专题01 直线和圆的对称问题11种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以11类对称考法为脉络，构建“核心逻辑+解题步骤+易错提醒”三维方法体系，实现从基础对称到综合应用的知识递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点/直线/圆的对称|11题型（每题型1例+3变式）|中点公式/垂直关系/平行性质/对称转化法|从点对称到线对称再到圆对称，结合最值、反射等应用，形成完整对称问题解决链|

专题01 直线和圆的对称问题11种常见考法归类 ▌题型01 点关于点的对称问题 【例1】【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 【变式1-1】【答案】B 【分析】根据中点坐标公式可得选项． 【详解】设点Q的坐标为，由中点坐标公式，得所以故点Q的坐标为. 故选：B． 【点睛】本题考查求点关于点的对称点，关键在于熟练运用中点坐标公式，属于基础题． 【变式1-2】【答案】B 【详解】因为和关于原点对称， 所以，， 解得，， 所以. 【变式1-3】【答案】D 【分析】根据点在线上求参，再结合点对称求解. 【详解】代入,解得，则关于原点对称点为. 故选：D. ▌题型02 点关于直线对称问题 【例2】【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【变式2-1】【答案】A 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 【变式2-2】【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式2-3】【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. ▌题型03 直线关于点对称问题 【例3】【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式3-1】【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式3-2】【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【变式3-3】【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A ▌题型04 直线关于直线对称问题 【例4】【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 【变式4-1】【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 【变式4-2】【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【变式4-3】【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A ▌题型05 根据对称性求最值 【例5】【答案】A 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 【变式5-1】【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 【变式5-2】【答案】C 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，为最小，可求解． 【详解】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 【变式5-3】【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． ▌题型06 对称在光线反射中的应用 【例6】【答案】C 【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 【变式6-1】【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式6-2】【答案】A 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式6-3】【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C ▌题型07 将军饮马问题 【例7】【答案】D 【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可． 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 【变式7-1】【答案】B 【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果． 【详解】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 【变式7-2】【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 【变式7-3】【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． ▌题型08 圆的自身轴对称性 【例8】【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 【变式8-1】【答案】C 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 【变式8-2】【答案】A 【分析】根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆的圆心，进而得到直线一定过的点. 【详解】由圆：，得圆：，可得圆心， 因为在圆上存在无数对点关于直线对称，所以直线一定过点. 故选：A. 【变式8-3】【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. ▌题型09 圆关于点对称 【例9】【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 【变式9-1】【答案】A 【分析】求得圆心关于点的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 【变式9-2】【答案】A 【分析】求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1. 【详解】圆的圆心为， 因为点关于点对称的点为， 所以对称圆的圆心为， 又因为半径不变， 所以所求圆的标准方程为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，点关于点的对称点的求法，圆关于点的对称圆，属于中档题. 【变式9-3】【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标和半径，可得出圆的圆心坐标和半径长，由此可得出圆的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径长为， 由于圆与圆关于原点对称，则圆的圆心为，半径长为， 因此，圆的方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，解题时要明确两圆圆心和半径之间的关系，考查计算能力，属于基础题. ▌题型10 圆关于直线对称 【例10】【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 【变式10-1】【答案】A 【分析】先求得圆心的对称点，结合半径求得正确答案. 