“工艺折纸”情境下的椭圆问题-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

情境解构 “工艺折纸”情境下的椭圆问题 ■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其 随着数学核心素养理念的深入推 D,则|DE|2+|DF|2= ;经观察， 进，以数学文化为情境的试题应运而 学生发现圆面上的所有折痕围成了一 生。这类试题既彰显了数学的文化价 条优美的曲线C,若以FE所在直线为 值与应用价值，又能综合考查同学们的 x轴，FE的中点O为原点，建立平面 数学素养。下面探究一组“工艺折纸” 直角坐标系Oxy,则C的方程为 中的椭圆问题。 解析：如图3， 少4 一、考查椭圆的定义与方程 以E为原点建立坐 例1“工艺折纸”起源于中国，它 标系，则F(一6,0)， 不仅是一种将纸张折叠成各种形状的 F在圆上对应的点 艺术活动，更是一种有益身心、开发智 F(8cos a,8sin a), 力的思维活动。折纸借助折叠过程中 故D(4cosa-3, 几何图形的连续变化来塑造物象，其间 4sina)。因此 图3 蕴含着数学、测绘等多学科知识的综合 |DE2+|DF|2=(4cosa-3)2+(4sina)2 运用。为了让学生感受数学之美，提升 +(4cosa+3)2+(4sina)2=50。 综合素养，某学校开设了“折纸与数学” 如图4，连接 校本课程。课堂上，每位学生准备一张 F'E交折痕于P, 半径为8的圆形纸片，并按以下步骤进 连接PF,由折叠 行折纸、观察与测绘。 的性质可得|PF」 步骤1：在圆内取 +PE=PF 一点F,使得F到圆 +PE-EF' 图4 心E的距离为6； =8>|EF|=6。 步骤2：把纸片折 根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹 叠，使圆周正好经过点 图1 是长轴长为8，焦距为6的椭圆，所以 F(如图1)； 步骤3：把纸片展开，留下一道折痕； c能方程为后+芳1 步骤4：不停重复 ,点评：本题以填空题的形式考查椭 步骤2和步骤3，得到越 圆的定义与方程。第一空以E为原点 来越多的折痕（如图2）。 建立坐标系，利用三角换元及中点坐标 过F作其中一道 表示距离的平方和计算即可；第二空利 折痕的垂线，垂足为 图2 用折叠的性质及椭圆的定义即可写出 40 情境解构 轨迹方程。 故a=2,c=1,b=√a-c7=5,因此 二、考查椭圆的性质 曲线C的方程为 =1 例2“工艺折纸”是一种将纸张 折叠成各种形状的艺术活动，在我国源 =1, 远流长。某些折纸活动蕴含着丰富的 设点M(xy),则+ 3 数学内涵。例如，用一张圆形纸片，按 3 所以y=3一 4且-2≤x≤2。故 如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E,在圆内异于 1OM=√x+y x+3 3x0 圆心处取一点，标记为F; 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好 +3,则当xo=0时，|OM|的最小 经过点F; 步骤3：把纸片展开，并留下一道 值为3。 折痕； 点评：本题结合椭圆的有界性求得 步骤4：不停重复步骤2和步骤3， OM|的最小值，考查椭圆上点的坐标 得到越来越多的折痕。 的有界性。 圆E上所有这些折痕围成一条曲 三、考查直线与椭圆的综合问题 线，记为C。现有半径为4的圆形纸 例3“工艺折纸”是一种将纸张 片，定点F到圆心E的距离为2，按上 折叠成各种形状的艺术活动，在我国源 述步骤折纸，在C上任取一点M,O为 远流长。某些折纸活动蕴含着丰富的 线段EF的中点，则|OM|的最小值为 数学内涵。例如，用一张圆形纸片，按 如下步骤折纸： 解析：设点F 步骤1：设圆心是E,在圆内异于 关于折痕的对称点 圆心处取一点，标记为F; 为A,连接AE交折 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好 痕于点M。由对称 经过点F; 性可知|MF|= 步骤3：把纸片展开，并留下一道 |MA|。如图5，以 折痕； 图5 EF所在直线为x 步骤4：不停重复步骤2和步骤3， 轴，EF的中点O为原点，建立平面直 得到越来越多的折痕。 角坐标系。 已知这些折痕所围成的图形是椭 则|ME+|MF|=|ME|+|MA 圆。若取半径为4的圆形纸片，设定点 =|EA|=4>|EF|=2,所以曲线C F到圆心E的距离为23，按上述步 是以F、E为焦点，长轴长为4的椭圆， 骤折纸。 