31 2026年高考数学全国1卷第18题的探索与思考-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

2026年高考数学全国I ■无锡市立人高 2026年高考数学全国I卷延续了反 机械刷题、反固化套路、立足课标夯实基 础、聚焦高阶思维考查的命题风格。极 具代表性的是第18题，设问分层、梯度 清晰，考查由浅入深、层层递进，既考查 椭圆基本量、直曲联立、韦达定理等基础 通法，又结合图形对称、面积比例约束、 夹角正切最值等综合情境，重点考查同 学们的几何分析与模型建构能力。解 析几何压轴题融合多重条件，而同学们 普遍存在几何切入点不准、代数运算烦 琐、解题思路固化等问题。基于此，下面 结合课标要求，通过多种解法对比探究， 立足通性通法、坚持先析后算，帮助同学 们优化解题思维，消除解压轴题的畏难 心理，落实逻辑推理、数学运算等数学核 心素养的培养要求。 一、试题呈现 例1(2026年全国I卷第18 、题)已知椭圆C2大 62 =1(a>b>0) 的左焦点为F(一1,0)，离心率为 2。 (1)求C的方程。 (2)如图1，设 O为坐标原点，过 F且斜率大于0 的动直线l与C 交于P,Q两点， 其中Q在第三象 图1 限，直线PO与C 命题研究 卷第18题的探素索与思考 级中学 耿肖肖 的另一个交点为R。 (i)若△PQR的面积是△PFO的 面积的3倍，求1的方程； (ii)求tan∠PQR的最小值。 二、试题分析 1.第(1)问分析与基础求解 该问比较基础，命题定位清晰，以 椭圆的基本性质为载体，考查同学们对 椭圆标准方程中a,b,c的关系，以及 离心率等必备基础知识的掌握程度。 解析：由题意知c=1,离心率e= 后-号则a=2.由=+c,得0 一6，做C的方整为+号-1 2.第(2)()问分析与多元解法 该问属于中档题，解题的关键在于 三角形面积比的转化。限定直线过左 焦点、斜率大于0、Q在第三象限，缩小 参数范围，避免多解混乱，控制运算复 杂度，让大多数同学可完整求解。 解析：设P(x1,y1)(y1>0), Q(x2y2)(x2<0,y2<0),其中x1> x2。根据椭圆的对称性，易知原点O 为线段PR的中点，则点R(一x1, -y1),IPR|=2|PO。 角度一：直曲联立 解法1：设直线1的点斜式方程为 y=k(x+1)(k>0)。 y=k(x十1)， 埃立xy2 消去y得： 31， 31 命题研究 (3+4k2)x2+8k2x+4k2一12= 0,△=144(k2+1)>0。 由韦达定理得x1十x2= 8k2 4k2-12 3+4h22x1x2= 3+4k2 易知SAPm-}1OF1X1y11- 2 1 k(x1+1) 2y1 2 ,S△PQR=2S△POQ= 2分1+)=1-：=1 x2)。 又S△POR=3S△PF0,故k(x1-x2) k(x1+1) =3X 2 ,即x1十2x2=-3。 8k2 x1十x2= 3+4k2, 的 4k2-12 得k2= x12- 3+4k2, x1+2x2=-3, 所以1：y= -(x+1), 2 即5x-2y+√5=0。 解法2：设直线1的横截式方程为 x=my-1(m>0)。 x=my-1, 消去x得： 4+3 =1, (3m2+4)y2-6my-9=0,△= 144(m2+1)>0。 6m 则y1+y2= 3m2+4’y1y2= -9 3m2+4 32 1 同解法1得S△PpD=2y1,S△Pas =y1一y2。故y1一y2=3×2y1,即 y1=-2y2。 