期中压轴突破培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册
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精品
内容正文：
人教版必修一 期中压轴突破 · 培优讲义
期中压轴突破
集合与逻辑 · 不等式 · 函数概念与性质 · 指数对数
目 录
一、本册导航 3
微专题 1 集合与常用逻辑用语 3
题型 1 由子集个数与元素条件反求参数 5
题型 2 集合关系与充分必要条件的含参转化 5
题型 3 新定义集合：数域、容量与 6
课后巩固 6
微专题 2 一元二次不等式与恒成立 8
题型 1 二次方程根的分布与整数解 10
题型 2 恒成立、存在性与双变量问题 11
题型 3 由解集反求系数与解集的判断 11
题型 4 含参二次不等式的分类讨论 12
课后巩固 13
微专题 3 基本不等式与最值 14
题型 1 恒成立中的最值转化 16
题型 2 多元条件下的最值：消元与齐次化 16
题型 3 条件的代换、换元与配凑 17
题型 4 推广与创新：n 阶均值与 max 型 17
课后巩固 18
微专题 4 函数概念、分段函数与图象 19
题型 1 分段函数的单调性与端点衔接 21
题型 2 图象识别与图象信息 21
题型 3 分段函数的求值与解不等式 22
题型 4 定义域与值域的含参问题 23
课后巩固 24
微专题 5 函数的性质：奇偶、单调、对称、周期 25
题型 1 单调性定义的等价变形 26
题型 2 对称性与周期性的互译 27
题型 3 奇偶性求参与解不等式 27
题型 4 抽象函数的赋值法 28
课后巩固 30
微专题 6 指数对数、零点与新定义函数 32
题型 1 指对运算与比较大小 33
题型 2 复合函数的单调性 33
题型 3 零点与方程根的个数 34
题型 4 新定义函数：不动点、取整与 k 倍区间 34
课后巩固 35
一、本册导航
学习目标
本册要解决的问题
1．会在含参集合题里用「互异性」回验，会把 的端点逐条代入检验等号是否成立。
2．会数子集、真子集与「满足某关系的集合对」的个数，遇到 型计数能说清去掉的是哪几个。
3．会把充分、必要条件翻译成集合的包含关系（小范围推大范围），并据此反求参数范围。
4．会解含参一元二次不等式，按二次项系数是否为零、判别式正负、两根大小三层分类。
5．会把「恒成立」化为最值、把「存在」化为有解，会用分离参数处理带 这类区间的题。
6．会用「 的代换」与配凑处理条件最值，会在多元情形下先消元再套基本不等式。
7．会读分段函数的衔接条件（端点值相等或单调衔接），会由图象反求解析式中的参数。
8．会用赋值法处理抽象函数，会由 推出奇偶性与单调性。
9．会把对称性与周期性互相翻译（ 为奇函数 关于 对称），并据此求函数值。
10．遇到新定义（不动点、取整函数、 倍区间、数域），会先把定义逐字写成方程或不等式，再按限定词筛解。
重点与难点
本册的核心与门槛
重点 元素互异性的回验；子集计数的分类；充分必要条件的包含方向；含参二次不等式的三层讨论；恒成立化最值； 的代换；分段函数的端点衔接；赋值法；对称与周期的互译；新定义翻译。
难点 ① 中 的情形常被漏掉；② 分离参数时除式的正负要分段；③ 双变量「任意—存在」的次序决定最值取哪一端；④ 抽象函数中「 时 」如何转成单调性；⑤ 对称性与周期性的复合（两个对称中心推出周期）；⑥ 新定义里「存在」与「任意」的取舍。
学习主线
方法的先后次序
读元素定互异 → 数子集先分类 → 包含关系定方向 → 含参二次三层讨论 → 恒成立化最值 → 存在性化有解 → 的代换 → 消元降元 → 分段看端点 → 赋值定奇偶 → 赋值定单调 → 对称周期互译 → 新定义逐字翻译 → 按限定词筛解。
微专题 1 集合与常用逻辑用语
模块导学
集合与常用逻辑用语
期中卷里的集合题早就不考「求 」了。压轴位置上的两道，一道考含参：给出「有且仅有两个子集」「 中恰有一个整数」这类条件，让你反求参数；另一道考现场读定义：数域、容量、 这类从没见过的对象，全靠把定义逐字翻译成条件。这一节就练这两件事，外加一个常被忽略的细节——元素互异性，它是所有含参集合题的回验关口。
知识梳理
知识点 1 元素的三个特性与含参回验（重点）
① 确定性：给定集合，任一对象是否属于它必须能判定；互异性：同一集合里不能有两个相等的元素；无序性：
② 含参题的固定动作：先由条件列出方程或不等式，解出参数后代回原集合，检查是否有两个元素相等。有相等就舍去这个值。
③ 「集合 有 个元素」「 有 个子集」；「有且仅有两个子集」就是「恰有一个元素」，即对应方程有唯一解（且要注意二次项系数是否为零）。
④ 「 中恰有 个整数」这类条件，先把 解成区间，再让区间的两个端点夹住恰好 个整数，端点能否取到要单独讨论。
易错 由「只有一个元素」得 时，忘了 这种「退化成一次方程」的情形——此时方程也可能只有一个解。
注意 题目给的是 这种「解集型」集合时， 的关系往往由韦达定理给出，而不是由判别式。
知识梳理
知识点 2 子集计数与集合运算（重点）
① 元集合的子集 个、真子集 个、非空真子集 个。
② 计数题的关键是分类标准：按「较小集合的元素个数」分类最稳（空集、一元、二元……），每一类里再用组合数算较大集合的选法。
③ 「 或 」这种「或」的条件，先按无序性只算一半，再乘 但 的情形只能算一次，要在分类时排除。
④ 交并补的运算优先用数轴或 Venn 图，含参数时把端点标在数轴上，看「等号能否取到」。
易错 「」中漏掉 凡是含参的包含关系，第一步先问「 能不能是空集」。
知识梳理
知识点 3 充分条件与必要条件的方向（难点）
① 记 对应集合 对应集合 若 则 是 的充分条件、 是 的必要条件——小范围推大范围。
② 「 是 的必要条件」即 也就是 方向最容易记反，落笔前先在草稿上写一遍「谁推谁」。
③ 充要条件就是 两个方向都要证；证明时「」与「」分开写，各占一段。
④ 含参的充要条件题，最后一定要回验端点： 时端点的开闭必须完全一致。
易错 把「 是 的充分条件」理解成「 推 」。判定口诀只记一句：条件在前，结论在后，前推后。
题型 1 由子集个数与元素条件反求参数
例 1 （2024 内江威远中学 11） 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是 （ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为则
D．若不等式的解集为且则
例 2 （2025 郑州一中 14） 已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有 个.
例 3 （2025 武汉部分重点校 14） 用表示非空集合A中的元素的个数，定义若若则a的所有可能取值构成集合M，则 .
题型 2 集合关系与充分必要条件的含参转化
例 4 （2024 安岳中学重点班 8） 已知或若是的必要条件，则实数的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 5 （2024 泉州六中 14） 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为则这4个数中最小的数为
例 6 （2025 十堰郧阳中学 18） 设为实数，已知函数．
(1)若是方程的两个不等实根，求的取值范围；
(2)设集合．
①若中恰有一个整数，求的取值范围；
②设集合若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
题型 3 新定义集合：数域、容量与
例 7 （2025 郑州十校联考 8） 当一个含有非零实数的数集满足“如果则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域都有）.以上关于数域的说法中不正确的是 （ ）
A．① B．②
C．③ D．④
例 8 （2025 杭四下沙 14） 已知有限集合定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合则 ；若集合且则正整数的值是 ．
例 9 （2024 鞍山一中 19） 对任意的非空数集定义：其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果规定．
(1)若请写出集合和．
(2)若其中是正整数求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由．
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 龙陵一中 11） 下列命题正确的是 （ ）
A．“”是“”的充分必要条件
B．若且则的最大值为9
C．不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是
D．已知其中a，b为常数，若则
练习 2 （2024 安岳中学重点班 11） 下列各选项给出的数学命题中，正确的是 （ ）
A．集合表示同一集合
B．若是一次函数，满足则
C．函数的值域为
D．关于的不等式的解集则不等式的解集为
练习 3 （2024 南师附校 11） 下列说法正确的是 （ ）
A．函数与不是同一函数
B．若则
C．若则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是
练习 4 （2025 南师附中 18） 曼哈顿距离是由19世纪德国数学家赫尔曼闵可夫斯基创立，用于描述规则网格布局中的路径.其别称“城市街区距离”源于纽约曼哈顿区的街道布局，车辆只能沿横向或纵向道路移动，无法直线穿越.在平面直角坐标系中，其定义为：的坐标分别为那么称为两点间的曼哈顿距离.
(1)已知点若点在函数的图象上运动，求的最小值；
(2)已知点在函数的图象上运动，点若恒成立，求正实数的取值范围.
练习 5 （2024 南京六校联调 19） 已知集合其中由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质若对任意的必有则称集合具有性质．
(1)已知集合与集合和集合判断它们是否具有性质若有，则直接写出其对应的集合若无，请说明理由；
(2)集合具有性质若求：集合最多有几个元素？
(3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．
练习 6 （2024 长沙长郡中学 19） 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.
已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列定义如下操作过程从中任取两项将的值添在的最后，然后删除这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程得到的新数列记作如此经过次操作后得到的新数列记作.
(1)设数列请写出的所有可能的结果；
(2)求证：对于一个项的数列实施操作过程总共可以实施次；
(3)设数列求的可能结果，并说明理由.
微专题 2 一元二次不等式与恒成立
模块导学
一元二次不等式与恒成立
这一讲是全册题量最大的一块。压轴题里的二次不等式有四种问法：给解集反求系数、含参解不等式、方程根落在某区间、以及恒成立与存在性。前两种考的是「分类讨论的层次」，后两种考的是「把条件翻译成判别式或最值」。共同的门槛是同一个：二次项系数含参数时，它能不能等于零，这一步漏掉，后面全错。
知识梳理
知识点 1 三个二次的关系与解集反求（重点）
① 二次函数图象、二次方程根、二次不等式解集三者同源： 的解集端点是方程 的根，开口方向由 决定。
② 由解集反求系数用韦达定理：解集为 且 解集为「 或 」则 而两根相同，只是不等号方向变了。
③ 解集是 单点集这三种「退化」情形要单独记： 解为 时 且 或 且
④ 判断题（「下列说法正确的是」）的通用打法：先把解集条件化成 的符号与等式，再逐条验证选项，能举反例的直接排除。
易错 由解集 反求时，直接写 正确做法是设 再比系数， 的取值要靠另一个条件（如二次项系数）定。
注意 「解集为 」与「解集为 」在二次项系数为 时都可能出现，必须把 当作独立分支讨论。
知识梳理
知识点 2 含参二次不等式的分类讨论（难点）
① 三层讨论固定顺序：第一层二次项系数是否为零（退化成一次不等式）；第二层判别式 的正负（有没有根）；第三层两根的大小（决定解集写成 还是 ）。
② 含参因式分解优先：能分解成 就先分解，把讨论对象从「判别式」转到「两根谁大」，讨论量立刻减半。
③ 讨论完必须写「综上所述」，把各分支的解集按参数范围并列写出，漏写会扣分。
④ 题目若同时问「恒成立」和「解不等式」，先做恒成立定出参数范围，再在这个范围内解不等式——范围外的情形不必讨论。
易错 两根含参数时忘记比较大小，直接写「解集为 」。必须补一句「当 时…；当 时…」。
知识梳理
知识点 3 根的分布与整数解（难点）
① 根的分布不看判别式，看端点函数值的符号 + 对称轴位置：两根都大于 （ 时）。
② 两根分别落在两个区间（如 ），只需端点值异号加上区间端点的符号条件，比硬解不等式快得多。
③ 「整数解恰有 个」：先解出含参区间，再让两个端点夹住恰好 个整数；端点能否取到等号，要代回验证。
④ 讨论二次项系数含参时， 退化成一次方程，只有一根，常常也满足「有解」类条件，别漏。
注意 端点取等的情形最容易错：区间 里恰有一个整数，与 的答案常常差一个端点值，落笔前把端点代进去数一遍。
知识梳理
知识点 4 恒成立与存在性（重点）
① 单变量恒成立： 对 恒成立 （ 上）；存在 使
② 二次型恒成立的两条路： 时用「 且 」； 在某个区间时改用「分离参数 + 求最值」，因为对称轴可能落在区间外。
③ 分离参数时除以的式子必须定号：除以 （）不变号，除以 就要按 分段，这是最常见的失分点。
④ 双变量「任意—存在」按顺序读： 若换成「」则是 两个最值取哪一端，全看量词的先后。
易错 把「」写成 正确是 ——因为 可以随 变化，取到的是 的最大值。
题型 1 二次方程根的分布与整数解
例 10 （2025 常州奔牛中学 8） 关于的方程有两个不相等的实数根若则实数的取值范围是 （ ）
A． B．或
C．或 D．或
例 11 （2025 广州二中集团 8） 若关于的不等式组的整数解只有则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
例 12 （2025 东北育才高中 18） 已知函数.
(1)若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围；
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
题型 2 恒成立、存在性与双变量问题
例 13 （2024 内江威远中学 8） 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 14 （2024 重庆南开中学 14） 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 .