41 情境解构 (1)以点F、E所在的直线为x轴， 8k 建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆 4k)x2-8kx=0,所以工1=1+4k2' C的标准方程； 8k2 y1= (2)设椭圆C的下顶点为D,过点 1十4k2-1。 D作两条互相垂直的直线11,12，这两 故|DM|=√+(y1+1)7= 条直线与椭圆C的另一个交点分别为 64k2 64k4 8|k1 M,N,设l1的斜率为k(k≠0)， √1+462)+1+4)=1+46： 时，求 △DMN的面积为S,当6≥6时 √1十k。 k的取值范围。 4+y2=1, 解析：(1)如图 联立 消去y得(4 1 y-- 6,以FE所在的直 ka-1, 线为x轴，FE的中 -8k +k2)x2十8kx=0,所以x2= 点O为原点，建立 4十k2 平面直角坐标系。 8 y2= 4+k2 -1。 设M(x,y)为椭圆 图6 C上一点，点A为 故|DN|=√x+(y2+1)= F关于折痕的对称点，则|MF|+ 64k2 64 8 IME-MA+ME-AE=4> √(4+)2十(4+k)2=4+ |EF|=23,故点M的轨迹是以F、E √1+k2。 为焦点，长轴长为4的椭圆，即c=√， 所以S-专DM1·DN1-专 a=2,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的 8 8 方程为+-1 1+4k2 1+· 4十？√1+2 32|k|(1+k2) (1+4k2)(4十k2)° 2)由(1)知，椭圆C的方程为乙 +y2=1,D(0,-1)。则直线l1:y= 山高>一两，器) 32(1+k2) 16 kx-1(k≠0)，l2:y=- 右x一1。设 1 整理得达1--1<0，解得-了 M(x1,y1),N(x2y2), k2<2。又k2>0,所以0<k2<2,故k的 x2 取值范围为（一2,0）U(0√2)。 联立+=1， 消去y得(1+ 例4“工艺折纸”是一种将纸张 y=kx-1, 折叠成各种形状的艺术活动，在我国源 42 情境解构 远流长。某些折纸活动蕴含着丰富的 (2)设直线l的方程为x=my十 数学内涵。例如：用一张圆形纸片，按 1,M(x1,y1),N(x2y2)。 如下步骤折纸： (x2 =1, 步骤1：设圆心是E,在圆内异于 联立9十 消去x得(5m2 圆心处取一点，标记为F; x=my+1, 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好 +9)y2+10my-40=0,其中△= 经过点F; 100m2+160(5m2+9)>0,由韦达定理 步骤3：把纸片展开，并留下一道 -10m -40 折痕； 得y1+y:5m+gy1y:-5m2+9 步骤4：不停重复步骤2和步骤3， 则m·kN- 。_y2 x1-tx2一t 得到越来越多的折痕。 已知这些折痕所围成的图形是椭 yiy2 (my1+1-t)(my2+1-t) 圆。若取半径为6的圆形纸片，设定点 yiy2 F到圆心E的距离为4，按上述步骤折 my1y2+m(1-t)(y1十y2)+(1-t)2, 纸。以点F、E所在的直线为x轴，线 代入y1+y2和y1y2的表达式可得 段EF的中点为原点，建立平面直角坐 -40 标系。 knM·kN=52-9)m2+9(1-t)2 (1)求折痕围成的椭圆C的标准 要使kM·kN为定值，则t2一9 方程。 =0,又t>0,故t=3,此时kw·krN (2)若过点Q(1,0)且不与两坐标 1 轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N 。 因此存在点T(3,0),使得直 两点，在x轴的正半轴上是否存在定 点T(t,0),使得直线TM,TN斜率之 线TM,TN斜率之积为- g° 积为定值？若存在，求出该定点和定 点评：解决直线与椭圆的综合问 值；若不存在，请说明理由。 题，应注意以下几点：仔细分析题设条 解析：(1)设M(x,y)为椭圆上一 件，明确直线与椭圆的确定要素；设直 点，点A为F关于折痕的对称点，则 线方程时，要全面考虑斜率不存在、斜 IMF+ME=MA+ME= 率为零等特殊情况，避免漏解；强化联 |AE=6>|EF|=4,故点M的轨迹 立方程组、化简为一元二次方程的运算 为以E、F为焦点，长轴长为6的椭圆， 能力，重点关注根与系数的关系、弦长 即a=3,c=2,b2=a2-c2=5,故椭圆 公式、斜率关系，以及三角形面积的 C的标准方程为+ 计算。 51. (责任编辑赵 倩) 43