“直线和圆的方程”易错点练习&“直线和圆的方程”检测题-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

学以致用 “直线和圆的方程”易错点练习 ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 1.过点A(2,1),B(m,3)的直线 A.(x+5)+y2=4 的倾斜角。的取值范同是（任，），则 B.x2+(y-5)2=16 C.(x-5)2+y2=4 实数m的取值范围是( D.(x-5)2+y2=16 A.0<m≤2 6.(多选题)已知三条直线l1:2x B.0<m<4 +y-3=0,l2:x-2y-4=0,l3:x+ C.2≤m<4 D.0<m<2或2<m<4 ay一1=0共有两个不同的交点，则a 2.过点P(2,4)且在x轴，y轴的 的值可能是( )。 截距相等的直线方程是 A.-2 B.- 1 3.已知直线l1:x十ay十6=0与 直线l2:(a-2)x+3y+2a=0平行， c D.2 则实数a的值为()。 7.设a∈R,若关于x的方程ax十 A.-1 B.0 C.3 D.-1或3 4=√4一x2+2a有两个不相等的实根 4.已知a是实数，则“0<a<1”是 x1,x2,则a的取值范围是 “方程x2+y2-2ax+2a2-1=0表示 8.已知以C(4,一3)为圆心的圆与 圆”的()。 圆O:x2+y2=1相切，则圆C的方程 A.充分不必要条件 是 。 B.必要不充分条件 参考答案 C.充要条件 98 D.既不充分也不必要条件 =(+)+:(b-x)▣9I=(+0)+,(b 5.若点P(x,y)到两定点A(-3, -'sv9 a's v 0)和B(3,0)的距离之比等于2，则动 VE0=9-+w忆=(71 点P的轨迹方程是( )。 (责任编辑赵倩) 28 学以致用 “直线和圆的方程”检测题 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 一、单选题（本题共8小题，每小题 为( )。 5分，共40分。在每小题给出的四个 A.（-4,+∞) 选项中，只有一项是符合题目要求的) B.(-c∞，4) 1.直线3x一√3y+3=0的倾斜角 C.(-4,0)U(0,+∞) 为( ）。 D.(-∞，-4) 6.设点A(-2,3),B(3,2),若直 A骨 线-ax+y+2=0与线段AB没有交 c号 5π 点，则实数a的取值范围是( )。 D.6 2.已知直线l1:x-ay-1=0与 A(m,引u3+ 12:2x十y=5平行，则两直线间的距离 为( ）。 A.√5 B.3√5 c(g引 c 3√5 D.5 n-》 3.直线l1:(a+2)x+2ay-1=0 7.已知圆C1:x2+y2-4y+3=0 和直线l2:ax-2y十3=0，则“a=2”是 与圆C2:(x-3)2+(y+2)2=a2(a> “L1⊥12”的( )。 0)有且仅有三条公切线，则a= A.必要不充分条件 ()。 B.充分不必要条件 A.2 B.3C.4 D.5 C.充要条件 8.已知圆C:x2+y2=1,定点 D.既不充分也不必要条件 B(3,0),点A为圆C上任意一点，若 4.圆x2+y2+4x-2y+1=0关 点P满足AP=2PB,则|PC|的取值 于直线ax-by+2=0(a>0,b>0)对 范围为( )。 称，则上+的数小值为 )。 A 57 [1719 3'3 B.99 A.2 B.3+2√2 C.[2,4] D.[1,3] C.4 D.8 二、多选题（本题共3小题，每小题 5.若点P(2,1)在圆x2+y2+ax 6分，共18分。在每小题给出的四个 +2y+1=0外，则实数a的取值范围 选项中，有多项符合题目要求。全部选 29 学以致用 对的得6分，部分选对的得部分分，有 离为√2的点P至少有3个，则-1≤k 选错的得0分) ≤1 9.对于直线l:2mx+y+m-1= 三、填空题（本题共3小题，每小题 0,下列说法正确的是( )。 5分，共15分) A.直线1的斜率有可能不存在 12.已知直线l:3x-y-1=0及 B直线1恒过定点(1 点A(4,1),B(2,0),P为1上任意一 点，则AP|+IBP|的最小值是 C.直线1的倾斜角有可能是60 13.