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 【变式10-2】【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 【变式10-3】【答案】B 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B ▌题型11 与圆的对称有关的最值问题 【例11】【答案】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 【变式11-1】【答案】C 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆有公共点的关系列式求出的范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 【变式11-2】【答案】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，再分析可知圆上存在点使得其对称点在圆上等价于以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，最后利用两圆位置关系的判定条件列不等式，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 【变式11-3】【答案】 【分析】首先利用对称求出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 根据题意可知，直线与直线相交， 则关于直线的对称点为， 直线过，， 直线的方程为，即， 圆，圆的圆心为，半径为， 与圆有公共点， ，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线和圆的对称问题11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 点关于点的对称问题 题型 02 点关于直线对称问题 题型 03 直线关于点对称问题 题型 04 直线关于直线对称问题 题型 05 根据对称性求最值 题型 06 对称在光线反射中的应用 题型 07 将军饮马问题 题型 08 圆的自身轴对称性 题型 09 圆关于点对称 题型 10 圆关于直线对称 题型 11 与圆的对称有关的最值问题 ▌题型01 点关于点的对称问题 1.核心逻辑 两点关于某定点对称，该定点就是这两点连线的中点，直接使用中点坐标公式计算。 已知点，关于对称，则是中点。 2.解题步骤 ①写出已知点坐标、对称中心坐标； ②代入中点公式： ③解方程组，求出对称点； ④写出结果。 3.易错提醒 中点公式记反；计算时分母2漏乘。 【例1】（2026高二·浙江嘉兴·期中）点关于点的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 【变式1-1】（2026高二·全国·课后作业）点关于点的对称点Q的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式可得选项． 【详解】设点Q的坐标为，由中点坐标公式，得所以故点Q的坐标为. 故选：B． 【点睛】本题考查求点关于点的对称点，关键在于熟练运用中点坐标公式，属于基础题． 【变式1-2】（2026高二·浙江杭州·期末）已知点和点关于原点对称，则的值为（） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为和关于原点对称， 所以，， 解得，， 所以. 【变式1-3】（2026高一·云南大理·专题练习）已知点在直线上，则点关于原点的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在线上求参，再结合点对称求解. 【详解】代入,解得，则关于原点对称点为. 故选：D. ▌题型02 点关于直线对称问题 1.核心逻辑 点与对称点关于直线对称，满足两个条件： ①线段的中点落在对称轴直线上； ②直线与对称轴互相垂直（斜率乘积等于）。 2.解题步骤 设关于直线的对称点为 ①根据垂直关系：，列出第一个方程； ②把中点代入对称轴直线方程，得到第二个方程； ③联立二元一次方程组，解出； ④得到对称点坐标。 简便思路：先求过垂直于对称轴的直线方程，联立对称轴求出中点，再用中点公式反求对称点。 3.易错提醒 对称轴斜率不存在（竖直直线）或者为0（水平直线）时，不能用斜率乘积；忘记中点要在对称轴上。 【例2】（2026高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【变式2-1】（2026高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 【变式2-2】（2026高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式2-3】（2026高二·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. ▌题型03 直线关于点对称问题 1.核心逻辑 一条直线关于外部点对称，得到的新直线与原直线互相平行；只需要再找到直线上一个点的对称点，即可确定新直线。 2.解题步骤（三种方法任选其一） 方法一（点对称+点斜式） ①在已知直线上任取一个点； ②求这个点关于对称中心的对称点； ③两直线平行，斜率不变；用对称点+斜率，点斜式写出对称后的直线。 方法二（距离法） ①对称前后两直线平行，设平行直线方程； ②对称中心到两条直线距离相等； ③列距离等式，解出参数得到直线。 方法三（任意点转移法） ①设待求直线上任意一点； ②求关于对称中心的对称点，该对称点一定在原来的直线上； ③把对称点代入原直线方程，化简得到所求直线。 3. 易错提醒 如果对称中心落在原直线上，则对称之后还是原来的同一条直线。 【例3】（2026高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式3-1】（2026高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式3-2】（2026高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【变式3-3】（2026高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A ▌题型04 直线关于直线对称问题 1.核心逻辑 分两种情况：原直线与对称轴相交；原直线与对称轴平行。 2.解题步骤 ①情况1：与对称轴相交，求关于的对称直线 1）联立与对称轴，求出交点（交点一定在对称后的直线上）； 2）在上任取一个异于交点的点； 3）求该点关于对称轴的对称点； 4）由交点、对称点两个点，两点式写出对称直线。 ②情况2：与对称轴互相平行 1）对称之后的直线和它们斜率仍然相同； 2）在上任取一点，求该点关于对称轴的对称点； 3）利用该对称点+相同斜率，点斜式写出直线。 3. 易错提醒 分不清相交、平行两种模型；计算点关于直线对称时方程组解错。 【例4】（2026高二·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 【变式4-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 【变式4-2】（2026高二·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【变式4-3】（2026·新疆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A ▌题型05 根据对称性求最值 1.核心逻辑 动点在定直线上运动，求到两个定点距离之和/差的最值，利用对称把折线段转化成两点之间线段（直线段最短）。 > 和最小：两点在直线同侧，做其中一点对称点； > 差最大：两点在直线异侧，做其中一点对称点。 2.解题步骤 ①观察两个定点相对于定直线的位置（同侧/异侧）； ②作其中一个定点关于定直线的对称点； ③连接对称点与另外一个定点； ④连线与定直线交点即为取到最值的动点位置； ⑤利用两点距离公式算出最值。 3.易错提醒 搞反“和最小”、“差最大”对应的同侧异侧；忽略交点必须在直线上。 【例5】（2026高二·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 【变式5-1】（2026高三·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，P为直线上一动点，则的最小值是（） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 【变式5-2】（2026高二·上海·阶段检测）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，为最小，可求解． 【详解】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 【变式5-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． ▌题型06 对称在光线反射中的应用 1.核心逻辑 光线反射等价对称问题：入射光线、反射光线关于反射面对称；反射光线可以看作入射光源的对称点发出的直线。 2.解题步骤 ①把反射面看作对称轴； ②求光源（入射点）关于反射面直线的对称点； ③反射光线直线经过这个对称点以及反射点； ④结合已知点写出反射光线方程； ⑤若求入射光线，同理，取接收点做对称。 3.易错提醒 分清哪一段是入射光线，哪一段是反射光线；直线求出后注意实际光线是线段，不是整条直线。 【例6】（2026高二·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 【变式6-1】（2026高二·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式6-2】（2026高二·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式6-3】（2026高二·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C ▌题型07 将军饮马问题 1.核心逻辑 经典模型：两个定点，一条定直线，在直线上找一点，使得到两定点距离之和最小。 本质：同侧两点，作对称，折线段转直线段，两点之间线段最短。 2.解题步骤 ①两个定点在定直线同一侧； ②作点关于直线的对称点； ③连接，与直线交于点，就是饮马点； ④最小值就是； ⑤用两点距离公式计算最小值，写出点坐标。 3.易错提醒 两点如果本来就在直线两侧，直接连线相交即可，不需要再做对称。 【例7】（河南省天一大联考2025-2026学年高二学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可． 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 【变式7-1】（2026高二·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果． 【详解】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 【变式7-2】（2026高二·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 【变式7-3】（2026高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． ▌题型08 圆的自身轴对称性 1.核心逻辑 圆是高度对称图形：任意一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆上任意一点关于直径的对称点仍然还在圆上。 2.解题步骤 ①圆标准方程； ②过圆心的所有直线都是对称轴； ③若点在圆上，则该点关于过圆心直线的对称点也在圆上，可用来求圆上动点。 3.易错提醒 不过圆心的直线不是圆的对称轴。 【例8】（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 【变式8-1】（2026高二·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数的值为（） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值. 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 【变式8-2】（2026高二·山西阳泉·期末）若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆的圆心，进而得到直线一定过的点. 【详解】由圆：，得圆：，可得圆心， 因为在圆上存在无数对点关于直线对称，所以直线一定过点. 故选：A. 【变式8-3】（2026高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. ▌题型09 圆关于点对称 1.核心逻辑 圆对称之后半径不变，只需要求圆心关于对称中心的对称点，得到新圆心，半径照搬原来半径。两点关于点对称，用中点公式。 2.解题步骤 ①写出原圆的圆心和半径； ②求圆心关于对称中心点的对称点； ③以为圆心，为半径直接写出对称圆标准方程。 3.易错提醒 不要改变半径；不要对圆上每个点逐个计算，只处理圆心即可。 【例9】（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为， 因为点关于点的对称点为， 所以所求对称圆的标准方程为， 故选：D 【变式9-1】（2026高二·江苏南通·阶段检测）圆关于点对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得圆心关于点的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 【变式9-2】（2026高二·全国·课后作业）圆关于点对称的圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1. 【详解】圆的圆心为， 因为点关于点对称的点为， 所以对称圆的圆心为， 又因为半径不变， 所以所求圆的标准方程为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，点关于点的对称点的求法，圆关于点的对称圆，属于中档题. 