例 15 （2025 云师大附中 14） 已知．若对任意的总存在使得成立，则实数的取值范围为 ．
题型 3 由解集反求系数与解集的判断
例 16 （2025 广州二中集团 11） 关于的不等式的解集为下列说法正确的是 （ ）
A．
B．不等式的解集为
C．的最大值为
D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是
例 17 （2025 杭高集团三校区 11） 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是 （ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
例 18 （2025 龙陵一中 18） 若不等式的解集是．
(1)解不等式
(2)b为何值时，的解集为R．
题型 4 含参二次不等式的分类讨论
例 19 （2024 天津弘毅中学 18） 设函数.
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解不等式.
例 20 （2024 沈阳东北育才 18） 已知函数
(1)解关于的不等式
(2)若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围：
(3)若对任意的恒成立，求的取值范围．
例 21 （2024 广州育才中学 20） 设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 哈尔滨三中 8） 若使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为 （ ）
A．或 B．或
C． D．
练习 2 （2024 鹤山纪元中学 14） 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
练习 3 （2024 沈阳东北育才 14） 已知函数若对任意总存在使得成立，则实数a的取值范围是 .
练习 4 （2025 东北育才高中 14） 已知函数若使得则实数的取值范围是 .
练习 5 （2025 江苏天一中学 14） 对于任意实数不等式恒成立．
（1）则的取值范围是 ．
（2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为 ．
练习 6 （2025 哈尔滨三中 19） 已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数在上的最大值为8，求实数的值；
(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当正实数满足时，.
微专题 3 基本不等式与最值
模块导学
基本不等式与最值
基本不等式 本身只有一行，压轴题难在「怎么凑出能用的形式」。四个动作覆盖了几乎所有考法：乘 1 代换（把条件乘进去）、换元（把分式换成一个字母）、消元（用条件把二元降成一元）、配凑（加减常数凑成积定的形式）。等号成立的条件必须写出来并回验——这是压轴题的得分点，也是失分点。
知识梳理
知识点 1 乘 1 代换与配凑（重点）
① 条件形如 时，把待求式乘以「条件式」再展开，出现 这种倒数结构即可套不等式。
② 展开后一定出现常数项，把常数留下，其余两项用 等号条件解出后回代验算。
③ 分母是 这种「带常数」的，先做变量代换 把条件 改成 再走乘 1 代换。
④ 分式型 的分子分母同次，先上下同除把比例 设出来，化成 的一元函数再求最值。
易错 乘 1 代换后只写「」就收笔，忘了写等号成立的条件。压轴题按步给分，等号取到的 值必须写出来，并检验是否满足原条件。
知识梳理
知识点 2 多元条件最值：消元与齐次化（难点）
① 条件是二次等式（如 ），待求式是一次（）：用条件把 解出来代进去，变成 的一元函数再求最值。
② 待求式与条件都是二次齐次式时，令 化为 的函数，再用基本不等式或单调性处理。
③ 条件形如 先把待求式用条件表示（把 换掉），出现完全平方后再开方。
④ 求「最大值」时注意变量范围：由条件解出的 必须为正，这个限制常常决定最值在端点还是内部取到。
注意 消元后得到的一元函数，定义域是「使另一个变量仍为正」的那一段，不是全体实数。最值取错端点，多半是定义域没写。
知识梳理
知识点 3 恒成立中的最值转化（重点）
① 「 恒成立」 先用基本不等式求出左边最小值，再解关于 的二次不等式。
② 若右边还带另一个变量（如 ），要把两边的变量分开：左边只含 右边只含 分别求最值后比较。
③ 恒成立求参数范围时，最后一步是解不等式，别忘了「」这类二次式的解集要写全。
④ 若条件是「对任意 都成立」，先把左边整理成关于某个比值的不等式，再用「 恒成立 左边最大值」。
易错 把「 恒成立」直接写成 的最小值，方向搞反。正确是 即
知识梳理
知识点 4 推广与创新：n 阶与 max 型（难点）
① 阶均值不等式：等号当且仅当各数相等。证明常用「先证 再用归纳或二元结论逐步合并」。
② 遇到 利用「 不小于其中每一个」，把三个式子分别与 比较后相乘，得到 的下界。
③ 这类题的通用思路是「把 转成不等式组」，再用基本不等式把不等式组里的乘积压成一个常数。
④ 新定义题（如「 阶均值」「平稳函数」）先逐字翻译定义，再套已学的不等式，不要急着算。
注意 阶不等式的等号条件是「」，用的时候必须验证这个条件能取到，否则只是严格不等式。
题型 1 恒成立中的最值转化
例 22 （2025 合肥肥东尚真 8） 已知均为正实数，且若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．或 B．
C．或 D．
例 23 （2024 厦泉五校联考 8） 设正数满足若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 24 （2025 杭州绿城育华 14） 若正数x，y满足且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
题型 2 多元条件下的最值：消元与齐次化
例 25 （2025 重庆西藏中学 8） 已知满足则的最小值是 （ ）
A． B．
C． D．
例 26 （2025 杭州学军中学 8） 已知正实数满足则的最小值为 （ ）
A． B．
C． D．
例 27 （2025 辽宁实验中学 14） 已知是实数，且则的最小值是
题型 3 条件的代换、换元与配凑
例 28 （2025 常州金坛一中 8） 已知正实数满足则的最小值为 （ ）
A．9 B．8
C．7 D．6
例 29 （2025 杭高集团三校区 14） 已知正实数x，y满足则的最小值为 ．
例 30 （2025 云南开远一中 14） 已知实数则的最小值为 ．
题型 4 推广与创新：n 阶均值与 max 型
例 31 （2025 大连二十四中 8） 已知正数满足则下列四个说法正确的个数有 （ ）
①②③④
A．一个 B．两个
C．三个 D．四个
例 32 （2024 鞍山一中 14） 表示中最大的数字的值，若都是正实数，则的最小值为 ．
例 33 （2024 大连开发区一中 19） 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若则有当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：
(1)若求的最小值；
(2)若求的最大值，并求取得最大值时的的值；
(3)对任意判断与的大小关系并加以严格证明.
课后巩固 共 7 题
练习 1 （2025 杭州绿城育华 8） 若且则的最小值是 （ ）
A． B．
C． D．
练习 2 （2024 泉州六中 8） 已知为正实数，且则的最小值为 （ ）
A． B．
C． D．
练习 3 （2025 南师附中 8） 设为实数，则的最大值为 （ ）
A． B．1
C． D．
练习 4 （2024 封开南丰中学 8） 恒成立，则的最小值为 （ ）
A．1 B．2
C． D．
练习 5 （2024 南京六校联调 11） 已知为正实数，且则 （ ）
A．的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
练习 6 （2025 深圳盟校 14） 已知且若恒成立，则实数的取值范围是 .
练习 7 （2025 西南大学附中 19） 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题:
(1)若求的最大值，并指明取最大值时的值；
(2)将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少?
(3)试证明，对任意的正整数不等式成立.
微专题 4 函数概念、分段函数与图象
模块导学
函数概念、分段函数与图象
分段函数是高一上期中的「万能载体」：单调性、奇偶性、零点、含参讨论都能挂在它身上。压轴题的三个固定考点是——求值（往哪一段代）、解不等式（分类讨论后取并集）、端点衔接（左右两段在分界点处的函数值与单调性必须接得上）。再加上定义域、值域含参和图象识别，这一讲把「看图说话」练成本能。
知识梳理
知识点 1 分段函数的求值与解不等式（基础）
① 求 型：由内向外，先判 落在哪一段，算出内层值，再用这个值判一次分段。
② 递推型（ 时 ）先把自变量一路减到已知区间，用周期或平移把大数化小。
③ 解 时按段讨论，每段解出的解集要与该段的定义域取交集，最后把各段结果取并集。
④ 若不等式里出现 先看函数在 上的单调性或奇偶性，把函数值的大小关系转成自变量的大小关系，避免分段硬解。
易错 分段解不等式时忘记与本段定义域取交集，把不符合本段范围的那部分解也并进去了。
知识梳理
知识点 2 分段函数的单调性与端点衔接（难点）
① 分段函数在 上单调，要同时满足三个条件：每段内部单调方向一致、分界点处左右极限的大小关系正确（左段末值 右段初值，递增时）、衔接处不能出现「跳空」。
② 分界点处列的是不等式而不是等式：递增时 等号能否取到要看两段是否都含该点。
③ 一次函数段要求斜率符号与单调方向一致（递增则 ），二次函数段要求对称轴落在分界点的正确一侧。
④ 三条件联立后取交集，最后回验：把参数代回，检查分界点两侧的大小关系是否真的成立。
易错 只让两段各自单调，忘了在分界点比较左右两侧的函数值。这是分段单调题最常见的错法，也是压轴题的主要扣分点。
注意 「对任意 都有 」等价于「在 上严格递增」，比「每段递增」强，必须带上端点条件。
知识梳理
知识点 3 定义域与值域含参（重点）
① 定义域为 根号内恒非负 二次式 恒成立（ 且 或 且 ）；分母恒不为零同理。
② 值域为 若外层是对数，要求真数取遍所有正数 内层二次式的最小值 （注意此时定义域由真数为正决定，不是 ）。
③ 值域为给定区间 先求函数在定义域上的最值，令最值等于 若函数单调，直接令端点值相等即可。
④ 定义域与值域同时含参时，先用定义域条件定出参数的一个范围，再在这个范围里处理值域，避免无效讨论。
易错 「值域为 」与「定义域为 」的条件写反：前者看内层函数能否取遍 后者看内层是否恒正。
知识梳理
知识点 4 图象识别与图象信息（重点）
① 给解析式选图象：先看定义域（有没有断点）、再看奇偶性（对称性）、再看特殊点（与坐标轴交点、 的趋势），三步能排除绝大多数选项。
② 给图象求解析式：抓对称轴、顶点、与轴交点，代入待定系数；含参数的先由图象读出对称轴或最值，再反解参数。
③ 两个函数图象的交点、平行四边形的顶点条件，本质是「同一 处两个函数值的关系」，把坐标写出来列方程即可。
④ 图象题尽量不硬算：能由单调性和特殊值排除的，不要解方程。
注意 含绝对值的函数（如 ）先分段去绝对值，再判断奇偶性与单调区间，直接看整体容易误判。
题型 1 分段函数的单调性与端点衔接
例 34 （2024 湛江三校联考 8） 已知函数满足对任意 当时都有成立，则a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 35 （2024 重庆南开中学 8） 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
例 36 （2024 天津弘毅中学 9） 已知函数在内单调递减，则的取值范围是 ( ).
A． B．
C． D．
题型 2 图象识别与图象信息
例 37 （2024 南师附校 8） 函数的图象大致是 （ ）
A．[[IMG:v24_image3.png]] B．[[IMG:v24_image3.png]]
C．[[IMG:v24_image5.png]] D．[[IMG:v24_image5.png]]
例 38 （2025 江苏天一中学 8） 若函数的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
例 39 （2025 杭九中树范 11） 如图，已知直线与函数的图象分别交于四点，且为平行四边形，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型 3 分段函数的求值与解不等式
例 40 （2025 龙陵一中 8） 已知函数则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
例 41 （2025 丽江华坪一中 8） 已知函数若则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 42 （2025 杭州之江中学 14） 已知函数则 ．
题型 4 定义域与值域的含参问题
例 43 （2024 重庆巴蜀中学 11） 函数的定义域为值域为区域则下列说法正确的是 （ ）
A．若则
B．若则
C．若表示一个正方形区域，则该区域的面积为
D．存在无数个使得不等式对恒成立
例 44 （2024 南京六校联调 14） 已知函数 若函数的值域为则实数的取值范围是 ．
例 45 （2025 襄阳四中 18） 已知函数其中为实数.
(1)若函数的定义域为求的取值范围；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，是否存在实数满足对任意都存在使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 云南开远一中 8） 函数若对任意都有成立，则实数a的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
练习 2 （2025 武汉东湖高新区 8） 已知函数若的最小值为则实数a的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
练习 3 （2025 台州十校联盟 8） 如图，抛物线的对称轴是直线下列结论：（1）（2）（3）（4）正确的有 （ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
练习 4 （2025 常州金坛一中 14） 已知函数满足：对任意当时，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
练习 5 （2025 西南大学附中 14） 若定义在区间上的函数值域也为则实数的取值范围是 .
练习 6 （2025 南安龙泉中学 14） 已知函数则使不等式成立的的取值范围是 .