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2: D.直线1与圆x2+y2=4相交 (x-2)2+(y-2)2=8,则圆C1和圆 10.已知A(-2,-2),B(-2,6), C2的公共弦长为。 C(4,-2),点P在圆O:x2+y2=4上 14.若直线1：kx一y+4一2k=0 运动，则( ）。 与曲线y=√4一x2有两个交点，则实 A.点A在圆O内 数k的取值范围是 B.直线BC的方程为4x十3y-10 四、解答题（本题共5小题，共77 =0 分。解答应写出文字说明、证明过程或 C.圆O为△ABC的内切圆 演算步骤) D.IPA2+|PB|2+|PC1的最 15.(本小题13分)设直线1的方 大值为88 程为(a十3)x+y十3-a=0(a∈R)。 11.阿波罗尼斯是古希腊数学家 (1)若1在两坐标轴上的截距相 他研究发现：如果平面内一个动点到两 等，求l的方程： 个定点的距离之比为常数（λ>0，且λ (2)若1不经过第三象限，求实数 ≠1)，那么这个点的轨迹为圆，这就是 a的取值范围。 著名的阿氏圆。若点P到点O(0,0) 16.(本小题15分)已知圆C:(x+ 与点A(2,0)的距离之比为√2，则 2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任意一 ()。 点。 A.点P的轨迹方程为(x一4)2+ y2=8 1)求二的最大值和最小值； B.点P到直线3x-4y+12=0 (2)求x一2y的最大值和最小值。 的距离的最小价为号 17.(本小题15分)已知圆C:(x 1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+ C.点P到圆x2+y2=1上的点的 1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)。 最大距离为5+2√2 (1)求过点（一4,6）的圆C的切线 D.若到直线kx一y一2k=0的距 方程； (下转第35页) 30参考答案 “直线和圆的方程 一、单选题 1.B2.D3.B 4.C提示：圆的标准方程为(x十 2)2+(y-1)2=4,圆心为(-2,1)，半 径为2。因为圆关于直线ax一by+ 2=0对称，所以圆心在该直线上，故 -2a-b+2=0,即2a+b=2。 ,21 因为a≥0，b>0,所以片十62 a 2+2+0+ ≥ 2 4+26 Aa b =4,当且议当岩 6 2 ,即b=2a=1时等号成立，故十6 的最小值为4。 5.C提示：因为方程x2+y2+ ax+2y+1=0表示圆，所以a2+4 4>0,解得a≠0。因为点P(2,1)在圆 x2+y2+a.x+2y+1=0外，所以22+ 1+2a+2+1>0,解得a>一4。故 a∈(-4,0)U(0,+)。 6.D提示：对于直线-ax+y十 2=0,令x=0,得y=一2，则直线恒过 点C(0,-2)。因为C(0,-2), A(一2,3)，B(3,2),所以直线AC的斜 率kAC=一 2,直线BC的斜率k 3。 直线-ax十y+2=0的斜率为a, 44 检测题参考答案 若直线-ax+y+2=0与线段AB没 有交点，则一 5 7.C提示：圆C1的标准方程为 x2+(y-2)2=1,圆心C1(0,2),半径 r1=1。圆C2:(x-3)2+(y十2)2=a2 (a>0)的圆心为(3，一2)，半径r2=a。 所以两圆的圆心距d= √/(0-3)2十(2十2)=5。又两圆有且 仅有三条公切线，故两圆外切，即d= r1十r2=a十1=5，解得a=4。 8.A提示：设P（x,y),A(xo, y0)。因为AP=2PB,所以(x-xo, y-y。)=2(3-x,-y),即 x-x0=6-2x, 解得2=3x-6·故 y-yo=-2y, yo=3y, A(3x-6,3y)。因为点A为圆C上任 意一点，所以(3x-6)2十(3y)2=1,整 理得（红-2）+y-},放点P的轨迹 是以M(2,0)为圆心，r=3的圆。又点 C(0,0),故|CM|-r≤|PC|≤|CM| +r,即8≤PC≤ 二、多选题 9.BCD 10.BCD提示：因为(-2)2+ (一2)2=8>4，所以点A在圆O外，故 A错误。 直线BC的方程为y-6=-2一4 6+2 (x+2),即4x+3y-10=0,故B正确。 