章末综合测评（二） 直线和圆的方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

章末综合测评（二）　直线和圆的方程 1.D　2.D　3.A　4.B 5.A　根据题意，圆C：（x＋2）2＋y2＝25，圆心C（－2，0），半径r＝5， 直线l：mx＋y－m＋2＝0，即m（x－1）＋y＋2＝0，恒过定点M（1，－2）. 又由圆C的方程为（x＋2）2＋y2＝25，则点M（1，－2）在圆内， 当直线l与CM垂直时，弦｜AB｜最小， 此时｜CM｜＝＝，则｜AB｜的最小值为2＝4.故选A. 6.A　以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示， 则A（0，20），B（10a，0）（a＞0），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为x2＋y2＝100， 所以轮船沿直线返港时直线AB的方程为y－20＝x，即2x＋ay－20a＝0. 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线AB与圆O相离， 即圆心O到直线AB的距离d＝＞10（a＞0），解得a＞.故选A. 7.B　圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1的圆心C（1，1），半径r＝1. 由直线x－y＋4＝0上的点P向圆（x－1）2＋（y－1）2＝1引切线，设切点为A， 则｜PA｜＝＝. 要使切线长最小，即｜PC｜最小，此时｜PC｜min＝＝2， 所以切线长的最小值为＝.故选B. 8.A　由题意可知，圆O：x2＋y2＝8的圆心为O（0，0），半径r＝2. 设MN中点为Q，则＋＝2，且＋＝，可得＝2. 又因为｜MN｜＝4，可知△OMN为等腰直角三角形， 则｜OQ｜＝2，可得｜OP｜＝2｜OQ｜＝4， 故点P的轨迹是以O为圆心，4为半径的圆. 因为直线x－ay＋6＝0上存在点P使得＋＝， 即直线x－ay＋6＝0与圆x2＋y2＝16有交点， 即圆心到直线的距离d＝≤4，解得a≥或a≤－. 故选A. 9.BCD　对于A，由y＝kx－2，令x＝0，得y＝－2， 所以直线y＝kx－2在y轴上的截距是－2，故A错误； 对于B，由x－y＋1＝0，得k＝，所以倾斜角为30°，故B正确； 对于C，过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x＝5，即x－5＝0，故C正确； 对于D，设直线l与x轴，y轴正半轴的交点分别为A（a，0），B（0，b）， 则l：＋＝1（a＞0，b＞0）， 因为l过点P（1，2），所以＋＝1， 由基本不等式得1＝＋≥2＝， 所以ab≥8，当且仅当a＝2，b＝4时，等号成立， 所以S△OAB＝ab≥4，即△OAB面积的最小值为4，故D正确. 故选B、C、D. 10.ACD　对于A，由圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，可化为（x－2）2＋（y－1）2＝18， 可得圆心C（2，1），半径r＝3，故A正确； 对于B，由圆O：x2＋y2＝8，可得圆心O（0，0），半径r1＝2. ｜OC｜＝，且r＋r1＝5＝＞＝｜OC｜， 则｜OC｜＜r＋r1. 所以圆O与圆C不可能外切或外离，故两圆至多有两条公切线，故B错误； 对于C，由圆心C（2，1）到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝＝， 所以弦长为2＝2＝8，故C正确； 对于D，圆心C（2，1）到直线x＋y＋8＝0的距离为＝， 所以所求最大距离为＋3＝，故D正确. 故选A、C、D. 11.BCD　对于A，由kx－y－k＋2＝0得y－2＝k（x－1），所以直线过点（1，2）， 又因为直线l与坐标轴的正半轴围成三角形，所以k＜0. 令x＝0，得y＝－k＋2，令y＝0，得x＝－＋1， 所以直线l与两坐标轴的正半轴的交点分别为（0，－k＋2），， 所以直线l与坐标轴的正半轴围成的三角形面积S＝×（－k＋2） ＝ ≥＝4， 当且仅当－k＝－，即k＝－2时，等号成立， 所以三角形面积的最小值是4，故A不正确； 对于B，因为∠AOB＝90°，所以｜AB｜＝＝2， 所以｜AB｜＝，所以圆心（0，0）到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝＝，即＝，解得k＝－2±，故B正确； 对于C，因为圆O上恰有四个点到l的距离为1， 所以圆心（0，0）到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝∈[0，1）， 解得k＞，故C正确； 对于D，因为直线kx－y－k＋2＝0恒过点C（1，2）， 所以直线PQ就是以C（1，2）为圆心，｜PC｜为半径的圆C和圆O：x2＋y2＝4的交点所在的直线，｜OC｜＝＝， 所以｜PC｜＝＝1，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝1， 所以直线PQ的方程为x＋2y－4＝0，故D正确. 故选B、C、D. 12.　解析：kAB＝＝3，则直线AB的方程为y－1＝3（x＋2），即3x－y＋7＝0， 则点C（5，12）到直线AB的距离为＝，则AB边上的高为. 13.（2，＋∞）　解析：圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝9的圆心C（3，4），半径r＝3. 由·＜0，得∠APB＞90°，而A（t，0），B（－t，0）（t＞0）， 则点P在以线段AB为直径的圆O：x2＋y2＝t2（t＞0）内，又点P在圆C上， 因此圆C与圆O相交或内切或内含，即｜OC｜＜3＋t，又｜OC｜＝＝5， 于是5＜3＋t，解得t＞2， 所以实数t的取值范围是（2，＋∞）. 14.