微专题 5 函数的性质：奇偶、单调、对称、周期
模块导学
函数的性质：奇偶、单调、对称、周期
这一讲的压轴题有一个共同特征：题目不给你解析式。给的是「」这样的抽象关系，或者「 是奇函数」这样的对称性描述。所有的解题动作都归结为两步：先把条件赋值成具体的函数值或奇偶性，再把函数值的大小关系翻译成自变量的大小关系。
知识梳理
知识点 1 奇偶性求参与解不等式（重点）
① 由奇偶性求参数：奇函数用 （定义域含 时）或 恒成立；偶函数用 恒成立，比较系数。
② 解 先用奇偶性把 变成 再用单调性脱去 得到 「脱 」的依据是单调性，不是想当然。
③ 定义域有限制时（如 ），脱 后必须补上「两个自变量都落在定义域内」的不等式组。
④ 含「存在 使不等式成立」的，先把不等式化成 的形式，再令 的最小值小于零（存在性）或最大值小于零（恒成立）。
易错 脱 时忘记定义域限制。 只写成 是不够的，还要
知识梳理
知识点 2 抽象函数的赋值法（难点）
① 赋值顺序固定：先令 或 求 再令 求奇偶性；最后用 时 判单调。
② 遇到 这种带余项的，先构造 把余项吸掉， 就满足标准形式。
③ 遇到 定义域一般是 赋值用 与
④ 单调性判定的标准写法：设 则 由已知符号定出大小。
注意 题目给的「当 时 」是判单调的依据，不能直接用，必须通过「设 把差写成 」这一步转过去。
知识梳理
知识点 3 对称性与周期性（难点）
① 三条互译公式： 为奇函数 图象关于 对称； 为偶函数 图象关于 对称； 周期为
② 两个对称中心（或一个中心一个轴）可以推出周期：两个对称中心距离为 时周期为 一轴一中心距离为 时周期为
③ 由 这类式子，先把它化成 （令 ），立刻看出是奇函数关于原点对称。
④ 求 这类大数，一律先找周期把自变量降下来，再用已知区间的解析式求值。
易错 把「 为偶函数」当成「 是偶函数」。前者是图象关于 对称，后者关于 轴对称，两者差一个平移。
知识梳理
知识点 4 单调性定义的等价变形（重点）
① （） 在区间上递增； 递减。这是单调性定义的「商形式」。
② 出现 时，构造 条件变成「 递增」。
③ 出现 直接就是递增；把不等号反向、或把两个因式交换位置，结论随之改变。
④ 这类条件常与奇偶性合用：先由奇偶性把 化成 再用单调性比较 与
注意 条件里给出的是 上的单调性时， 上的情况要借奇偶性推出，不能直接把整个 当成单调区间。
题型 1 单调性定义的等价变形
例 46 （2025 云师大附中 8） 设奇函数的定义域为对任意的且都有不等式且则不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
例 47 （2025 河南九师联盟 8） 已知定义在上的函数满足对都有若则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
例 48 （2024 泉州六中 11） 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①②当时，都有③则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若则
C．若则
D．使得对恒成立
题型 2 对称性与周期性的互译
例 49 （2024 南通海门实验 8） 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若则 （ ）
A． B．
C． D．
例 50 （2023 学军紫金港 12） 定义在上的函数满足为偶函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
例 51 （2024 长沙长郡中学 14） 已知函数的定义域为为偶函数，对任意的当时，则关于的不等式的解集为 .（用区间表示）
题型 3 奇偶性求参与解不等式
例 52 （2025 河南实验中学 18） 已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围．
例 53 （2024 重庆南开中学 18） 已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性；
(3)记函数的最大值为最小值为当时，求实数的值.
例 54 （2025 南宁三中 19） 已知定义在上的奇函数.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 若存在使不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知函数满足且规定若对任意不等式恒成立，求实数的最大值.
题型 4 抽象函数的赋值法
例 55 （2025 辽宁实验中学 19） 定义在上的函数满足：对任意非零实数．
(1)证明：为偶函数；
(2)若且当时，．
（i）证明：在上单调递增；
（ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围．
例 56 （2025 南师附中 19） 已知函数满足对任意都有.
(1)求的值；
(2)若为偶函数，求
(3)若求的整数解.
例 57 （2024 厦泉五校联考 19） 若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有当时，且．
(1)求证:为奇函数；
(2)求在上的最小值；
(3)若不等式:恒成立，求a的取值范围；
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 宁波六校 8） 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
练习 2 （2024 江阴成化中学 14） 已知是定义在上的奇函数，对任意都有且.对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是 .
练习 3 （2025 大连滨城联盟 18） 已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．
(1)证明：
(2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，．设．
①证明：
②已知求在上的最小值．
练习 4 （2025 山东实验中学 18） 已知函数是奇函数．
(1)求的值：
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值；
(3)若函数满足不等式求出的范围．
练习 5 （2024 杭师大附中 18） 已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
练习 6 （2025 杭四下沙 18） 已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围．
微专题 6 指数对数、零点与新定义函数
模块导学
指数对数、零点与新定义函数
这一讲是整册的收口。前三节是把指数对数当运算工具（比较大小、复合单调），第四节把「零点」当图象问题（看交点个数），最后一节是这几年期中卷最偏爱的题型——新定义：高斯函数、不动点、 倍区间、局部奇函数。它们的共同解法只有一条：把定义里的每个词翻译成方程或不等式，再用限定词（存在 / 任意 / 唯一）筛解。
知识梳理
知识点 1 指对运算与比较大小（重点）
① 比较大小三步：先看能否化成同底（用换底公式 ），同底用单调性；同底不了就找中间量 还不行就构造函数比。
② 含 这类指数方程，令 化成一元二次方程，解出后别忘了 的取舍。
③ 幂指混合的方程（如 ），先两边同除 把指数化成比值，再试 这类特殊值，最后用单调性说明唯一。
④ 图象过定点、渐近线这类条件，直接把点坐标代入求参数；「无限接近 但不交」说明 是水平渐近线。
易错 比较 与 时，先化同底（）再比，直接估算容易出错。
知识梳理
知识点 2 复合函数的单调性（重点）
① 复合函数 的单调性遵循「同增异减」，但前提是先求定义域：内层必须让外层有意义。
② 外层是 时， 与 的单调性相反，讨论时必须分 的两段。
③ 内层是二次式时，对称轴把定义域切成两块，两侧单调性相反；「在 上递增」这类条件要转成「对称轴在区间右侧（或左侧）」。
④ 「值域为 」与「在区间上单调」是两个独立条件，必须同时满足，不能只用一个。
易错 只按「同增异减」判断，忘了内层必须取遍外层定义域。 值域为 要求 不是
知识梳理
知识点 3 零点与方程根的个数（难点）
① 方程 的根的个数 = 直线 与 图象交点的个数。含绝对值、分段函数的这类题一律画图。
② 带绝对值的二次式先画 的图象，再把 轴下方的部分翻折上去，四个交点对应的 范围就在「翻折后的极大值」与「原顶点纵坐标的绝对值」之间。
③ 复合方程 先解出 再数每个 对应的 个数，最后求和。
④ 「有三个不等实根」这类条件，把第三个根的位置翻译成对参数的约束，常常等价于「直线与某一段相切」或「经过某个端点」。
注意 分段函数在分界点处的取值要单独代入，图象在分界点是否连续、是否有跳跃，直接决定交点个数。
知识梳理
知识点 4 新定义函数：翻译与筛解（难点）
① 新定义题的固定流程：读定义（圈出「存在」「任意」「唯一」）→ 写等式（把定义写成方程）→ 定范围（由定义域、值域限制）→ 筛解（舍去不满足的）。
② 高斯函数 （不超过 的最大整数）：核心不等式是 一切性质都由它推出。
③ 不动点（）：把方程解出来即可；「稳定点」（）要先解 再解 （ 为不动点）。
④ 倍区间、平稳函数（）这类，先把「区间上单调」与「值域等于 倍区间」两个条件分开写，再联立。
⑤ 新定义的判断型选择题（「以下说法正确的是」），逐条代入验证，举反例是最快的排除法。
易错 新定义里「存在」与「任意」看反。 使 只要求方程有解； 都满足则要求恒成立，两者的参数范围完全不同。
题型 1 指对运算与比较大小
例 58 （2025 杭师大附中 8） 已知则 （ ）
A． B．
C． D．
例 59 （2025 长沙雅礼中学 8） 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有 （ ）
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
例 60 （2025 长沙长郡中学 14） 方程的正实数解为 ．
题型 2 复合函数的单调性
例 61 （2025 湖南师大附中 8） 若函数的值域为且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
例 62 （2025 河南九师联盟 11） 已知函数则 （ ）
A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值
C．在上单调递增 D．的图象恒过定点
例 63 （2025 嘉兴八校联盟 14） 已知函数若则的取值范围是 ．
题型 3 零点与方程根的个数
例 64 （2024 大连二十四中 11） 关于的方程以下说法正确的是 （ ）
A．存在实数使得方程恰有3个不同的实根
B．存在实数使得方程恰有5个不同的实根
C．存在实数使得方程恰有6个不同的实根
D．不存在实数使得方程恰有7个不同的实根
例 65 （2025 昆明一中 14） 已知函数若存在实数使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 .
例 66 （2025 宁波六校 14） 设若有不相等的实数满足则的取值范围是 .
题型 4 新定义函数：不动点、取整与 k 倍区间
例 67 （2024 广州育才中学 12） 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数则下列说法错误的是 （ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值
C． D．在上是增函数
例 68 （2025 杭州绿城育华 19） 对于定义在上的函数若使得成立，则称为函数的不动点．
(1)若求的不动点；
(2)对于二次函数．
（i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围；
（ii）若函数有两个不相等的不动点且求的最小值．
例 69 （2025 云师大附中 19） 若函数Q在上的最大值记为最小值记为且满足则称函数Q是在上的“平稳函数”．
(1)函数①②③其中函数 是在上的“平稳函数”（填序号）；
(2)已知函数．
①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值；
②已知函数若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数使得求的值．
课后巩固 共 7 题
练习 1 （2023 学军紫金港 8） 已知函数若对于使得成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
练习 2 （2024 三明二中A卷 8） 已知函数若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
练习 3 （2024 南通海门实验 11） 定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是 （ ）
A．若则
B．若则
C．是上的奇函数
D．若则
练习 4 （2024 杭州学军中学 14） 已知函数若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .
练习 5 （2025 长沙一中 14） 若若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 .
练习 6 （2025 大连二十四中 14） 函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是 .
练习 7 （2025 杭四下沙 19） 对于函数若在定义域内存在实数x，满足称为“局部奇函数”．
（1）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．
（2）记．
（i）若是“局部奇函数”，求实数k的取值范围．
（ii）记若对定义域中的任意实数x，恒有求的最大值．
1
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$人教版必修一 期中压轴突破 · 培优讲义
期中压轴突破
集合与逻辑 · 不等式 · 函数概念与性质 · 指数对数
目 录
一、本册导航 3
微专题 1 集合与常用逻辑用语 3
题型 1 由子集个数与元素条件反求参数 5
题型 2 集合关系与充分必要条件的含参转化 6
题型 3 新定义集合：数域、容量与 8
课后巩固 9
微专题 2 一元二次不等式与恒成立 13
题型 1 二次方程根的分布与整数解 14
题型 2 恒成立、存在性与双变量问题 16
题型 3 由解集反求系数与解集的判断 17
题型 4 含参二次不等式的分类讨论 19
课后巩固 21
微专题 3 基本不等式与最值 25
题型 1 恒成立中的最值转化 26
题型 2 多元条件下的最值：消元与齐次化 27
题型 3 条件的代换、换元与配凑 29
题型 4 推广与创新：n 阶均值与 max 型 29
课后巩固 31
微专题 4 函数概念、分段函数与图象 35
题型 1 分段函数的单调性与端点衔接 36
题型 2 图象识别与图象信息 37
题型 3 分段函数的求值与解不等式 39
题型 4 定义域与值域的含参问题 40
课后巩固 43
微专题 5 函数的性质：奇偶、单调、对称、周期 45
题型 1 单调性定义的等价变形 47
题型 2 对称性与周期性的互译 48
题型 3 奇偶性求参与解不等式 49
题型 4 抽象函数的赋值法 53
课后巩固 55
微专题 6 指数对数、零点与新定义函数 59
题型 1 指对运算与比较大小 60
题型 2 复合函数的单调性 62
题型 3 零点与方程根的个数 63
题型 4 新定义函数：不动点、取整与 k 倍区间 66
课后巩固 70
一、本册导航
学习目标
本册要解决的问题
1．会在含参集合题里用「互异性」回验，会把 的端点逐条代入检验等号是否成立。
2．会数子集、真子集与「满足某关系的集合对」的个数，遇到 型计数能说清去掉的是哪几个。
3．会把充分、必要条件翻译成集合的包含关系（小范围推大范围），并据此反求参数范围。
4．会解含参一元二次不等式，按二次项系数是否为零、判别式正负、两根大小三层分类。
5．会把「恒成立」化为最值、把「存在」化为有解，会用分离参数处理带 这类区间的题。
6．会用「 的代换」与配凑处理条件最值，会在多元情形下先消元再套基本不等式。
7．会读分段函数的衔接条件（端点值相等或单调衔接），会由图象反求解析式中的参数。
8．会用赋值法处理抽象函数，会由 推出奇偶性与单调性。
9．会把对称性与周期性互相翻译（ 为奇函数 关于 对称），并据此求函数值。
10．遇到新定义（不动点、取整函数、 倍区间、数域），会先把定义逐字写成方程或不等式，再按限定词筛解。
重点与难点
本册的核心与门槛
重点 元素互异性的回验；子集计数的分类；充分必要条件的包含方向；含参二次不等式的三层讨论；恒成立化最值； 的代换；分段函数的端点衔接；赋值法；对称与周期的互译；新定义翻译。
难点 ① 中 的情形常被漏掉；② 分离参数时除式的正负要分段；③ 双变量「任意—存在」的次序决定最值取哪一端；④ 抽象函数中「 时 」如何转成单调性；⑤ 对称性与周期性的复合（两个对称中心推出周期）；⑥ 新定义里「存在」与「任意」的取舍。
学习主线
方法的先后次序
读元素定互异 → 数子集先分类 → 包含关系定方向 → 含参二次三层讨论 → 恒成立化最值 → 存在性化有解 → 的代换 → 消元降元 → 分段看端点 → 赋值定奇偶 → 赋值定单调 → 对称周期互译 → 新定义逐字翻译 → 按限定词筛解。
微专题 1 集合与常用逻辑用语
模块导学
集合与常用逻辑用语
期中卷里的集合题早就不考「求 」了。压轴位置上的两道，一道考含参：给出「有且仅有两个子集」「 中恰有一个整数」这类条件，让你反求参数；另一道考现场读定义：数域、容量、 这类从没见过的对象，全靠把定义逐字翻译成条件。这一节就练这两件事，外加一个常被忽略的细节——元素互异性，它是所有含参集合题的回验关口。
知识梳理
知识点 1 元素的三个特性与含参回验（重点）
① 确定性：给定集合，任一对象是否属于它必须能判定；互异性：同一集合里不能有两个相等的元素；无序性：
② 含参题的固定动作：先由条件列出方程或不等式，解出参数后代回原集合，检查是否有两个元素相等。有相等就舍去这个值。
③ 「集合 有 个元素」「 有 个子集」；「有且仅有两个子集」就是「恰有一个元素」，即对应方程有唯一解（且要注意二次项系数是否为零）。
④ 「 中恰有 个整数」这类条件，先把 解成区间，再让区间的两个端点夹住恰好 个整数，端点能否取到要单独讨论。
易错 由「只有一个元素」得 时，忘了 这种「退化成一次方程」的情形——此时方程也可能只有一个解。
注意 题目给的是 这种「解集型」集合时， 的关系往往由韦达定理给出，而不是由判别式。
知识梳理
知识点 2 子集计数与集合运算（重点）
① 元集合的子集 个、真子集 个、非空真子集 个。
② 计数题的关键是分类标准：按「较小集合的元素个数」分类最稳（空集、一元、二元……），每一类里再用组合数算较大集合的选法。
③ 「 或 」这种「或」的条件，先按无序性只算一半，再乘 但 的情形只能算一次，要在分类时排除。
④ 交并补的运算优先用数轴或 Venn 图，含参数时把端点标在数轴上，看「等号能否取到」。
易错 「」中漏掉 凡是含参的包含关系，第一步先问「 能不能是空集」。
知识梳理
知识点 3 充分条件与必要条件的方向（难点）
① 记 对应集合 对应集合 若 则 是 的充分条件、 是 的必要条件——小范围推大范围。
② 「 是 的必要条件」即 也就是 方向最容易记反，落笔前先在草稿上写一遍「谁推谁」。
③ 充要条件就是 两个方向都要证；证明时「」与「」分开写，各占一段。
④ 含参的充要条件题，最后一定要回验端点： 时端点的开闭必须完全一致。
易错 把「 是 的充分条件」理解成「 推 」。判定口诀只记一句：条件在前，结论在后，前推后。
题型 1 由子集个数与元素条件反求参数
例 1 （2024 内江威远中学 11） 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是 （ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为则
D．若不等式的解集为且则
思路分析 根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
由于集合有且仅有两个子集，所以
由于所以.