直线AB的方程x=-2与圆O 相切，直线AC的方程y=一2与圆O 相切。直线BC的方程为4x+3y一10 =0,圆心O到直线BC的距离d= I一10=2，故圆0与直线BC相切。 32+4名 又圆心O在△ABC内，所以圆O为 △ABC的内切圆，故C正确。 设P(x,y),因为A(-2,-2), B(-2,6),C(4,-2),所以|PA12+ |PB|2+|PCI2=(x+2)2+(y+2)2 +(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+ (y+2)2=3x2+3y2-4y+68。因为 点P在圆x2+y2=4上运动，所以x2 =4-y2≥0，解得-2≤y≤2。因此 3x2+3y2-4y+68=3(x2+y2)-4y +68=-4y+80,当y=-2时， |PA|2+|PB|2+|PCI2取得最大值 88,故D正确 11.ACD提示：设点P(x,y),由 √x2+y 题意可 =√2，化简得 √(x-2)2+y2 (x-4)2十y2=8,故A正确。 点P在圆(x一4)2十y2=8上，其 圆心坐标M(4,0),半径r=2√2，故点 P到直线3x一4y十12=0的距离的最 小值为圆心M到直线的距离减半径， 即3×4+121 24 22522,故B 32+4 错误。 点P到圆x2+y2=1上的点的最 参考答案 大距离为点M与点(0,0)的距离加两 个半径，即4+1+2√2=5+22，故C 正确。 到直线k.x一y一2k=0的距离为 √2的点P至少有3个，设圆心M到直 线kx-y一2k=0的距离为d,则r-d =22-d≥2→d≤2，即-2k √k2+1 ≤2，解得-1≤k≤1，故D正确。 三、填空题 12.5提示：设点B(2,0)关于直 线l:3x-y-1=0的对称点B的坐标 2+a b 3× 2 2-1-0, 为(a,b),则 解 -2×3=-1, b Q=-1即B'(-1,1D,则直线AB 得 b=1, 3x-y-1=0, 的方程为y=1。联立 解 y=1, 2 x 得 8即交点为P(后小，此时 y=1, IAP|+BPI的值最小，最小值为 |AB'|=4-(-1)=5。 13.√/14提示：圆C1:x2+y2= 4,圆心为(0,0)，半径r=2,圆C2: (x-2)2+(y-2)2=8,圆心为(2,2)， 半径R=2√2，故圆心距d=√2+22 =2√2。因为|R-r|=2√2-2<d< R十r=2√2十2，所以两圆相交。两圆 方程相减得公共弦所在直线方程为 45 参考答案 -4x-4y+4=0,即x+y-1=0。故 圆心(0,0)到公共弦的距离d,= 1-11 √12+1 ，公共弦长为 √2 22- =√14。 14经1 提示：直线1的方 程可化为y= k(x一2)+4，所 0 以直线1恒过定 点A(2,4)。曲 图1 线y=√4-x可化为x2+y2=4(y≥ 0),其表示以(0,0)为圆心，半径为2的 圆的上半部分，如图1。当直线1与该 曲线相切时，点(0,0)到直线1的距离 d=1k×0-0+4-2k1 =2,解得k= √k2+(-1) 3 。设B(-2,0),则AB= 4-0 2-(-2) =1。由图可得，若直线1与曲线y= V云有两个交点，则<k<1,即实 数k的取值范围是 四、解答题 15.(1)当直线1过原点时，直线l 在x轴和y轴上的截距均为零，所以 3一a=0,即a=3,故l的方程为6x+ y=0. 当直线l不过原点时，a≠3，由l 在两坐标轴上的截距相等，得“一3 a+3 46 a一3，解得a=一2，故l的方程为x+ y+5=0。 综上，1的方程为6x十y=0或 x+y+5=0. (2)将直线l的方程化为y=一(a +3)x十a-3,若l不经过第三象限， 则-(a十3)≤0且a-3≥0，解得a≥ 3,故实数a的取值范围为[3，十∞)。 161)号衣示国c上的点 P(x,y)与点M(1,2)连线的斜率，设 斜率为k,则y一2=k(x一1)，即kx一 y+2-k=0。 由圆心（一2,0）到直线kx-y十 2-k=0的距离d=|-2k-0+2-61 Wk2+1 1,解件253+成昌 4 x-1 的最大值为3+5，最小值为3一后 4。 【2)令t=x-2y,则y7x ,其表示斜率为2，在y轴上的藏距 为-2的直线，故当此直线和圆(x十 2)2十y2=1相切时，t取最值。 