∪　解析：等式a2＋b2＝4a－2b－1可化为（a－2）2＋（b＋1）2＝4， 令＝k，整理可得ka－b＋2－2k＝0， 所以直线kx－y＋2－2k＝0与圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4有公共点， 且圆心坐标为（2，－1），半径r＝2， 则d＝＝≤2，整理可得4k2＋4≥9，解得k≤－或k≥， 因此的取值范围是∪. 15.解：（1）若a＝1，则l1：x＋4y－3＝0，l2：x－2y＋1＝0. 联立 解得即l1与l2的交点坐标为. （5分） （2）若l1∥l2，则a·（－2）＝（a＋3）（2－a），整理得（a－3）（a＋2）＝0，解得a＝－2或3.（7分） 当a＝－2时，l1：－2x＋y－3＝0，即4x－2y＋6＝0，l2：4x－2y＋1＝0， 则l1与l2之间的距离d＝＝＝.（11分） 当a＝3时，l1：3x＋6y－3＝0，即x＋2y－1＝0，l2：－x－2y＋1＝0，即x＋2y－1＝0，此时l1，l2重合，不满足题意，故舍去.（12分） 综上所述，l1与l2之间的距离d＝.（13分） 16.解：（1）由题意可得l1：x＋y＋2＝0的斜率为－1， 可得直线l的斜率k＝1，由点斜式方程可得y＋4＝x－10， 即直线l的方程为x－y－14＝0.（4分） （2）联立直线l和l1方程解得A（6，－8），（6分） 联立直线l和l2方程解得B（7，－7）.（8分） 如图所示， 设过A，B，O三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将三点坐标代入可得解得（13分） 可得圆的方程为x2＋y2－6x＋8y＝0，即（x－3）2＋（y＋4）2＝25.（15分） 17.解：（1）过点P的最短弦所在的直线与直线CP垂直， 圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0的圆心C（3，1），则最短弦所在直线的斜率k＝－＝－＝2， 所以过点P的最短弦所在的直线方程为y－＝2（x－2），即4x－2y－5＝0.（5分） （2）联立消去y得（x－3）2＋（x＋a－1）2＝9， 化简后为2x2＋（2a－8）x＋（a－1）2＝0.（8分） 因为圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点， 所以Δ＝（2a－8）2－8（a－1）2＞0， 即a2＋4a－14＜0，解得－2－3＜a＜－2＋3.（10分） 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－a＋4，x1x2＝. 因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.（12分） 又y1y2＝（x1＋a）（x2＋a）＝x1x2＋a（x1＋x2）＋a2＝－a2＋4a＋a2＝. 从而＋＝（a＋1）2＝0，解得a＝－1.（15分） 18.解：（1）因为圆心C（a，b）关于直线x＋y＋2＝0对称的点为F（－2，－2）， 则解得（3分） 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2， 故圆C的标准方程为x2＋y2＝2.（5分） （2）证明：因为直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设直线PA：y－1＝k（x－1），直线PB：y－1＝－k（x－1），其中k≠0. 由得（1＋k2）x2＋2k（1－k）x＋k2－2k－1＝0.（7分） 因为点P的横坐标1一定是该方程的解，故可得xA＝， 同理，可得xB＝，（8分） kAB＝＝＝＝1＝kOP， 所以直线OP与AB平行.（10分） （3）直线PA的斜率为正数，则k＞0，由（2）知直线PA：y－1＝k（x－1）， 则直线PA与x轴交点为G，同理PB与x轴交点为H， 则｜GH｜＝.（11分） 由（2）有xA＝，则yA＝k（xA－1）＋1＝， 则｜yA－yP｜＝＝＝，（12分） 所以S△PAH＝｜GH｜·｜yA－yP｜＝××＝2×，（14分） 令1＋k＝t＞1，则S△PAH＝2×＝.（15分） 因为t＋≥2，当且仅当t＝时等号成立， 即k＝－1时，△PAH面积的最大值为＝＋1， 故△PAH面积的最大值为＋1.（17分） 19.解：（1）因为α＝135°，所以kl＝－1，直线l的方程为x＋y＋1＝0. 设圆心到直线的距离为d，则d＝＝， 所以｜AB｜＝2＝2＝.（4分） （2）取AB的中点为Q，如图， 假设存在弦AB被点P0三等分，设｜OQ｜＝d，｜P0Q｜＝x，则｜AQ｜＝3x， 解得d＝.（8分） 当l斜率不存在时，d＝1≠，故l斜率存在， 设l斜率为k，则l：kx－y＋k＝0， d＝＝，解得k＝±，（10分） 即存在弦AB被点P0三等分， 直线l的斜率为±.（11分） （3）证明：由题意知M（2，0）， 当直线l斜率不存在时，xA＝xB＝－1，＝＝3， 不妨取yA＝，yB＝－， 则k1＝＝－，k2＝＝，此时k1k2＝－×＝－.（13分） 当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋1）， 代入圆的方程x2＋y2＝4可得（1＋k2）x2＋2k2x＋k2－4＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，（14分） 又k1＝＝，k2＝＝，（15分） 所以k1k2＝·＝＝＝－. 综上，k1k2为定值－.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评（二）　直线和圆的方程 （时间：120分钟　满分：150分） 　 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线l过点A（－4，），B（－1，0），则l的倾斜角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x－4y＋3＝0的距离为（　　） A.1 B. C. D. 3.