6m y1十y2= 3m2+4 4 由 -9 得m2= y1y2= 5 3m2+4 y1=-2y2, 故m= 2 2 5 所以1：x= y-1,即5x -2y+5=0。 评注：直曲联立是处理解析几何问 题的通性通法，适配绝大多数直线与圆 锥曲线相交问题。比较两种设线方式， 显然横截式直接将面积比转化为纵坐 标比，方程更简洁，运算量明显小于点 斜式。这里对面积比的处理，可以更简 洁些，具体过程如下： PQIPRIsin∠Q S△PQR S△PFO PFPOIsin /QPR 2PQ PF =3→ PF 所以 PQI 3 PF F =2(*),则FP=2QF。FP=(x1十 1,y1),QF=(-1-x2,-y2),故 x1+1=2X(-1-x2), y1=2X(-y2)。 x1十2x2=-3, 整理得 (￥兴) y1=-2y2o 此处的结论在后文中可直接使用， 不再重复证明。 角度二：椭圆第二定义/焦半径 解法3：左准线：x=一4。由椭圆 PF 的第二定义，可得 1x1-(-4) 12:-(-47-e,则/PF11Qr1 IQF x1+4x2+4 由()式得|P℉|=2|QFI,故 x1十4=2(x2十4)，即x1-2x2=4。与 (**)式中x1十2x2=一3联立，解得 =代入+=1，得-3或 3舍去放点P日3.直线 035 l的斜率kpF= 4 2。 所以1：y 1 一1一2 2（x+1),即，5x-2y+5=0。 解法4：|PF|=√(x1十1)2+y= ,+12+8x0-=2+21 同理，QF|=2+ 2x20 由(*)式知|PF|=2|QF|,所以 2+x=2×2+7小，即x1-2a: =4。后续同解法3。（在小题中， |PF|和QF的值，也可利用椭圆焦半 径的二级结论：PF1l=a十exo,PF2 =a一exo,其中F1、F2分别是椭圆的 左、右焦点，xo是点P的横坐标) 解法5：设∠Pr0=0,0∈o,)。根 命题研究 据椭圆焦半径结论：PF|= b2 b2 0 1-ecos 0 QFI= 1+ecos 0 （证明 3 略)，得|PF|= 2-cos 0'I QFI= 3 2+cos0° 由（￥）式知|PF|= 3 21QF1,所以2-Cos9=2× 2+cos 0' 解得cos9二故飞p=an26 2。 所以l:y= √5 (x+1),即5x 2y+√5=0。 解法6：设∠PF0=0,9∈(0，，利用 焦比定理|ecos0|= 入-1 λ+1 (证明略)。 1PF 本题中cos0>0,e= 2'TQF =2,故入 =2,所以2c0s0 引-解得 0s0三3。后续同解法5 评注：本题1过椭圆左焦点，PQ 构成焦，点弦，契合焦半径公式的使用场 景。椭圆第二定义是焦半径的理论源 头，能直接把焦点到椭圆上点的距离转 化为点的横坐标的表达式，结合面积比 快速建立P、Q横坐标的关系，大大减 少计算量，运算过程简洁明了。 3.第(2)(ii)问分析与多元解法 该问研究动直线变化下夹角正切 的最小值，侧重几何特征挖掘、多模块 33 命题研究 知识融合。该问整体难度平缓上升，贴 合新高考解析几何“重思维策略、轻机 械运算”的命题导向。 角度一：到角公式 解法1：（韦达定理）设1的斜率为 k,则kQ=k(k>0)。在第(i)问中，点 斜式方程与椭圆方程联立，得x1十x2= 8k2 3+46,则kom= 二y1一y2=y1+y2 一x1一x2x1十x2 k(x1十x2十2)= x1十x2 4k。故tan∠PQR 之 kPQ一koR 1十+kPQ·kaR 3、 46+爱≥4，当卫仪当=及即 R时取等号，所以1an乙PQR的 最小值为4√3。（横截式方程求解过程 与之类似，请自行求解) 解法2：（点差法）k0=y1一y2 x1一x2 ko=二1二g-1十。由点P,Q 一x1一x2x1十x2 + 1， 都在椭圆上，得 两式相减 =1。 可得 x1-x号 y1-y2 4 3 =0, 即 (x1+x2)(x1一x2) 4 _y+y)-2),整理得-· 3 x1-x2 34 y+y2=- 3 3 x1十x2 即k0·6o= 4 kPQ一kQR tan ∠PQR = 1十kPQ·kQR kPQ一 3 Ak PQ 3 1+(》 43,当且仅当kPQ=4k 3,即kp阳= √3 时取等号，故an∠PQR的最小值 为43。（在小题中，由椭圆第三定义 直接得kQ·kak=一2） a 评注：两种解法都得到了两条直线 的斜率关系，但点差法明显弱化了对直 线的依赖，从椭圆本身的几何性质切 入，推导更简洁。到角公式是解析几何 中处理直线定向旋转、定角问题的常用 方法，将角的正切值转化为直线斜率的 运算，仅需关注两条直线的斜率关系。 角度二：拆角法 解法3：设直线PQ的倾斜角为α， 直线QR的倾斜角为B。则∠PQR= a+(π-B)=π+(a-3),故tan∠PQR =tan[π十(a-β)]=tan(a-B)= tan a-tan B l+tana·tang。lana=kpa(ko> 0),tanB=kQR。由解法2得kra·koR 。 所以tan∠PQR= tan a-tan B krQ一kQR 1+tana·tan3 1十kPQ·kQR kPQ一 1+(-) 4W3,当且仅当ko= 时，取等号，故 tan∠PQR的最小值为43。 评注：拆角法最突出的优势就是回 归教材，依靠几何图形直观拆角，摆脱 对到角公式的记忆与依赖，用熟悉的三 角函数主干知识完成角度建模，公式运 用的难度和出错率更低。 三、一些思考 1.坚持“三回归”导向，锚定科学备 考本源 新高考命题立足课标、依托教材、 源于真题，弱化套路技巧，重视素养能 力。解析几何学习需坚持回归课标、回 归教材、回归真题。以课标明确考查要 求，以教材深挖通性通法与模型本源， 以真题把握命题规律与设问趋势，摒弃 (上接第30页) (2)求直线1被圆C截得的最短弦 长。 18.(本小题17分)已知A(5,0), B(4,4√3)，O为坐标原点。 (1)求直线AB的方程，并求线段 AB中垂线的方程； (2)求△OAB的周长与面积： (3)求△OAB的外接圆方程与内 切圆方程。 19.(本小题17分)已知圆C1:x2 命题研究 题海战术，构建精准高效的备考体系。 2.聚焦精细化审题，健全规范解题 机制 审题不细、信息挖掘不足、盲目运算， 是同学们解析几何解题失分的主要原因。 大家一定要纠正重计算、轻分析的惯性， 建立先分析条件、再研判思路、后规范运 算的解题流程。通过常态化审题训练，挖 掘图形隐含条件与几何约束，规避解题疏 漏，提升解题的严谨度与准确率。 3.立足通性通法，依托变式赋能思 维进阶 新高考坚持反套路、重素养、强迁 移的考查导向。同学们平时学习时，要 弱化解题技巧，重视方法原理推导，杜 绝死记二级结论。通过一题多解、多题 归一与梯度变式训练，归纳通用解题模 型，消除畏难心理，稳步提升数学核心 素养，从而实现解题能力与思维品质的 进阶。 （责任编辑徐利杰) 十y2=4,点P在圆C1上运动，Q(4, 0),且M为动线段PQ的中点。 (1)求点M的轨迹C2的方程； (2)已知点N(3,一2)，求过点N 且与曲线C2相切的直线方程； 《3)过完点s停-)的动直线 与曲线C2交于A,B两点，且A,B, C2三点不共线，求△ABC2面积的最 大值。 （责任编辑赵倩)》 35