例析直线和圆的常见易错点-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

错解剖析 例析直线和圆的常见易错点 ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 易错点一：混淆直线的斜率与倾斜 方程为号+=1，即x-y+1=0. 角的关系 例1直线x-ytan60°+5=0 综上，直线l的方程为4x一3y=0 的倾斜角是 或x-y十1=0。 解析：tan60°=√3，则直线x 防错指南：面对截距问题，先考虑 过原点的情况，再设截距式方程求解。 3y+5=0的斜率k= 设直线的 3 易错点三：忽略直线斜率不存在的 情况 候斜角为a,则an0-怎。又0<e 例3已知直线1过点A(1,2), 180°，所以a=30°，即直线的倾斜角为30°。 且原点到直线1的距离为1，则直线l 防错指南：若直线的倾斜角为α， 的方程是。 0°≤a<l80°，则直线的斜率k=tana。 解析：当直线1过点A(1,2)且斜 易错点二：忽略截距为0的情况 率不存在时，直线1的方程为x=1,原 例2过点A(3,4),且在两坐标 点到直线l的距离为1，满足题意。 轴上的截距互为相反数的直线1的方 当直线1过点A(1,2)且斜率存在 程是 时，设直线l的方程为y一2=k（x 解析：当直线1在两坐标轴上的截 1),即kx一y一k十2=0。因为原点到 距为0时，设直线1的方程为y=x。 直线1的距离为1，所以 -k+2 =1, 因为1过点(3,4)，所以4=k·3,解得 √/及2+1 ®=着，故直线1的方程为yx,即 解得k= 4。 故直线1的方程为y一2 4x-3y=0。 4(x-1),即3x-4y+5=0。 = 当直线1在两坐标轴上的截距互为 综上，直线l的方程为x=1或 相反数且不为0时，设直线1的方程为 3x-4y+5=0. +义=1。因为1过点A(3,4),所以 a -a 防错指南：设直线方程时，优先考 虑直线斜率不存在、直线斜率为零等特 8士1，解得a=-1,故直线1的 a 殊情况，避免遗漏。 25 错解剖析 易错点四：忽略圆的一般方程表示 (-)+-)-1. 圆的条件 例4已知点O(0,0)在圆x2+ 所以点M的轨迹方程为（女一多）》 y2+kx十2ky+2k2+k-1=0外，则k 的取值范围是 =1,点M的轨迹是以 解析：因为方程表示圆，所以2十 (2k)2-4(2k2+k-1)>0,即3k2+ 设)为性心1为半径的圆。 2 防错指南：求动点的轨迹不仅要求 4-4<0,解得-2<k<3。因为点 出方程，还要明确指出轨迹的形状；求 O(0,0)在圆外，所以2k2十k一1>0，解 动点的轨迹方程只需要写出满足条件 得>或<一1：综上，的眼值范 的方程即可，不需要说明是什么图形。 易错点六：对直线与直线的位置关 国是(-2，-1U哈》 系考虑不全面 例6若三条直线l1:ax+y十1=0， 防错指南：方程x2+y2+Dx+ l2:x十ay十1=0，l3:x十y+a=0共有三 Ey十F=0表示圆的充要条件是D十 个不同的交点，则a的取值范围是 E2一4F>0,这是将二元二次方程按圆 解析：因为三条直线有三个不同的 的方程处理时应首先考虑的条件。 交点，所以任意两条直线不平行、不重 易错点五：对轨迹与轨迹方程的含 合，且三条直线不交于一点。考虑从反 义理解不透 面着手求解。 例5已知线段AB的端点B的 若三条直线交于一点，则由 坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2十 y2=4上运动，则线段AB的中点M 7十ayt10解得-a-1 代入 x+y+a=0, y=1。 的轨迹是 l1的方程，解得a=1或a=-2。 解析：设M(x,y),A(xoyo)。因 若l1∥l2,则a×a-1×1=0,解得 为B(4,3),且M是线段AB的中点， a=士1。当a=1时，l1与l2重合。 所以x= y0+3 若l213,则1×1一a×1=0,解得 2—,故x0 a=1。当a=1时，l2与l3重合。 2x-4,yo=2y-3。 若l1l3,则a×1-1×1=0,解得 因为点A在圆(x+1)2+y2=4 a=1。当a=1时，l1与l3重合。 上运动，所以(x0十1)2+y=4,即(2x 综上，当a=1时，三条直线重合； -4+1)2+(2y-3)2=4,整理得 当a=-1时，l1∥l2;当a=-2时，三 26 错解剖析 条直线交于一点。 (y一1)2=9相切，且和直线y=0相切 要使三条直线共有三个不同的交 的圆的方程是 点，则a≠士1且a≠一2。 解析：设所求圆C的方程为(x 防错指南：直线与直线的位置关系 a)2+(y一b)2=42。由圆C与直线y 有平行、重合、相交三种情况，解题时要 =0相切且半径为4，得圆心C的坐标 考虑全面，当从正面解决问题比较困难 为(a,4)或(a,-4)。 时，可以考虑从反面入手，通过排除对 已知圆(x-2)2+(y-1)2=9的 立情况来间接求解。 圆心A的坐标为(2,1)，半径为3。由 易错点七：忽略曲线的隐含条件 两圆相切，得|CA|=4+3=7或|CA 例7直线y=x十b与曲线x= =4-3=1。 √1一y2有且只有一个交点，则b的取 若圆心为(a,4),则(a-2)2+(4 值范围是 -1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12, 解析：曲线x=√1一y2可转化为 解得a=2士2√I0。故所求圆的方程 x2+y2=1,x≥0，即曲线表示单位圆 为(x-2-2√/10)2+(y-4)2=16或 在y轴右侧的部分，含与y轴的交点。 (x-2+2√/10)2+(y-4)2=16。 如图1，画出直 若圆心为(a,一4)，则(a一2)2+ 线y=x十b与曲 (-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2 线x=√1一y的图 =12,解得a=2士2√6。故所求圆的方 像。由图可知，当 程为(x-2-2√6)2+(y+4)2=16或 -1<b≤1时，直 线和曲线有且只有 (x-2+2√6)2+(y+4)2=16。 一个交点。当直线 图1 综上，所求圆的方程为(x一2 与曲线相切时， 210)2+(y-4)2=16或(x-2+ =1,解得b=一√2。 2 2/10)2+(y-4)2=16或(x-2 综上，b的取值范围是一1<b≤1 2√6)2+(y+4)2=16或(x-2+ 或b=-2。 2√6)2+(y+4)2=16 防错指南：解题时要注意曲线表达 防错指南：两圆相切包括外切与内 式本身所隐含的条件，避免错解。 切。若外切，则圆心距等于两圆半径之 易错点八：圆与圆相切时考虑情况 和；若内切，则圆心距等于两圆半径之 不全面 差的绝对值。 例8半径为4，与圆(x一2)2+ （责任编辑赵 倩) 27