（2026·浙江金华十校联考）若圆C1：（x－1）2＋y2＝1与圆C2：（x－5）2＋（y－3）2＝30－m外切，则m＝（　　） A.14 B.28 C.9 D.－11 4.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为（1，c），则a＋b＋c的值为（　　） A.20 B.－4 C.0 D.24 5.（2026·江苏无锡六校联考）已知直线l：mx＋y－m＋2＝0与圆C：（x＋2）2＋y2＝25交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A.4 B.2 C.4 D.2 6.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为10 km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西10a km（a＞0）处，港口位于小岛中心正北20 km处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则实数a的取值范围是（　　） A. B.（1，＋∞） C. D.（2，＋∞） 7.由直线x－y＋4＝0上的点P向圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1引切线，则切线长的最小值为（　　） A.3 B. C.2 D.2－1 8.已知M，N是圆O：x2＋y2＝8上两点，且｜MN｜＝4，若直线x－ay＋6＝0上存在点P使得＋＝，则实数a的取值范围为（　　） A.∪ B.∪ C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·浙江台金七校联盟联考）下列命题正确的是（　　） A.直线y＝kx－2在y轴上的截距是2 B.直线x－y＋1＝0的倾斜角为30° C.过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0 D.过点P（1，2）的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）面积的最小值为4 10.已知圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，则下列命题正确的是（　　） A.圆心坐标为（2，1） B.圆C与圆O：x2＋y2＝8有三条公切线 C.直线l：x＋y－1＝0与圆C相交所得的弦长为8 D.圆C上的点到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为 11.（2026·江苏苏州调研）已知直线l：kx－y－k＋2＝0，圆O：x2＋y2＝4，则（　　） A.l与坐标轴的正半轴围成的三角形面积的最大值是4 B.若l与圆O相交于A，B两点，且∠AOB＝90°，则k＝－2± C.若圆O上恰有四个点到l的距离为1，则k＞ D.若对于两个不同的k值，l与圆O分别相切于点P，Q，则PQ所在直线的方程是x＋2y－4＝0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知△ABC的三个顶点A（－2，1），B（2，13），C（5，12），则AB边上的高为　　　　. 13.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝9和两点A（t，0），B（－t，0）（t＞0），若圆C上至少存在一点P，使得·＜0，则实数t的取值范围是　　　　. 14.已知实数a，b满足a2＋b2＝4a－2b－1，则的取值范围为　　　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知直线l1：ax＋（a＋3）y－3＝0，l2：（2－a）x－2y＋1＝0. （1）若a＝1，求l1与l2交点的坐标； （2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离. 16.（15分）已知直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y＝0，直线l过点（10，－4）且与l1垂直. （1）求直线l的方程； （2）设l分别与l1，l2交于点A，B，O为坐标原点，求过A，B，O三点的圆的方程. 17.（15分）已知点P，圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0. （1）求圆C过点P的最短弦所在的直线方程； （2）若圆C与直线x－y＋a＝0相交于A，B两点，O为原点，且OA⊥OB，求a的值. 18.（17分）（2026·广东六校联考）已知圆C过点P（1，1），且圆心C（a，b）关于直线x＋y＋2＝0对称的点为F（－2，－2），过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的斜率互为相反数. （1）求圆C的标准方程； （2）O为坐标原点，证明：直线OP与AB平行； （3）设直线PA的斜率为正数，且直线PA和直线PB与x轴的交点分别为G，H，求△PAH面积的最大值. 19.（17分）已知圆O：x2＋y2＝4内有一点P0（－1，0），倾斜角为α的直线l过点P0且与圆O交于A，B两点. （1）当α＝135°时，求｜AB｜的长； （2）是否存在弦AB被点P0三等分？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由； （3）记圆O与x轴的正半轴交点为M，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，求证：k1k2为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $