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 ⑶积的乘方 （二）运算律 1. 单项式中的数字因数叫作这个单项式的______. 2. 单项式 –2a2b 的系数是______. 3. 单项式的 (–3ab)2 的系数是______. （三）单项式 乘法交换律与乘法结合律。数的乘法运算律对字母同样适用，这是把数的运算推广到式 的运算的桥梁。 系数 –2 9 知识回顾 计算：（1）     （2） 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 运算顺序： 含加减乘的混合运算中，先算乘方（幂的运算），再算乘法，最后合并同类项。 知识点链接 新课导入 2 【问题】 光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？ 路程= 速度 × 时间 3×105 km/s 5×102 s 这个算式是数与数相乘，当数字换成字母时，就得到了“单项式×单项式”的运算，这正是本节要研究的整式乘法。 地球与太阳的距离约：(3×105)×(5×102) km 新知探究 探究点1 从“数的乘法”到“单项式的乘法” （1）：怎样计算 (3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？ = (3×5)×(105×102) = 15×107 = 1.5×108（km） （3×105）×（ 5×102 ） 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 科学计数法 不要到此 为止哦~ 新知探究 探究点1 从“数的乘法”到“单项式的乘法” （1）：怎样计算 (3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？ （3×105）×（ 5×102 ） = (3×5)×(105×102) = 15×107 = 1.5×108（km） 为什么能把3与5放在一起、105与102放在一起相乘？ 依据乘法交换律、结合律，把系数的积与幂的积分开处理。 105×102依据哪条性质？指数如何处理？ 同底数幂相乘，指数相加：105+2=107。 结果为什么写成1.5×108？其中体现了怎样的规范？ 科学记数法书写，数学结果书写的规范性。 新知探究 探究点1 从“数的乘法”到“单项式的乘法” （2）：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2 ，怎样计算这个式子？ 分析： ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，其中字母表示数， 所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算。 ac5·bc2 乘法交换律、结合律 同底数幂的运算性质 = (a·b)·(c5·c2) = abc5+2 = abc7 比较两次运算，字母a、b、c各是怎样处理的？ 议一议： a与b是不同底数的字母，分别抄下来； c是同底数幂，指数相加；系数为1，省略不写 新知探究 探究点2 归纳单项式乘单项式的法则 问题①： 观察上面两个式子的计算过程，思考下列问题，小组讨论交流： (3×105)×(5×102) ac5·bc2 问题②： 问题③： 问题④： 数与字母乘积形式，结果还是单项式 单项式与单项式相乘，结果由哪几部分组成？ 单项式相乘时，系数与系数按有理数乘法法则进行，同号得正，异号得负 两个单项式的系数如何计算？系数前的符号如何处理？ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 同底数幂的指数如何运算？ 这样的饮食联通指数直接放在积里做为积的一个因式 只在一个单项式里含有的字母（另一单项式中没有的字母），应如何处理？ 议一议 新知探究 探究点2 归纳单项式乘单项式的法则 单项式与单项式的乘法法则： 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘单项式 三个要点 系数×系数(注意积的符号：同号得正、异号得负)； 同底数幂分别相乘(底数不变，指数相加)； 其余字母连同它的指数不变，作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数照写，不能遗漏。 结果仍是单项式 典例分析 注意：计算顺序： ——系数相乘 ——同底数幂分别相乘 ——其余字母连同指数照写 例1　计算：　 (1) 3xy2·2y3； (2) (–5a2b)(–3a)； 解：(1) 3xy2·2y3 (2) (–5a2b)(–3a) = (3×2)x·(y2·y3) = 6xy5 = [(–5)×(–3)](a2·a)·b = 15a3b (3) (2x)3(–5xy2)； (3) (2x)3(–5xy2) = 8x3·(–5xy2) = [8×(–5)](x3·x)·y2 = –40x4y2 (4) (–3x2y)2(–xy3)2 . (4) (–3x2y)2(–xy3)2 = 9x4y2·x2y6 = 9(x4·x2)(y2·y6) = 9x6y8 方法小结： ①有乘方的单项式先利用积的乘方与幂的乘方性质化简，再进行乘法运算； ②系数相乘注意符号； ③同底数幂相乘指数相加； ④单独字母连同指数抄下来。 典例分析 总结： 把“积的乘方”性质逆向使用，可以把两个同指数的幂底数先相乘再乘方，简化运算 (4)解： (–3x2y)2(–xy3)2 = [(–3x2y)·(–xy3)]2 = [(–3)×(–1)·x2·x·y·y3]2 = [3x3y4]2 = 9x6y8 由(ab)n=anbn，可知anbn=(ab)n， 据此你能给出例1(4)的另一种解法吗？ (4) (–3x2y)2(–xy3)2 . 将算式看成两个二次方幂的积，结果等于积的二次方 例2 计算： (1)(－2a2)3·(－3a3)2； (2)－6x2y·(x－y)3·xy2·(y－x)2. (2)首先把(y－x)2转化为(x－y)2，与(x－y)3根据同底数幂相乘法则计算． (1)首先计算积的乘方，然后根据单项式乘单项式法则计算； (1)原式＝－8a6·9a6 ＝－72a12； (1)互为相反数的两数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数； (2)当底数是一个多项式时，把这个多项式看成一个整体计算； (3)在混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【分析】 (2)原式＝(－6x2y· xy2)[(x－y)3·(x－y)2] ＝－2x3y3(x－y)5. 【归纳】 典例分析 典例分析 例3 .已知x=4，y=18，求代数式 17xy2·14(xy)2·14x5的值. 解: 17xy2·14(xy)2·14x5 =17xy2·14x2y2·14x5 =(17×14×14)(x·x2·x5)(y2·y2) =12x8y4. 当x=4，y=18时, 原式=12×48×(18)4=8. 新知巩固 教材P104 1、下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1) 3a3·2a2=6a6；　 　 (2) 3x2·(-4x2)=-12x2； (3) 5y3·3y5=15y15；　 　 (4) x2·y2(-xy3)2=x4y8. 解：(1) 不正确。改正：3a3·2a2=(3×2)(a3·a2)=6a5。 理由：同底数幂相乘指数应相加（3+2=5），不能相乘。 (2) 不正确。改正：3x2·(-4x2)=[3×(-4)](x2·x2)=-12x4。 理由：x2·x2=x4，指数相加，结果不应是x2。 (3) 不正确。改正：5y3·3y5=(5×3)(y3·y5)=15y8。 理由：同底数幂相乘指数应相加（3+5=8），不能相乘得15。 (4) 正确。因为x2·y2(-xy3)2=x2·y2·x2y6=x4y8，计算正确。 新知巩固 教材P104 2.计算： (1) 3x2·5x3；　 　(2) 6x2·3xy；　　 (3) 4y·(-2xy2)；　　 (4) -2ab2·(-3ab). 解：(1) 3x2·5x3 =(3×5)(x2·x3) =15x5。 (2) 6x2·3xy =(6×3)(x2·x)·y =18x3y。 (3) 4y·(-2xy2) =[4×(-2)]·x·(y·y2) =-8xy3 (4) -2ab2·(-3ab) =[(-2)×(-3)](a·a)(b2·b) =6a2b3。 拓展提升 1.卫星绕地球运动的速度是7.9×103米/秒,则卫星绕地球运行2×102秒走过的路程用科学记数法表示正确的应是 (　　) A.14.8×105米　　　　　B.1.58×106米 C.1.48×106米　　　　　D.1.58×105米 解：7.9×103×2×102=1.58×106(米). B 2.学完“单项式乘单项式”后,邱老师在黑板上出了四道计算题: ①3x3·5x4，② (-3x)2·4x3，③4y·(-2xy2)，④ (-2a)3·(-3a)2， 小明在本子上做了这四道题,其中运算正确的是 (　　) A.3x3·5x4=15x12 B.(-3x)2·4x3=-12x5 C.4y·(-2xy2)=-8xy3 D.(-2a)3·(-3a)2=-54a5 解：3x3·5x4=15x7 ， (-3x)2·4x3=36x5 4y·(-2xy2)=-8xy3 ， (-2a)3·(-3a)2=-72a5 C 3. 若单项式 与 是同类项，则这两个单项式的积是( ) D A. B. C. D. 解：由题意可得： 解得： 这两个单项式分别是， ， . 拓展提升 拓展提升 4.小明计算一道整式乘法题： 由于小明将第一个单项式中的抄成了 ，将第二个单项式中的抄成了，结果得到 . （1）根据上述信息，分别计算出， 的值； 解 ， ， ， 化简整理得 解得 （2）请你计算出这道整式乘法题的正确答案. （2）, , . 拓展提升 5.某成年女子体内的血量约4×103毫升,每毫升血中红细胞的数量约为4.2×109个,则该成年女子体内的红细胞大约为多少个? 解:由题意得： 4×103×4.2×109 =16.8×1012 =1.68×1013(个). 答:该成年女子体内的红细胞大约为1.68×1013个. 2.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 真题感知 1.（2026•天津）计算x2y•3x2的结果为　 ． 解：x2y•3x2 ＝3x4y． 解：由题意得， ； 3x4y 3.（2025南阳月考）已知单项式与 的积为，则 的值为____. 解 ， ， ， ， . 4.（2025·湖北·模拟预测）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 解：原式， D 真题感知 rong guo (rg) - 课堂小结 知识点总结 ►单项式与单项式相乘的法则： 把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ►注意事项： ①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； ②注意按顺序运算； ③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式； ④此性质对于多个单项式相乘仍然成立 课堂小结 方法思想总结 ֎本节课以“数的乘法”为起点，借助乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质，把新问题（单项式乘法）转化为已学知识（数的乘法与幂的运算），体现了转化与化归思想； ֎法则的得出遵循从特殊到一般的归纳过程； 运算中将系数、底数分别处理，体现了分解与组合的整体思想。 ֎整式的学习（加法—乘法）也体现了由已知到未知、逐步推广的认知路径 课堂小结 易错提醒 ① 同底数幂相乘指数要相加，不能相乘： 如a3·a2=a5，而不是a6。 ② 注意积的符号：负因数个数决定符号， 如(-5a2b)(-3a)系数为15（负负得正）。 ③ 先算乘方再算乘法： 如(2x)3(-5xy2)应先算(2x)3=8x3，再相乘得-40x4y2。 ④ 只在一个单项式里含有的字母及其指数必须照写，不能遗漏。 ⑤ 结果要按规范书写： 系数写在最前，字母按约定顺序，结果能用科学记数法或最简形式表示的要规范整理 课后练习 教材P104） 3. 计算： （1）(–3xy2)2(–2xy)2； （2）(–a)5 – (2a·3a)2·(–a). 解：原式 = 9x2y4·4x2y2 = –a5 – (6a2)2·(–a) = 36x4y6 或： 原式 = [(–3xy2)·(–2xy)]2 = (6x2y3)2 = 36x4y6 = –a5 + 36a5 = 35a5 课后练习 教材P104） 4. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是7.9×103 m/s，求卫星绕地球运行 1 h 飞过的路程. 解： 1 h=3600 s=3.6×103 s， 路程 s = v·t = 7.9×103×(1×60×60) = 7.9×103×3.6×103 = (7.9×3.6)×(103×103) = 28.44×106 = 2.844×107 (m) 答：卫星绕地球运行 1 h飞过的路程为 2.844×107m. 课后练习 教材P110 1. 计算： （1）3x·6x2y； （2）a2b (–3ab2)； 解：(1) 原式 = (3×6)(x·x2)·y (2) 原式 = [1×(–3)](a2·a)(b·b2) = –3a3b3 = 18x3y （3）4x2y(–xy2)3； （4）(1.25×105)(2×103)3 . (3) 原式 = 4x2y · (–1)3 · x3 · (y2)3 = [4×(–1)](x2·x3)(y·y6) = 4x2y · (–1) · x3 · y6 = –4x5y7 (4) 原式 = (1.25×105)(8×109) = (1.25×8) ×(105×109) = 10×1014 = 1015 谢谢聆听 $