由圆心（一2,0）到直线x一2y一 t=0的距离等于半径，可得 1一2-0-山=1，解得1=一2-5或 5 t=一2十5。故x一2y的最大值为 一2+√5，最小值为一2一√5。 17.(1)圆C的方程为(x一1)2+ (y-2)2=25,圆心C(1,2),则(-4 1)2+(6-2)2=41>25,即点(-4,6)》 在圆C外。 当切线斜率不存在时，其方程为 x=一4，满足题意。 当切线斜率存在时，设切线斜率为 k,则切线方程为y=k(x十4)十6。由 15k+6-2 圆心(1,2)到切线的距离 W1+k? =5,解得k= 0,所以切线方程为y 9.69 40x+4)+6,即y=40x+10: 综上，切线方程为x=一4和y= 9.69 40x+10。 (2)(2m+1)x+(m+1)y-7m 4=0(m∈R)可变形为(2x+y-7)m 2x+y-7=0, 十x+y-4=0,令 解 x+y一4=0， 得x=3,y=1,所以直线1恒过点(3， 1)。因为(3-1)2+(1-2)2<25，所以 点(3,1)在圆C内部，即直线1与圆C 相交。 当直线1被圆C截得的弦长最短 时，弦与圆心(1,2)和点(3,1)所在的直 线垂直。设弦所在直线的斜率为k1, 则·}二子-1保得1=2，故弦所 在直线的方程为y一1=2(x一3)，即 2x一y一5=0，所以圆心(1,2)到直线 的距离d=12-25-万。故最短 √5 参考答案 弦长为2×√/25-5=4√5。 18.（1)因为A(5,0),B(4,4W3), 所以kAB= 43-0=一43，故直线 4-5 AB的方程为y-0=一4√3(x-5),即 4√3x+y-203=0。 因为线段AB的中垂线和直线 AB垂直，所以中垂线的斜率k= √3 kAB 一43 =12。又因为AB 的中点M(2,所以线段AB中 垂线闹方程为y-2-(-》, 即2x-8√3y+39=0。 (2)由两点间距离公式得|AB|= W(4-5)2+(43-0)2=7,10A|=5, |OB|=√/42+(4√3)2=8，所以△OAB 的周长为|OA|+1OB|+|AB|=5+8+ 7=20,△0AB的面积S=0A1· 1l=3×5×5=105. (3)设△OAB外接圆的圆心为 C(m,n),半径为R。由(1)知，线段 AB的中垂线方程为y-2√3= 。易知线段OA的中垂线 方程为x= 2,将其代入上式可得y= 11W3 6。 所以△OAB外接圆的圆心为 47 参考答案 cg,)R=1oc1=(停-o+ (山图-g)-号。放△0AB的外接 6 圆方程为-》°+-1 49 3。 设△OAB内切圆的圆心为P(a, b),半径为r。由(2)知，△OAB的周 长为20，面积为10√3。所以△OAB 的面积S=S△POA十S△POB十S△PAB= 2OA1+OB+AB1)·r=2× 1 20×r=10√3，解得r=√3。又点P到 直线OA,AB的距离等于r,则 b=r, 14√3a+b-20√31 解 得 W(43)2+1 a=3, 所以△OAB的内切圆方程为 b=3。 (x-3)2+(y-5)2=3。 19.(1)设点M(x,y),P(x1,y1)。 因为Q(4,0),且M为PQ的中点，所 +0 以x=1+4 2,解得x1 2x-4,y1=2y。 因为P(x1,y1)在圆C1上，所以 (2x-4)2十(2y)2=4,整理得(x-2)2 十y2=1。所以点M的轨迹C2的方程 为(x-2)2+y2=1。 (2)由(1)得，曲线C2是圆心 48 C2(2,0),半径r=1的圆。 当切线的斜率不存在时，圆心(2， 0)到直线x=3的距离为1，等于半径， 故x=3是圆C2的切线。 当切线的斜率存在时，设切线方程 为y+2=k(x-3),即k.x-y-3k一 2=0。由圆心(2,0)到直线的距离 126036-2-1,架得k=-,放 √k2+1 切线方程为3x+4y一1=0。 综上，所求切线方程为x=3和 3x+4y-1=0。 (3)设圆心C2到直线AB的距离 为d,d>0,则弦长|AB|=21-d2, △ABC:的面积S=2|AB|d= d1-d=d2-d。 因为直线AB过定点S,所以d≤ 1cs1=-+o+-号 deo,号. 令t=d2,则S=√t-t,t∈ 0,：易知y=-+在0，司上单 4 调递增，所以ymx= 420 +9 202√5 故Smax= W81 9 ,即△ABC2面积 的最大值为2 。 (责任编辑赵倩)