A，当时等号成立，故A正确.
B，当且仅当时等号成立，故B正确.
C，不等式的解集为故C错误.
D，不等式的解集为即不等式的解集为且则
则故D正确，
故选：ABD
例 2 （2025 郑州一中 14） 已知集合,集合,其中要么,要么,则符合条件的集合有 个.
思路分析 根据集合的互异性和无序性，只需考虑集合真包含于集合的情况即可，可根据集合中元素的数量进行分类讨论.
由集合的互异性可知，,因此集合真包含于集合或集合真包含于集合.
由集合的无序性可知，只需求解真包含于的情况即可.
因此，真包含于,包含于.
根据集合的元素个数进行分类讨论，其中代表符合条件的集合的数量.
①若为空集，此时是集合的非空子集，则;
②若包含集合中的任意一个元素，将该元素记为,此时集合的可能情况数可认为是集合去掉元素后的新集合的非空子集数，因此;
以下情形的计数原理与情形②相同，不再赘述.
③若包含集合中的任意两个元素，则;
④若包含集合中的任意三个元素，则.
⑤若包含集合中的任意四个元素，此时因此.
综上，.
故答案为：211.
例 3 （2025 武汉部分重点校 14） 用表示非空集合A中的元素的个数，定义若若则a的所有可能取值构成集合M，则 .
思路分析 由新定义可知，或根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解．
因为
又方程有两个不同的实数根，所以
若则或.
当时，方程只有实数根0，
所以且得
当时，方程有3个实数根，
时，方程有2个不等的实数根，分别为和
0不是方程的实数根，
若是方程的实数根，则
若的实数根分别为0，和
即满足条件，
若的实数根分别为0，和
即满足条件，
若不是方程的实数根，
所以方程有2个相等的实数根，即得
当时，满足条件，
当时，满足条件，
所以
故答案为：5
题型 2 集合关系与充分必要条件的含参转化
例 4 （2024 安岳中学重点班 8） 已知或若是的必要条件，则实数的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 由题得出两个集合之间的关系：再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可．
由题意知：
①当时，故解得
故
②当时，满足
③当时，故解得
故
综上所述：．
故选：A．
例 5 （2024 泉州六中 14） 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为则这4个数中最小的数为
思路分析 从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到根据的倍数，得到从而计算得到这四个数，得到最小的数.
从个数中选个数求和共有种取法，
即①
将①中个式子相加得
因为是4个正整数，所以一定是的倍数，
所得的结果的集合为由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复，
注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数，
所以①中的个和为
则则
又因为所以这个数分别为
故这个数中最小的数为.
故答案为：.
例 6 （2025 十堰郧阳中学 18） 设为实数，已知函数．
(1)若是方程的两个不等实根，求的取值范围；
(2)设集合．
①若中恰有一个整数，求的取值范围；
②设集合若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
思路分析 （1）利用根与系数关系可得再将目标式转化为含有的表达式，进而求范围.
（2）①根据二次函数的性质只需保证即可求的取值范围；②由已知可得又只需保证即可求参数范围.
（1）由题设，且
∴.
（2）①由的开口向上，对称轴为且判别式恒大于等于0，
∴要使的解集中恰有一个整数，则
∴.
②由题设，又
∴
则
∴.
题型 3 新定义集合：数域、容量与
例 7 （2025 郑州十校联考 8） 当一个含有非零实数的数集满足“如果则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域都有）.以上关于数域的说法中不正确的是 （ ）
A．① B．②
C．③ D．④
思路分析 根据有理数的定义及数域的定义一一判断即可.
由题意可知对任意数域存在非零实数
则由数域定义所以和是任何数域的元素，故①正确；
由①知所以以此类推，所有的正整数均属于数域
所以故②正确；
集合则但不满足数域的定义，
故集合不是一个数域，故③错误；
由①知所有正整数均属于数域又
以此类推，所有负整数均属于数域所以所有的整数均属于数域
所以对任意整数有
故对有理数集有
又对任意的有
所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确.
故选：C
例 8 （2025 杭四下沙 14） 已知有限集合定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合则 ；若集合且则正整数的值是 ．
思路分析 第一空：由所给定义得到集合B，从而得到第二空：由集合A中元素确定集合B中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．
第一空：因为
所以所以
第二空：因为
易知集合A中任意两个元素的和最小值是最大值是
且对任意都存在使得
所以
由解得．
故答案为：5；2025．
例 9 （2024 鞍山一中 19） 对任意的非空数集定义：其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果规定．
(1)若请写出集合和．
(2)若其中是正整数求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由．
思路分析 （1）根据的定义来求得正确答案.
（2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值.
（1）
所以
所以.
（2）略
对于根据新定义求集合的问题，关键是要准确理解定义中各个符号的含义和运算规则，然后按照规则对给定集合的相关情况进行逐一分析和计算.
求集合元素个数的最值问题，对于最大值，通常可以从集合的基本性质（如子集个数）出发进行分析，通过构造特殊集合来验证；对于最小值，需要根据题目条件（如元素的性质、大小关系等）进行推理，同样通过构造合适的集合来验证.在构造集合时，要充分考虑如何满足题目要求，使构造的集合能够清晰地说明最值的情况.
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 龙陵一中 11） 下列命题正确的是 （ ）
A．“”是“”的充分必要条件
B．若且则的最大值为9
C．不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是
D．已知其中a，b为常数，若则
思路分析 对A：利用集合间基本关系与充分必要条件定义判断即可得；对B：借助基本不等式“1”的活用计算即可得；对C：借助一元二次不等式解法计算即可得；对D：由可得即可得.
对A：若则若则
故“”是“”的充分必要条件，故A正确；
对B：
当且仅当即时，等号成立，故的最小值为9，故B错误；
对C：不等式在上恒成立，
则即故C正确；
对D：故
则故D正确.
故选：ACD.
练习 2 （2024 安岳中学重点班 11） 下列各选项给出的数学命题中，正确的是 （ ）
A．集合表示同一集合
B．若是一次函数，满足则
C．函数的值域为
D．关于的不等式的解集则不等式的解集为
思路分析 根据两个集合的含义可判断A；利用待定系数法求解析式可判断B；将函数变形为先求出的范围即可求出的范围可判断C；先求出的关系并判断的符号，再解一元二次不等式可判断D.
对于A：集合为函数的定义域，即全体实数集，
集合为函数的值域，即所以不是同一个集合，故A错误；
对于B，因为是一次函数，设
则可得
解得或所以或故B错误；
对于C，当时，则
此时，则则
所以，函数的值域为故C正确；
对于D：关于的不等式的解集
则方程 的两个解是 或 ，并且 ，
由韦达定理可得 ，解得
则不等式转化为由
则解得
故不等式的解集为故D正确．
故选：CD
练习 3 （2024 南师附校 11） 下列说法正确的是 （ ）
A．函数与不是同一函数
B．若则
C．若则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是
思路分析 根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D.
对于A，函数所以函数与不是同一个函数，故A正确；
对于B，当且仅当取得等号，故B正确；
对于C，因为函数在上单调递增，所以当时，故C错误；
对于D，当时，不等式即满足题意，当时，则有解得.
综上所述，满足题意的的取值范围是故D错误.
故选：AB
练习 4 （2025 南师附中 18） 曼哈顿距离是由19世纪德国数学家赫尔曼闵可夫斯基创立，用于描述规则网格布局中的路径.其别称“城市街区距离”源于纽约曼哈顿区的街道布局，车辆只能沿横向或纵向道路移动，无法直线穿越.在平面直角坐标系中，其定义为：的坐标分别为那么称为两点间的曼哈顿距离.
(1)已知点若点在函数的图象上运动，求的最小值；
(2)已知点在函数的图象上运动，点若恒成立，求正实数的取值范围.
思路分析 （1）设点利用曼哈顿距离定义列式，再求出分段函数的最小值即可.
（2）设点利用曼哈顿距离定义列式并求出最小值，再利用恒成立建立不等式求解.
（1）设则
当时，当时，当时，
所以的最小值为1.
（2）设则设而
则
当时，在上单调递增，则
时，则在或处取得最小值，
即因此
由恒成立，得且
解得解得
则所以正实数的取值范围是.
练习 5 （2024 南京六校联调 19） 已知集合其中由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质若对任意的必有则称集合具有性质．
(1)已知集合与集合和集合判断它们是否具有性质若有，则直接写出其对应的集合若无，请说明理由；
(2)集合具有性质若求：集合最多有几个元素？
(3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．
思路分析 （1）根据定义做出判断，直接写出集合.
（2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值.
（3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证.
（1）略
（2）依题意，集合的元素构成有序数对 共有个，
由得又当时，则当时，
因此集合的元素个数不超过个，
取则中元素的个数为个，
所以中元素的个数最多为.
（3）略
练习 6 （2024 长沙长郡中学 19） 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列.
已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列定义如下操作过程从中任取两项将的值添在的最后，然后删除这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程得到的新数列记作如此经过次操作后得到的新数列记作.
(1)设数列请写出的所有可能的结果；
(2)求证：对于一个项的数列实施操作过程总共可以实施次；
(3)设数列求的可能结果，并说明理由.
思路分析 （1）由题意可直接得到；
（2）证明新增项一定是满足数列的项，就能得到每一次操作增加一项减少二项合计一次操作减少一项，所以得出总共的操作次数；
（3）通过定义验证的结果与操作过程无关，所以最后结果就是任意两个元素进行计算，最后得出的一个数即为的结果.
（1）（1）有如下的三种可能结果：
所以.
（2）略
（3）略
微专题 2 一元二次不等式与恒成立
模块导学
一元二次不等式与恒成立
这一讲是全册题量最大的一块。压轴题里的二次不等式有四种问法：给解集反求系数、含参解不等式、方程根落在某区间、以及恒成立与存在性。前两种考的是「分类讨论的层次」，后两种考的是「把条件翻译成判别式或最值」。共同的门槛是同一个：二次项系数含参数时，它能不能等于零，这一步漏掉，后面全错。
知识梳理
知识点 1 三个二次的关系与解集反求（重点）
① 二次函数图象、二次方程根、二次不等式解集三者同源： 的解集端点是方程 的根，开口方向由 决定。
② 由解集反求系数用韦达定理：解集为 且 解集为「 或 」则 而两根相同，只是不等号方向变了。
③ 解集是 单点集这三种「退化」情形要单独记： 解为 时 且 或 且
④ 判断题（「下列说法正确的是」）的通用打法：先把解集条件化成 的符号与等式，再逐条验证选项，能举反例的直接排除。
易错 由解集 反求时，直接写 正确做法是设 再比系数， 的取值要靠另一个条件（如二次项系数）定。
注意 「解集为 」与「解集为 」在二次项系数为 时都可能出现，必须把 当作独立分支讨论。
知识梳理
知识点 2 含参二次不等式的分类讨论（难点）
① 三层讨论固定顺序：第一层二次项系数是否为零（退化成一次不等式）；第二层判别式 的正负（有没有根）；第三层两根的大小（决定解集写成 还是 ）。
② 含参因式分解优先：能分解成 就先分解，把讨论对象从「判别式」转到「两根谁大」，讨论量立刻减半。
③ 讨论完必须写「综上所述」，把各分支的解集按参数范围并列写出，漏写会扣分。
④ 题目若同时问「恒成立」和「解不等式」，先做恒成立定出参数范围，再在这个范围内解不等式——范围外的情形不必讨论。
易错 两根含参数时忘记比较大小，直接写「解集为 」。必须补一句「当 时…；当 时…」。
知识梳理
知识点 3 根的分布与整数解（难点）
① 根的分布不看判别式，看端点函数值的符号 + 对称轴位置：两根都大于 （ 时）。
② 两根分别落在两个区间（如 ），只需端点值异号加上区间端点的符号条件，比硬解不等式快得多。
③ 「整数解恰有 个」：先解出含参区间，再让两个端点夹住恰好 个整数；端点能否取到等号，要代回验证。
④ 讨论二次项系数含参时， 退化成一次方程，只有一根，常常也满足「有解」类条件，别漏。
注意 端点取等的情形最容易错：区间 里恰有一个整数，与 的答案常常差一个端点值，落笔前把端点代进去数一遍。
知识梳理
知识点 4 恒成立与存在性（重点）
① 单变量恒成立： 对 恒成立 （ 上）；存在 使
② 二次型恒成立的两条路： 时用「 且 」； 在某个区间时改用「分离参数 + 求最值」，因为对称轴可能落在区间外。
③ 分离参数时除以的式子必须定号：除以 （）不变号，除以 就要按 分段，这是最常见的失分点。
④ 双变量「任意—存在」按顺序读： 若换成「」则是 两个最值取哪一端，全看量词的先后。
易错 把「」写成 正确是 ——因为 可以随 变化，取到的是 的最大值。
题型 1 二次方程根的分布与整数解
例 10 （2025 常州奔牛中学 8） 关于的方程有两个不相等的实数根若则实数的取值范围是 （ ）
A． B．或
C．或 D．或
思路分析 按照和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可.
当时，方程只有一个根，显然不符合题意；
当时，则解得
当时，则解得
故或．
故选：B
例 11 （2025 广州二中集团 8） 若关于的不等式组的整数解只有则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围.
解集为
当时， 的解集为
因为关于的不等式组的整数解只有
所以即
当时，的解集为空集，不满足题意，
当时，的解集为不满足题意，
综上，的取值范围.
例 12 （2025 东北育才高中 18） 已知函数.
(1)若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围；
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
思路分析 （1）直接根据二次函数对称轴在区间内进行求解即可；
（2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可.
（3）首先进行分离参数得：恒成立，然后通过均值不等式求解最小值，进而得到参数的取值范围.
（1）已知函数其对称轴为.
又在区间不具有单调性，因此可得：解得：.
（2）若关于的方程有两个大于且不相等的实根，
则解得或.
所以实数的取值范围是或
（3）时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令则恒成立，即
因为所以当且仅当时取到等号，
所以实数的取值范围是.
题型 2 恒成立、存在性与双变量问题
例 13 （2024 内江威远中学 8） 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有解得
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
例 14 （2024 重庆南开中学 14） 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 .
思路分析 分离参数，再将不等式有解转化为最值问题即可.
关于的不等式在区间有解，
则使得不等式成立，即
令则
令函数在上单调递减，在上单调递增，
于是因此
所以实数的取值范围为.
故答案为：
例 15 （2025 云师大附中 14） 已知．若对任意的总存在使得成立，则实数的取值范围为 ．
思路分析 根据已知有将问题化为是在上值域的子集，应用分类讨论研究的值域，列不等式求参数范围.
由则而故
对任意的总存在使得成立，而
所以是在上值域的子集，
由的图象开口向上，且对称轴为
当即则在上单调递增，故
此时是的子集，则且可得
当即则在上单调递减，在上单调递增，故
此时是的子集，则且易知无解；
当即则在上单调递减，在上单调递增，故
此时是的子集，则且易知无解；
当即则在上单调递减，故
此时是的子集，则且可得
综上， .
故答案为：
题型 3 由解集反求系数与解集的判断
例 16 （2025 广州二中集团 11） 关于的不等式的解集为下列说法正确的是 （ ）
A．
B．不等式的解集为
C．的最大值为
D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是
思路分析 根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D.
不等式的解集为或
故和是方程的两个根，
所以解得故A正确，
对于B，可变为解得或故B错误，
对于C，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为C正确，
对于D，的不等式可变为
记由于故0是的一个整数解，
由于对称轴要使不等式解集中仅有两个整数，则故故D正确，
故选：ACD
例 17 （2025 杭高集团三校区 11） 关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是 （ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
思路分析 根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断．
对于A，若解集为故A正确；
对于B，当时，解集为故B正确；
对于C，若不等式的解集为则
显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误；
对于D，若不等式的解集是
则且方程的两根为
所以解得
所以当时，不等式的解集是故D正确．
例 18 （2025 龙陵一中 18） 若不等式的解集是．
(1)解不等式
(2)b为何值时，的解集为R．
思路分析 （1）由题意可得和1是方程的两个根，则有求出的值，然后解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为R，从而可得进而可求出的取值范围
（1）由题意得和1是方程的两个根，则有解得
所以不等式化为
解得或
所以不等式的解集为或
（2）由（1）可知的解集为R，
所以解得
所以的取值范围为
题型 4 含参二次不等式的分类讨论
例 19 （2024 天津弘毅中学 18） 设函数.
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解不等式.
思路分析 （1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且
（2）因式分解后对参数分类讨论即可.
（1）①若此时恒成立；
②若要使得恒成立，则解得
所以
（2）即
即
若则解集为
若此时不等式无解；
若则解集为
例 20 （2024 沈阳东北育才 18） 已知函数
(1)解关于的不等式
(2)若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围：
(3)若对任意的恒成立，求的取值范围．
思路分析 （1）原式化简得按的不同取值分类讨论即可；
（2）根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式组，解出即可；
（3）分离参数，利用均值不等式求解即可.
（1）由整理得
所以
（i）当时，不等式解集为
（ii）当时，不等式解集为
（iii）当时，不等式解集为
综上所述，（i）当时，不等式解集为
（ii）当时，不等式解集为
（iii）当时，不等式解集为．
（2）方程有两个小于的不等实根，
所以解得
故的取值范围为．
（3）对任意的恒成立，
即恒成立，即对任意的恒成立．
①时，不等式为恒成立，此时
②当时，
因为所以
所以
当且仅当时，即时等号成立，
所以
综上．
例 21 （2024 广州育才中学 20） 设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
思路分析 （1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为利用基本不等式求解可得；
（3）整理得根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.
（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为不合题意；
当时，解得：
综上所述：实数m的取值范围为．
（2）
（当且仅当即时取等号），的最小值为4．
（3）由得：
①当时，解得：即不等式解集为
②当时，令解得：
1）当即时，不等式解集为
2）当即时，不等式解集为
3）当即时，不等式可化为
不等式解集为
4）当即时，不等式解集为
综上所述：当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为．
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 哈尔滨三中 8） 若使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为 （ ）
A．或 B．或
C． D．
思路分析 将问题转化为结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解.
将不等式变形为：令所以是关于的函数；
当时，满足条件；
当时，满足条件；
当时，即时，在上单调递减，
若使得关于的不等式成立，则解得：或
由于则
当时，即或时，在上单调递增，
若使得关于的不等式成立，则解得：或
由于或则或
综上，实数的取值范围为：或
故选：A
练习 2 （2024 鹤山纪元中学 14） 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
思路分析 利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围.
当时，原不等式为此不等式对一切实数都成立；
当时，解得
所以实数的取值范围为.
故答案为：
练习 3 （2024 沈阳东北育才 14） 已知函数若对任意总存在使得成立，则实数a的取值范围是 .
思路分析 由在上单调递减，可求对任意总存在使得成立，可得结合二次函数的性质可求
在上先减后增
故当时，函数有最小值（1）当时，函数有最大值（3）
故
在上单调递减，故
对任意总存在使得成立，
解可得，
故答案为：
练习 4 （2025 东北育才高中 14） 已知函数若使得则实数的取值范围是 .
思路分析 将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式可得.
因为使得
所以，对有
因为在上单调递增，所以
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又所以在上的最大值为
故解.
故答案为：
练习 5 （2025 江苏天一中学 14） 对于任意实数不等式恒成立．
（1）则的取值范围是 ．
（2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为 ．
思路分析 （1）分参数和两种情况，当时结合二次函数的性质判断即可；
（2）采用主元变换法，将其看成的一次函数求解可得.
当时，不等式为恒成立；
当时，结合二次函数的性质可得解得
的取值范围是.
设
因为所以一次函数为递增函数，
则当时，
解得
所以的取值范围为.
故答案为：.
练习 6 （2025 哈尔滨三中 19） 已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数在上的最大值为8，求实数的值；
(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当正实数满足时，.
思路分析 （1）分离参数结合基本不等式即可求解；
（2）分类讨论的范围，结合二次函数的图像与性质分析即可求解；
（3）结合（2）问图像即可得到实数的取值范围，令,可得当时，恒成立；
由,结合即可证明结论.
（1）若恒成立，则在恒成立
当且仅当时取等，
（2）令,解得：,
①时，的图像如下：
所以在单调递增，解得：（舍）
当时，的图像如下：
令,解得：,或,或,
②当时，在上单调递增，则时，,解得：（舍）;
③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则时，,解得满足条件；
④当时，即时，结合图像可得当时, ,解得(舍)，
⑤当,即时，结合图像可得当时,,解得：满足条件；
综上，或
（3）结合（2）问图像，要使函数在上单调递增，则或
取时，在单调递减
时，此时,
时，,此时,
所以当时，恒成立；
由于正实数满足则,
所以
由于,
则
微专题 3 基本不等式与最值
模块导学
基本不等式与最值
基本不等式 本身只有一行，压轴题难在「怎么凑出能用的形式」。四个动作覆盖了几乎所有考法：乘 1 代换（把条件乘进去）、换元（把分式换成一个字母）、消元（用条件把二元降成一元）、配凑（加减常数凑成积定的形式）。等号成立的条件必须写出来并回验——这是压轴题的得分点，也是失分点。
知识梳理
知识点 1 乘 1 代换与配凑（重点）
① 条件形如 时，把待求式乘以「条件式」再展开，出现 这种倒数结构即可套不等式。
② 展开后一定出现常数项，把常数留下，其余两项用 等号条件解出后回代验算。
③ 分母是 这种「带常数」的，先做变量代换 把条件 改成 再走乘 1 代换。
④ 分式型 的分子分母同次，先上下同除把比例 设出来，化成 的一元函数再求最值。
易错 乘 1 代换后只写「」就收笔，忘了写等号成立的条件。压轴题按步给分，等号取到的 值必须写出来，并检验是否满足原条件。
知识梳理
知识点 2 多元条件最值：消元与齐次化（难点）
① 条件是二次等式（如 ），待求式是一次（）：用条件把 解出来代进去，变成 的一元函数再求最值。
② 待求式与条件都是二次齐次式时，令 化为 的函数，再用基本不等式或单调性处理。
③ 条件形如 先把待求式用条件表示（把 换掉），出现完全平方后再开方。
④ 求「最大值」时注意变量范围：由条件解出的 必须为正，这个限制常常决定最值在端点还是内部取到。
注意 消元后得到的一元函数，定义域是「使另一个变量仍为正」的那一段，不是全体实数。最值取错端点，多半是定义域没写。
知识梳理
知识点 3 恒成立中的最值转化（重点）
① 「 恒成立」 先用基本不等式求出左边最小值，再解关于 的二次不等式。
② 若右边还带另一个变量（如 ），要把两边的变量分开：左边只含 右边只含 分别求最值后比较。
③ 恒成立求参数范围时，最后一步是解不等式，别忘了「」这类二次式的解集要写全。
④ 若条件是「对任意 都成立」，先把左边整理成关于某个比值的不等式，再用「 恒成立 左边最大值」。
易错 把「 恒成立」直接写成 的最小值，方向搞反。正确是 即
知识梳理
知识点 4 推广与创新：n 阶与 max 型（难点）
① 阶均值不等式：等号当且仅当各数相等。证明常用「先证 再用归纳或二元结论逐步合并」。
② 遇到 利用「 不小于其中每一个」，把三个式子分别与 比较后相乘，得到 的下界。
③ 这类题的通用思路是「把 转成不等式组」，再用基本不等式把不等式组里的乘积压成一个常数。
④ 新定义题（如「 阶均值」「平稳函数」）先逐字翻译定义，再套已学的不等式，不要急着算。
注意 阶不等式的等号条件是「」，用的时候必须验证这个条件能取到，否则只是严格不等式。
题型 1 恒成立中的最值转化
例 22 （2025 合肥肥东尚真 8） 已知均为正实数，且若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．或 B．
C．或 D．
思路分析 应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有即可求的取值范围.
由题设，当且仅当时等号成立，
要使恒成立，则可得.
故选：D
例 23 （2024 厦泉五校联考 8） 设正数满足若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解.
因为正数满足
则因为
所以则当且仅当即时等号成立.
因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立.
所以即对任意实数恒成立.
令因为所以.
所以.
故选：D.
例 24 （2025 杭州绿城育华 14） 若正数x，y满足且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
思路分析 根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可.
由得且 ，
故
当且仅当即时等号成立.
故问题转化为即
解得故实数m的取值范围为.
题型 2 多元条件下的最值：消元与齐次化
例 25 （2025 重庆西藏中学 8） 已知满足则的最小值是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 由已知得代入后利用基本不等式可得答案.
因为所以
所以
当且仅当即时等号成立.
故选：B.
例 26 （2025 杭州学军中学 8） 已知正实数满足则的最小值为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 由条件得到通过换元得到再结合基本不等式即可求解.
因为
所以
令
因为都是正数，
所以即
且同时
所以
当且仅当时等号成立，此时.
故选：A
例 27 （2025 辽宁实验中学 14） 已知是实数，且则的最小值是
思路分析 设得到代入求得化简得到设转化为方程有解，结合即可得到答案.
设则
代入已知条件可得则
所以
设可得
因为存在实数即方程有解，
则满足即
解得即
当时，由可得此时
因为所以的最小值为.
故答案为：.
题型 3 条件的代换、换元与配凑
例 28 （2025 常州金坛一中 8） 已知正实数满足则的最小值为 （ ）
A．9 B．8
C．7 D．6
思路分析 应用1的代换得再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
由题意
当且仅当时取等号，故的最小值为8.
故选：B
例 29 （2025 杭高集团三校区 14） 已知正实数x，y满足则的最小值为 ．
思路分析 根据基本不等式“1”的妙用即可求解．
设则
因为所以
所以
当且仅当即
所以当时，的最小值．
例 30 （2025 云南开远一中 14） 已知实数则的最小值为 ．
思路分析 由换元法与基本不等式求解，
令
（当且仅当即时，取等号）．
故答案为：
题型 4 推广与创新：n 阶均值与 max 型
例 31 （2025 大连二十四中 8） 已知正数满足则下列四个说法正确的个数有 （ ）
①②③④
A．一个 B．两个
C．三个 D．四个
思路分析 将给定等式变形，借助平方数为非负数放缩，结合不等式性质逐个判断即得.
由为正数，得
则解得当且仅当时取等号，②正确；
当且仅当时取等号，③正确；
当且仅当时取等号，①正确；
当且仅当时取等号，④正确，
所以给定四个说法正确的个数有4个.
故选：D
例 32 （2024 鞍山一中 14） 表示中最大的数字的值，若都是正实数，则的最小值为 ．
思路分析 根据的定义得到关于的不等式关系，再利用均值不等式求解的最小值.
因为所以.
都是正实数，则
即.可得.
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
例 33 （2024 大连开发区一中 19） 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若则有当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：
(1)若求的最小值；
(2)若求的最大值，并求取得最大值时的的值；
(3)对任意判断与的大小关系并加以严格证明.
思路分析 （1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；
（2）由结合四阶基本不等式可得最值；
（3）猜测成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立.
（1）因为所以由三阶基本不等式可得：
当且仅当即时取等号，
因此的最小值为
（2）当时，由四阶基本不等式可得：
当且仅当即时取等号，
因此的最大值为
（3）大小关系为
证明如下：
由条件可知：时，
当时，左边右边左边右边，不等式成立；
当时，由阶基本不等式，可知：
不等式左边
而因此上式的不等号取不到等号，
于是
综上，原不等式得证.
课后巩固 共 7 题
练习 1 （2025 杭州绿城育华 8） 若且则的最小值是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据基本不等式可得求得由可求得最小值.
由于即
则即当且仅当时等号成立，
所以的最小值为18，
所以有
所以的最小值为此时.
练习 2 （2024 泉州六中 8） 已知为正实数，且则的最小值为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 把化简为为然后利用基本不等式即可求出最小值
因为则
由于
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为
故选：C
练习 3 （2025 南师附中 8） 设为实数，则的最大值为 （ ）
A． B．1
C． D．
思路分析 令先将其看成是关于的二次方程，利用判别式列出不等式，再看成是关于的二次不等式，再利用判别式列出不等式即可求解.
令
则将其视为关于的二次方程，
则
因为为实数，则
再整理为关于的二次不等式，则
因为为实数，则该不等式有解，则
当（包含的情况）时，该不等式成立；
当时，该不等式化简为即解得
所以最大值为.
故选：B
练习 4 （2024 封开南丰中学 8） 恒成立，则的最小值为 （ ）
A．1 B．2
C． D．
思路分析 根据题意，将原不等式变形可得结合基本不等式的性质可得成立，进而可得解可得的取值范围，即可得答案.
根据题意，恒成立，
当所以必有
变形可得
又由当且仅当时等号成立，
若恒成立，必有
又由､则必有
解可得或
而则即的最小值为2，
故选：B.
练习 5 （2024 南京六校联调 11） 已知为正实数，且则 （ ）
A．的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
思路分析 根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.
对于A，由得即
解得则当且仅当时取等号，A正确；
对于B，即
解得当且仅当时取等号，B正确；
对于C，由得则
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，由得且
因此
当且仅当即时取等号，D正确.
故选：ABD
练习 6 （2025 深圳盟校 14） 已知且若恒成立，则实数的取值范围是 .
思路分析 对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果.
设 则 且
当且仅当时，即时取等；
.
故答案为：.
练习 7 （2025 西南大学附中 19） 某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题:
(1)若求的最大值，并指明取最大值时的值；
(2)将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少?
(3)试证明，对任意的正整数不等式成立.
思路分析 （1）由结合基本不等式即可求解；
（2）由结合基本不等式即可求解；
（3）根据结论得到 然后化简变形可完成证明.
（1）
当且仅当时，取等号，
所以最大值为
（2）由题意
长方体的体积为：
当且仅当时取等号，
所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为.
（3）证明：当时，左式右式且
当时，
显然所以等号不能取，所以
综上可知，恒成立.
微专题 4 函数概念、分段函数与图象
模块导学
函数概念、分段函数与图象
分段函数是高一上期中的「万能载体」：单调性、奇偶性、零点、含参讨论都能挂在它身上。压轴题的三个固定考点是——求值（往哪一段代）、解不等式（分类讨论后取并集）、端点衔接（左右两段在分界点处的函数值与单调性必须接得上）。再加上定义域、值域含参和图象识别，这一讲把「看图说话」练成本能。
知识梳理
知识点 1 分段函数的求值与解不等式（基础）
① 求 型：由内向外，先判 落在哪一段，算出内层值，再用这个值判一次分段。
② 递推型（ 时 ）先把自变量一路减到已知区间，用周期或平移把大数化小。
③ 解 时按段讨论，每段解出的解集要与该段的定义域取交集，最后把各段结果取并集。
④ 若不等式里出现 先看函数在 上的单调性或奇偶性，把函数值的大小关系转成自变量的大小关系，避免分段硬解。
易错 分段解不等式时忘记与本段定义域取交集，把不符合本段范围的那部分解也并进去了。
知识梳理
知识点 2 分段函数的单调性与端点衔接（难点）
① 分段函数在 上单调，要同时满足三个条件：每段内部单调方向一致、分界点处左右极限的大小关系正确（左段末值 右段初值，递增时）、衔接处不能出现「跳空」。
② 分界点处列的是不等式而不是等式：递增时 等号能否取到要看两段是否都含该点。
③ 一次函数段要求斜率符号与单调方向一致（递增则 ），二次函数段要求对称轴落在分界点的正确一侧。
④ 三条件联立后取交集，最后回验：把参数代回，检查分界点两侧的大小关系是否真的成立。
易错 只让两段各自单调，忘了在分界点比较左右两侧的函数值。这是分段单调题最常见的错法，也是压轴题的主要扣分点。
注意 「对任意 都有 」等价于「在 上严格递增」，比「每段递增」强，必须带上端点条件。
知识梳理
知识点 3 定义域与值域含参（重点）
① 定义域为 根号内恒非负 二次式 恒成立（ 且 或 且 ）；分母恒不为零同理。
② 值域为 若外层是对数，要求真数取遍所有正数 内层二次式的最小值 （注意此时定义域由真数为正决定，不是 ）。
③ 值域为给定区间 先求函数在定义域上的最值，令最值等于 若函数单调，直接令端点值相等即可。
④ 定义域与值域同时含参时，先用定义域条件定出参数的一个范围，再在这个范围里处理值域，避免无效讨论。
易错 「值域为 」与「定义域为 」的条件写反：前者看内层函数能否取遍 后者看内层是否恒正。
知识梳理
知识点 4 图象识别与图象信息（重点）
① 给解析式选图象：先看定义域（有没有断点）、再看奇偶性（对称性）、再看特殊点（与坐标轴交点、 的趋势），三步能排除绝大多数选项。
② 给图象求解析式：抓对称轴、顶点、与轴交点，代入待定系数；含参数的先由图象读出对称轴或最值，再反解参数。
③ 两个函数图象的交点、平行四边形的顶点条件，本质是「同一 处两个函数值的关系」，把坐标写出来列方程即可。
④ 图象题尽量不硬算：能由单调性和特殊值排除的，不要解方程。
注意 含绝对值的函数（如 ）先分段去绝对值，再判断奇偶性与单调区间，直接看整体容易误判。
题型 1 分段函数的单调性与端点衔接
例 34 （2024 湛江三校联考 8） 已知函数满足对任意 当时都有成立，则a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据题意可得是R上的增函数，用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组即可求解.
因为函数满足对任意 当时都有成立，
所以是R上的增函数，
于是即
解得即.
故选：A
例 35 （2024 重庆南开中学 8） 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 分段函数在定义域上单调递减，则函数各段均单调递减，且左边函数的右端点值大于左边函数左端点值，建立不等式组，解得范围.
由题可知解得
故选：C.
例 36 （2024 天津弘毅中学 9） 已知函数在内单调递减，则的取值范围是 ( ).
A． B．
C． D．
思路分析 根据分段函数在内单调递减，且具有连续性，求出二次函数的对称轴，列不等式可求解．
由题意解得．
故选：C．
题型 2 图象识别与图象信息
例 37 （2024 南师附校 8） 函数的图象大致是 （ ）
A．[[IMG:v24_image3.png]] B．[[IMG:v24_image3.png]]
C．[[IMG:v24_image5.png]] D．[[IMG:v24_image5.png]]
思路分析 利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可.
且函数定义域过于原点对称，
为奇函数，图象关于原点对称，故排除D，
又且时，故排除C，
当时，故排除A.
故选：B.
例 38 （2025 江苏天一中学 8） 若函数的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据图象，得到函数定义域，进而的两根为由韦达定理得到方程，结合联立求出得到函数解析式，代入求值即可.
由图象可知，的定义域为
故的两根为
由韦达定理得
又联立上式，解得
则
故.
故选：A.
例 39 （2025 杭九中树范 11） 如图，已知直线与函数的图象分别交于四点，且为平行四边形，则 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 首先确定点 点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论.
依题意，当 时， 在 图象下方，
所以在 图象上， 在 图象上，
所以 ， ，
又因为四边形为平行四边形，
所以 ，即 ，即
又因为 ，所以 ，
. 故A正确， B错误.
由均值不等式 ，化简可得
，当 时等号成立，
由于 ，故 ， D正确， C错误.
故选：AD.
题型 3 分段函数的求值与解不等式
例 40 （2025 龙陵一中 8） 已知函数则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
由题意可得或
解得
所以不等式的解集为.
故选：A
例 41 （2025 丽江华坪一中 8） 已知函数若则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.
解：当时，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且
当时，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且
所以在上为增函数，
因为
所以解得
故选：A
例 42 （2025 杭州之江中学 14） 已知函数则 ．
.
题型 4 定义域与值域的含参问题
例 43 （2024 重庆巴蜀中学 11） 函数的定义域为值域为区域则下列说法正确的是 （ ）
A．若则
B．若则
C．若表示一个正方形区域，则该区域的面积为
D．存在无数个使得不等式对恒成立
思路分析 A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断.
A：若则恒成立，
显然时，成立，
时，
故正确；
由已知则错误；
C：若表示一个正方形区域，则
设的解集为
又所以
解得
此时故该区域的面积为正确；
当时，正确.
故选：ACD
例 44 （2024 南京六校联调 14） 已知函数 若函数的值域为则实数的取值范围是 ．
思路分析 首先化简函数根据列不等式求实数的取值范围.
则有
由
所以 ，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
本题关键点是化简函数解析式后，得到由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解.
例 45 （2025 襄阳四中 18） 已知函数其中为实数.
(1)若函数的定义域为求的取值范围；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，是否存在实数满足对任意都存在使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
思路分析 （1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解.
（2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.；
（3）由题意根据题意可得即可.令则令．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
（1）由题意，函数的定义域为
则不等式对任意都成立．
①当时，得此时函数定义域为不合题意；
②当时，欲使不等式即对任意都成立，
则即解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）函数在区间上单调递增，
由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增，且在上恒成立，
当时，在上单调递减，且显然不符合题意；
当时，开口向下，对称轴为
在上单调递减，显然不符合题意；
当时，开口向上，对称轴为
由题意得解得．
综上a的取值范围是.
（3）当时，．
所以当时，
令显然在上递增，则．
则.
令,
若存在实数满足对任意都存在
使得成立，则只需.
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则解得
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
一般地，已知函数
（1）若总有成立，故
（2）若有成立，故
（3）若有成立，故
（4）若有则的值域是值域的子集.
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 云南开远一中 8） 函数若对任意都有成立，则实数a的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解．
因为对任意都有成立，所以是上的减函数，
则解得
即实数a的取值范围为．
练习 2 （2025 武汉东湖高新区 8） 已知函数若的最小值为则实数a的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
由则当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且
由在上递减，在上递增，
又的最小值为故且
综上，.
故选：A
练习 3 （2025 台州十校联盟 8） 如图，抛物线的对称轴是直线下列结论：（1）（2）（3）（4）正确的有 （ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
思路分析 结合二次函数的图象与性质求得正确答案.
根据图象可知（1）错误.
图象与轴有两个交点，（2）正确.
当时，（3）正确.
当时，当时，.
两式相加得而所以（4）正确.
所以正确的有个.
故选：B
练习 4 （2025 常州金坛一中 14） 已知函数满足：对任意当时，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
思路分析 根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围.
依题意，对任意当时，都有
所以在上单调递增，所以
解得所以实数的取值范围为.
故答案为：
练习 5 （2025 西南大学附中 14） 若定义在区间上的函数值域也为则实数的取值范围是 .
思路分析 由函数单调性，确定转化为换元后得到由的范围求出m的取值范围.
函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域也为
故①，②，
②①得.
因为所以
即③
将③代入②，
令得
又故
∵所以
∴
故实数k的取值范围为
故答案为：
练习 6 （2025 南安龙泉中学 14） 已知函数则使不等式成立的的取值范围是 .
思路分析 由分段函数的解析式分三种情况讨论可得.
因为所以所以
当时，不符合题意；
当时，
当时，即
综上的取值范围是.
故答案为：.
微专题 5 函数的性质：奇偶、单调、对称、周期
模块导学
函数的性质：奇偶、单调、对称、周期
这一讲的压轴题有一个共同特征：题目不给你解析式。给的是「」这样的抽象关系，或者「 是奇函数」这样的对称性描述。所有的解题动作都归结为两步：先把条件赋值成具体的函数值或奇偶性，再把函数值的大小关系翻译成自变量的大小关系。
知识梳理
知识点 1 奇偶性求参与解不等式（重点）
① 由奇偶性求参数：奇函数用 （定义域含 时）或 恒成立；偶函数用 恒成立，比较系数。
② 解 先用奇偶性把 变成 再用单调性脱去 得到 「脱 」的依据是单调性，不是想当然。
③ 定义域有限制时（如 ），脱 后必须补上「两个自变量都落在定义域内」的不等式组。
④ 含「存在 使不等式成立」的，先把不等式化成 的形式，再令 的最小值小于零（存在性）或最大值小于零（恒成立）。
易错 脱 时忘记定义域限制。 只写成 是不够的，还要
知识梳理
知识点 2 抽象函数的赋值法（难点）
① 赋值顺序固定：先令 或 求 再令 求奇偶性；最后用 时 判单调。
② 遇到 这种带余项的，先构造 把余项吸掉， 就满足标准形式。
③ 遇到 定义域一般是 赋值用 与
④ 单调性判定的标准写法：设 则 由已知符号定出大小。
注意 题目给的「当 时 」是判单调的依据，不能直接用，必须通过「设 把差写成 」这一步转过去。
知识梳理
知识点 3 对称性与周期性（难点）
① 三条互译公式： 为奇函数 图象关于 对称； 为偶函数 图象关于 对称； 周期为
② 两个对称中心（或一个中心一个轴）可以推出周期：两个对称中心距离为 时周期为 一轴一中心距离为 时周期为
③ 由 这类式子，先把它化成 （令 ），立刻看出是奇函数关于原点对称。
④ 求 这类大数，一律先找周期把自变量降下来，再用已知区间的解析式求值。
易错 把「 为偶函数」当成「 是偶函数」。前者是图象关于 对称，后者关于 轴对称，两者差一个平移。
知识梳理
知识点 4 单调性定义的等价变形（重点）
① （） 在区间上递增； 递减。这是单调性定义的「商形式」。
② 出现 时，构造 条件变成「 递增」。
③ 出现 直接就是递增；把不等号反向、或把两个因式交换位置，结论随之改变。
④ 这类条件常与奇偶性合用：先由奇偶性把 化成 再用单调性比较 与
注意 条件里给出的是 上的单调性时， 上的情况要借奇偶性推出，不能直接把整个 当成单调区间。
题型 1 单调性定义的等价变形
例 46 （2025 云师大附中 8） 设奇函数的定义域为对任意的且都有不等式且则不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据给定条件，构造函数利用函数单调性定义确定在的单调性，再结合奇偶性求解不等式.
设函数由为上的奇函数，得
则函数是上的偶函数，又
依题意，对任意的且都有
则函数在上单调递增，由得
不等式
则或于是或
解得或所以原不等式的解集为.
故选：D
例 47 （2025 河南九师联盟 8） 已知定义在上的函数满足对都有若则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于即可解出.
由得
令则因此函数在上单调递增，
由得
由得
即则解得
所以原不等式的解集为.
故选：C
例 48 （2024 泉州六中 11） 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①②当时，都有③则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若则
C．若则
D．使得对恒成立
思路分析 由已知可判断函数的奇偶性与单调性，进而判断各选项.
由已知且当时，都有
则函数为上的偶函数，且当时函数单调递增，
则当时函数单调递减，
所以A选项错误；
且若则解得B选项错误；
又所以又函数的图象是连续不断的，
所以当时，当时，当时，
所以的解集为C选项正确；
由函数图象连续不断及函数的单调性可知，当时，取最小值，
所以当时，恒成立，D选项正确；
故选：CD.
题型 2 对称性与周期性的互译
例 49 （2024 南通海门实验 8） 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若则 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据题意，推得函数的周期为 ，令得到且进而求得再由即可求解.
由为奇函数，则即
又由为偶函数，可得即
可得即所以
所以函数是以为周期的周期函数，
因为且
令可得且
又因为即即
因为时，可得解得
再令可得即所以可得
所以则.
故选：B.
例 50 （2023 学军紫金港 12） 定义在上的函数满足为偶函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 由已知条件得到函数的奇偶性和对称性，对选项进行验证.
由令则有
即为奇函数，
由为偶函数，的对称轴为得故B选项正确；
则有可得
即有
所以是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），C选项正确；
故A选项错误；
已知条件不能得到的值，D选项错误．
故选：BC
例 51 （2024 长沙长郡中学 14） 已知函数的定义域为为偶函数，对任意的当时，则关于的不等式的解集为 .（用区间表示）
思路分析 由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集.
为偶函数，其图象关于轴对称，
的图象关于直线对称.
又当时，
在上单调递增，
故不等式可等价为
即
当时，不等式可化为即无解，
当时，不等式可化为即
即所以解得.
故答案为：.
题型 3 奇偶性求参与解不等式
例 52 （2025 河南实验中学 18） 已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围．
思路分析 （1）根据题意可得求解即可；
（2）由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，再设根据二次不等式恒成立问题列式即可.
（1）在上为奇函数，故即解得故.
又 解得.
故.
（2）
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，
又在上单调递减；
该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设则对于任意恒成立；
设△
应满足：
解得
的取值范围为．
例 53 （2024 重庆南开中学 18） 已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性；
(3)记函数的最大值为最小值为当时，求实数的值.
思路分析 （1）根据求出的值，再代入检验即可；
（2）由（1）可得再根据单调性的定义证明即可；
（3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然再分两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可.
（1）因是上的奇函数，故
当时，满足题意.
综上知，.
（2）由（1）知则在上单调递减，
下面用定义证明：
任取且
则
因为故所以即
所以在上单调递减.
（3）由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增，
显然
当时，在和上单调递减，在上单调递增，
故
于是有解得舍去；
当时，在单调递增，
于是有整理得
即解得或或（舍去）.
综上，实数的值为或.
例 54 （2025 南宁三中 19） 已知定义在上的奇函数.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 若存在使不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知函数满足且规定若对任意不等式恒成立，求实数的最大值.
思路分析 （Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值求解然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将等价转化为有解，即求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据解出代入得到解析式令（），则利用基本不等式求最值求出.
（Ⅰ）是上的奇函数，,
,
当时，,
此时 是奇函数成立.
；
（Ⅱ）任取且
,
上为减函数.
若存在使不等式有解，则有解
当时， ,
（Ⅲ）,
,
,
且也适合,
,
任意不等式恒成立,
,
令
令,
任取且
当时，上为增函数.
当时，上为减函数.
时即,
,
,
,
且,
同理在上是增函数，在上是减函数.
时 ,的最大值为6.
题型 4 抽象函数的赋值法
例 55 （2025 辽宁实验中学 19） 定义在上的函数满足：对任意非零实数．
(1)证明：为偶函数；
(2)若且当时，．
（i）证明：在上单调递增；
（ii）若在上恒成立，求正实数的取值范围．
思路分析 （1）对题干等式进行赋值，证明即可证明；
（2）（i）用定义法证明函数单调性；
（ii）根据推出再结合得到不等式 根据单调性可知进行参数分离，得到利用换元求出的最小值，即可解出答案.
（1）（1）的定义域是
由知，
故于是为偶函数．
（2）（i）
由知
又当时，故
故即
则在上单调递增．
（ii）由题，
由及得
由（i）知在上单调递增，
于是
则
则
令
当且仅当时等号成立，
则
当时，即时，
则即．
则正实数的取值范围是．
例 56 （2025 南师附中 19） 已知函数满足对任意都有.
(1)求的值；
(2)若为偶函数，求
(3)若求的整数解.
思路分析 （1）令即可求解；
（2）令可得利用偶函数性质即可求解；
（3）令可得令可得利用累加法即可得到的解析式，从而求得的整数解.
（1）令得即
（2）令得即
因为是偶函数，所以有即有可得
（3）令得因为已知所以
令得即
所以
……
累加得即有
因此的整数解为或.
例 57 （2024 厦泉五校联考 19） 若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有当时，且．
(1)求证:为奇函数；
(2)求在上的最小值；
(3)若不等式:恒成立，求a的取值范围；
思路分析 （1）令可得出的值，令结合函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为根据题意计算出的值即可得解；
（3）将所求不等式变形为利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围.
（1）略
（2）任取则因为当时，则
由（1）知，即
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为
因为
所以即在上的最小值为.
（3）由（2）可求
所以
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有所以a的取值范围为.
课后巩固 共 6 题
练习 1 （2025 宁波六校 8） 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 构造函数其中分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出然后将所求不等式转化为解之即可.
构造函数其中则
故函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设则
则即
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为则
当时，由得即解得
当时，由得即解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B
练习 2 （2024 江阴成化中学 14） 已知是定义在上的奇函数，对任意都有且.对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是 .
思路分析 根据题设条件，先判断函数的单调性，再利用奇函数，将抽象不等式进行等价转化成闭区间上的恒成立问题来解决.
不妨设则
,故为上的减函数，
又是定义在上的奇函数，
故由可得
因函数在上为减函数，可得在上恒成立，
故得
因在为减函数，为增函数.
所以在为增函数，为减函数，
所以在恒成立因
则时，故.
故答案为：.
首先要根据题设条件判断函数的单调性，运用奇函数，将抽象不等式去掉“”，从而等价转化成闭区间上的恒成立问题，通过参变分离法求出参数范围.
练习 3 （2025 大连滨城联盟 18） 已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．
(1)证明：
(2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，．设．
①证明：
②已知求在上的最小值．
思路分析 （1）令即可证明.
（2）①根据已知条件得到再根据即可证明.②根据题意得到再分类讨论求解最值即可.
（1）令得．
（2）①因为且
所以
．
②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，
又结合题目条件可知，．
又所以．
从而．
的对称轴为．
当时，在上单调递减，
所以，当时，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，
综上，当时，取最小值当时，取最小值．
练习 4 （2025 山东实验中学 18） 已知函数是奇函数．
(1)求的值：
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最大值和最小值；
(3)若函数满足不等式求出的范围．
思路分析 （1）根据奇函数的定义可求得的值；
（2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取且作差因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由变形得出结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
（1）因为在上是奇函数，则
即可得解得故.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
任取且
则
因为所以则
所以即
所以是区间上的增函数，
所以函数的最小值为最大值为.
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由可得
所以解得故实数的取值范围是.
练习 5 （2024 杭师大附中 18） 已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
思路分析 （1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
（1）由于奇函数在处有定义，所以
.
经检验符合题意；
（2）略
（3）由（2）知
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以解得或,
所以的取值范围为.
练习 6 （2025 杭四下沙 18） 已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围．
思路分析 （1）利用奇函数的性质可得答案；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）利用奇函数的性质以及单调性把不等式转化成关于的一元二次不等式能成立问题，分离变量，结合基本不等式可得答案.
（1）根据奇函数的性质，对于定义域为的函数，
则必有
解得：.
当则函数解析式为
故为定义域为的奇函数.
综上：.
（2）略
（3）由
得：
因为是奇函数，所以
代入得：.
由(2)知，在上是减函数，
从而有：
即
由于即
因此：
令
由题意得：
因为
所以由基本不等式得：
当且仅当即时取等号，
又因为
所以
所以即.
因此，实数的取值范围是.
微专题 6 指数对数、零点与新定义函数
模块导学
指数对数、零点与新定义函数
这一讲是整册的收口。前三节是把指数对数当运算工具（比较大小、复合单调），第四节把「零点」当图象问题（看交点个数），最后一节是这几年期中卷最偏爱的题型——新定义：高斯函数、不动点、 倍区间、局部奇函数。它们的共同解法只有一条：把定义里的每个词翻译成方程或不等式，再用限定词（存在 / 任意 / 唯一）筛解。
知识梳理
知识点 1 指对运算与比较大小（重点）
① 比较大小三步：先看能否化成同底（用换底公式 ），同底用单调性；同底不了就找中间量 还不行就构造函数比。
② 含 这类指数方程，令 化成一元二次方程，解出后别忘了 的取舍。
③ 幂指混合的方程（如 ），先两边同除 把指数化成比值，再试 这类特殊值，最后用单调性说明唯一。
④ 图象过定点、渐近线这类条件，直接把点坐标代入求参数；「无限接近 但不交」说明 是水平渐近线。
易错 比较 与 时，先化同底（）再比，直接估算容易出错。
知识梳理
知识点 2 复合函数的单调性（重点）
① 复合函数 的单调性遵循「同增异减」，但前提是先求定义域：内层必须让外层有意义。
② 外层是 时， 与 的单调性相反，讨论时必须分 的两段。
③ 内层是二次式时，对称轴把定义域切成两块，两侧单调性相反；「在 上递增」这类条件要转成「对称轴在区间右侧（或左侧）」。
④ 「值域为 」与「在区间上单调」是两个独立条件，必须同时满足，不能只用一个。
易错 只按「同增异减」判断，忘了内层必须取遍外层定义域。 值域为 要求 不是
知识梳理
知识点 3 零点与方程根的个数（难点）
① 方程 的根的个数 = 直线 与 图象交点的个数。含绝对值、分段函数的这类题一律画图。
② 带绝对值的二次式先画 的图象，再把 轴下方的部分翻折上去，四个交点对应的 范围就在「翻折后的极大值」与「原顶点纵坐标的绝对值」之间。
③ 复合方程 先解出 再数每个 对应的 个数，最后求和。
④ 「有三个不等实根」这类条件，把第三个根的位置翻译成对参数的约束，常常等价于「直线与某一段相切」或「经过某个端点」。
注意 分段函数在分界点处的取值要单独代入，图象在分界点是否连续、是否有跳跃，直接决定交点个数。
知识梳理
知识点 4 新定义函数：翻译与筛解（难点）
① 新定义题的固定流程：读定义（圈出「存在」「任意」「唯一」）→ 写等式（把定义写成方程）→ 定范围（由定义域、值域限制）→ 筛解（舍去不满足的）。
② 高斯函数 （不超过 的最大整数）：核心不等式是 一切性质都由它推出。
③ 不动点（）：把方程解出来即可；「稳定点」（）要先解 再解 （ 为不动点）。
④ 倍区间、平稳函数（）这类，先把「区间上单调」与「值域等于 倍区间」两个条件分开写，再联立。
⑤ 新定义的判断型选择题（「以下说法正确的是」），逐条代入验证，举反例是最快的排除法。
易错 新定义里「存在」与「任意」看反。 使 只要求方程有解； 都满足则要求恒成立，两者的参数范围完全不同。
题型 1 指对运算与比较大小
例 58 （2025 杭师大附中 8） 已知则 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据对数的运算性质，可判断a，b的大小，令根据求根公式，可得t值，分析t的大小，比较即可得答案.
由题意
因为在上单调递增，
所以
令则
由题意解得（负值舍去），
因为且
所以即
所以即.
例 59 （2025 长沙雅礼中学 8） 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有 （ ）
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
思路分析 根据函数图象的性质得进而有时结合基本不等式求最值即可.
由题设且则
所以则时，
所以令则
当且仅当时取等号，故最大值为.
故选：B
例 60 （2025 长沙长郡中学 14） 方程的正实数解为 ．
思路分析 先证明然后将等式进行化简求出结果即可.
令两边同时取对数得
所以所以.
所以对于有.
化简得.
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又
所以解得.
故答案为：.
题型 2 复合函数的单调性
例 61 （2025 湖南师大附中 8） 若函数的值域为且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解.
由函数的值域为得函数的值域包含
则函数的图象与轴有交点，即方程有实根，
因此解得或
由函数在上单调递增，而函数是减函数，
则函数在上单调递减且恒为正，则有
解得
所以实数的取值范围是.
故选：A
例 62 （2025 河南九师联盟 11） 已知函数则 （ ）
A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值
C．在上单调递增 D．的图象恒过定点
思路分析 由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D.
A,当时，定义域为
因为
所以为偶函数，A正确；
B，因为
所以
则有最大值，没有最小值，B错误；
C，因为在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；
D，当时，
所以的图象恒过定点D正确.
故选：ACD.
例 63 （2025 嘉兴八校联盟 14） 已知函数若则的取值范围是 ．
思路分析 先讨论当时，不等式转化为确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论.
当时，不等式为即
因为所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以所以
由于则当时，函数在上单调递减，
所以解得所以
综上，的取值范围是.
故答案为：.
题型 3 零点与方程根的个数
例 64 （2024 大连二十四中 11） 关于的方程以下说法正确的是 （ ）
A．存在实数使得方程恰有3个不同的实根
B．存在实数使得方程恰有5个不同的实根
C．存在实数使得方程恰有6个不同的实根
D．不存在实数使得方程恰有7个不同的实根
思路分析 将方程化为然后采用换元法变形为将问题转化为的函数图象交点个数问题，通过对分类讨论从而判断出正确选项.
将化为
令则
在同一平面直角坐标系中作出的函数图象，如下图所示：
（1）当时，即解得
令解得令解得令解得
所以此时有个不同实根；
（2）当时，即此时图象有个不同交点，设交点横坐标为
令解得因为所以无解，
所以此时共有个不同实根；
（3）当时，即此时图象有个不同交点，设交点横坐标为
令解得令解得
所以此时有个不同实根；
（4）当时，即此时图象有个不同交点，设交点横坐标为且
令解得令解得
令解得令解得
所以此时有个不同实根；
（5）当时，即此时两图象无交点，所以方程无解；
综上可知，BD选项正确，
故选：BD.
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
例 65 （2025 昆明一中 14） 已知函数若存在实数使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 .
思路分析 作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案.
作出函数图象，如图：
方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，
所以.
故答案为：
例 66 （2025 宁波六校 14） 设若有不相等的实数满足则的取值范围是 .
思路分析 根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到从而得解.
对于
当时，则
当时，则且当时，
当时，则
且当时，当时，；
作出函数的图象，如图，
不妨设因为则
由得则
由得即
则.
故答案为：.
题型 4 新定义函数：不动点、取整与 k 倍区间
例 67 （2024 广州育才中学 12） 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数则下列说法错误的是 （ ）
A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值
C． D．在上是增函数
思路分析 根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可．
因为
画出的图象如下：
A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；
B选项，无最大值，有最小值0，B错误；
C选项，因为
故
因为
所以故C正确；
D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误.
故选：ABD
例 68 （2025 杭州绿城育华 19） 对于定义在上的函数若使得成立，则称为函数的不动点．
(1)若求的不动点；
(2)对于二次函数．
（i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围；
（ii）若函数有两个不相等的不动点且求的最小值．
思路分析 （1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可；
（2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可；
（ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可.
（1）
则不动点满足即
整理得
因为所以
当时，解得满足；
当时，无解，
所以的不动点为.
（2）（i）
当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解，
即函数在上只有一个零点，
当时，满足要求；
当即时，解得或
时，在上只有一个零点1，
时，在上只有一个零点1，
所以的取值范围为.
（ii）令整理得
则 ，解得
令
则
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
（1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素；
（2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负.
例 69 （2025 云师大附中 19） 若函数Q在上的最大值记为最小值记为且满足则称函数Q是在上的“平稳函数”．
(1)函数①②③其中函数 是在上的“平稳函数”（填序号）；
(2)已知函数．
①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值；
②已知函数若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数使得求的值．
思路分析 （1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可；
（2）①求出二次函数的对称轴，然后分和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；
②由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出然后由为整数可求出再由列方程可求出.
（1）对于①在上单调递增
当时，当时，
∴符合题意；
对于②在上单调递增
当时，当时，
∴不符合题意；
对于③在上单调递增
当时，当时，
∴不符合题意；
故①是在上的“平稳函数”；
（2）①二次函数为对称轴为直线
在上单调递增，在上单调递减，
当
当时，
当时，．
若在上单调递增，
则解得（舍去）；
若在上单调递减，在上单调递增，
则解得（舍去），
若在上单调递减，在上单调递增，
则解得（舍去）；
若在上单调递减，
则解得（舍去）．
综上所述，或
②易知，二次函数对称轴为直线
又且
当时，在上单调递增
当时取得最大值，时取得最小值，
∴
为整数，且
即的值为5，
又∵
．
课后巩固 共 7 题
练习 1 （2023 学军紫金港 8） 已知函数若对于使得成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 探讨函数的性质，并用表示出再把问题转化为在上的最大值大于在上的最大值求解即得.
由得
则
设且
即因此函数在单调递增，
当时，
由于使得成立，即
又于是函数在上的最大值大于5，
当时，令
当时，若则显然无解，
若则显然无解，
若则显然无解，
当时，不符合题意，
当时，成立，则
所以的取值范围为.
故选：B.
练习 2 （2024 三明二中A卷 8） 已知函数若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
思路分析 作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围.
当时，
由可得或
由题意可知，关于的方程共有五个根，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则.
故选：B.
练习 3 （2024 南通海门实验 11） 定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是 （ ）
A．若则
B．若则
C．是上的奇函数
D．若则
思路分析 根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得.
由表示不小于的最小整数，得且即
对于A，由得即A错误；
对于B，由得则或
当时，当时，因此B正确；
对于C，函数的定义域为而即
因此函数不是上的奇函数，C错误；
对于D，令则即
因此即D正确.
故选：BD
练习 4 （2024 杭州学军中学 14） 已知函数若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 .
思路分析 根据题意，可得方程在上有解，代入化简整理，令换元得在时有解，结合二次函数的图像性质，对的取值进行分类讨论，即可求解.
已知函数由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以在上有非零解，
即在上有解，
即在上有解，
令当且仅当即时，等号成立，
则在时有解，
令其对称轴为
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
则解得
②当时，在上单调递增，
则解得.
综上所述，实数的取值范围为.
经检验时,不合题意，
故答案为：
练习 5 （2025 长沙一中 14） 若若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 .
思路分析 对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果.
当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意；
当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意；
若如下图，均可找到实数使得在上有三个实数解，
所以实数的取值范围是.
故选：
练习 6 （2025 大连二十四中 14） 函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是 .
思路分析 先由零点定义结合求得再逐一分析取值得有6个零点，再根据的定义，解不等式即可.
令则有即
又因为表示不超过的最大整数，所以
从而得
由可得由可得
所以
当时，则当满足
当时，则当满足
当时，则当满足
当时，则当满足
当时，则当满足
当时，则当满足
因为
所以当或均不满足题意；
所以的值只能取即有个零点，所以
所以不等式即为
即解得即
当时，
当时，
当时，
当时，
所以不等式的解集.
故答案为：
练习 7 （2025 杭四下沙 19） 对于函数若在定义域内存在实数x，满足称为“局部奇函数”．
（1）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．
（2）记．
（i）若是“局部奇函数”，求实数k的取值范围．
（ii）记若对定义域中的任意实数x，恒有求的最大值．
思路分析 1）转化为有解的问题；
（2）（i）通过换元转化为方程有解问题，（ii）通过换元转化为线性规划问题.
（1）由题知有解，即 有解
即有解，所以
所以实数a的取值范围为.
（2）
（i）由题知有解
令则
即
即
令则
方程化为即
若则方程无解.
故问题转化求在上的值域.
由单调性易知
所以实数k的取值范围为
（ii）由题知
恒成立即 恒成立，令 则
即恒成立，令 为的一次函数
所以只需即 即
画出可行域即
令即当直线过点时， 取得最大值.
所以的最大值为.
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