【变式9-3】（【新东方】杭州新东方高二数学试卷254）已知圆的方程为，圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标和半径，可得出圆的圆心坐标和半径长，由此可得出圆的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径长为， 由于圆与圆关于原点对称，则圆的圆心为，半径长为， 因此，圆的方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，解题时要明确两圆圆心和半径之间的关系，考查计算能力，属于基础题. ▌题型10 圆关于直线对称 1.核心逻辑 圆关于直线对称，半径不变；对称轴是新旧两个圆心连线的垂直平分线。只需要求原圆心关于对称轴直线的对称点，作为新圆心。 2.解题步骤 ①写出原圆圆心，半径； ②求圆心关于对称轴直线的对称点； ③以为圆心，半径仍取，写出对称后的圆方程。 3.易错提醒 忘记半径不变；直接平移圆心，没有用点关于直线对称计算。 【例10】（2026高二·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 【变式10-1】（2026高二·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得圆心的对称点，结合半径求得正确答案. 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 【变式10-2】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 【变式10-3】（2026高二·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B ▌题型11 与圆的对称有关的最值问题 1.核心逻辑 定点、圆、定直线组合；利用点/圆的对称，转化距离；常考：圆上动点到定点距离的和、差最值。 2.解题步骤 ①看清条件：动点是在直线上，还是在圆周上； ②如果定点在圆外/圆内，可做定点关于直线的对称点； ③将圆上点到定点距离转化为圆上点到对称点的距离； ④利用圆上点到定点距离最值公式：（为定点到圆心距离）求出最大、最小值。 3.易错提醒 混淆“动点在直线”和“动点在圆上”两套最值模型；忘记加减半径。 【例11】（2026高二·云南保山·期末）一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 【变式11-1】（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知直线，若曲线上存在点与关于直线对称，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆有公共点的关系列式求出的范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 【变式11-2】（2026高二·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，再分析可知圆上存在点使得其对称点在圆上等价于以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，最后利用两圆位置关系的判定条件列不等式，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 【变式11-3】（2026高二·浙江宁波·期中）设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】首先利用对称求出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 根据题意可知，直线与直线相交， 则关于直线的对称点为， 直线过，， 直线的方程为，即， 圆，圆的圆心为，半径为， 与圆有公共点， ，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线和圆的对称问题11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 点关于点的对称问题 题型 02 点关于直线对称问题 题型 03 直线关于点对称问题 题型 04 直线关于直线对称问题 题型 05 根据对称性求最值 题型 06 对称在光线反射中的应用 题型 07 将军饮马问题 题型 08 圆的自身轴对称性 题型 09 圆关于点对称 题型 10 圆关于直线对称 题型 11 与圆的对称有关的最值问题 ▌题型01 点关于点的对称问题 1.核心逻辑 两点关于某定点对称，该定点就是这两点连线的中点，直接使用中点坐标公式计算。 已知点，关于对称，则是中点。 2.解题步骤 ①写出已知点坐标、对称中心坐标； ②代入中点公式： ③解方程组，求出对称点； ④写出结果。 3.易错提醒 中点公式记反；计算时分母2漏乘。 【例1】（2026高二·浙江嘉兴·期中）点关于点的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高二·全国·课后作业）点关于点的对称点Q的坐标为（） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高二·浙江杭州·期末）已知点和点关于原点对称，则的值为（） A．1 B． C．3 D．2 【变式1-3】（2026高一·云南大理·专题练习）已知点在直线上，则点关于原点的对称点的坐标为（） A． B． C． D． ▌题型02 点关于直线对称问题 1.核心逻辑 点与对称点关于直线对称，满足两个条件： ①线段的中点落在对称轴直线上； ②直线与对称轴互相垂直（斜率乘积等于）。 2.解题步骤 设关于直线的对称点为 ①根据垂直关系：，列出第一个方程； ②把中点代入对称轴直线方程，得到第二个方程； ③联立二元一次方程组，解出； ④得到对称点坐标。 简便思路：先求过垂直于对称轴的直线方程，联立对称轴求出中点，再用中点公式反求对称点。 3.易错提醒 对称轴斜率不存在（竖直直线）或者为0（水平直线）时，不能用斜率乘积；忘记中点要在对称轴上。 【例2】（2026高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高二·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（） A． B． C．3 D．5 ▌题型03 直线关于点对称问题 1.核心逻辑 一条直线关于外部点对称，得到的新直线与原直线互相平行；只需要再找到直线上一个点的对称点，即可确定新直线。 2.解题步骤（三种方法任选其一） 方法一（点对称+点斜式） ①在已知直线上任取一个点； ②求这个点关于对称中心的对称点； ③两直线平行，斜率不变；用对称点+斜率，点斜式写出对称后的直线。 方法二（距离法） ①对称前后两直线平行，设平行直线方程； ②对称中心到两条直线距离相等； ③列距离等式，解出参数得到直线。 方法三（任意点转移法） ①设待求直线上任意一点； ②求关于对称中心的对称点，该对称点一定在原来的直线上； ③把对称点代入原直线方程，化简得到所求直线。 3. 易错提醒 如果对称中心落在原直线上，则对称之后还是原来的同一条直线。 【例3】（2026高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（） A．2 B．6 C． D． ▌题型04 直线关于直线对称问题 1.核心逻辑 分两种情况：原直线与对称轴相交；原直线与对称轴平行。 2.解题步骤 ①情况1：与对称轴相交，求关于的对称直线 1）联立与对称轴，求出交点（交点一定在对称后的直线上）； 2）在上任取一个异于交点的点； 3）求该点关于对称轴的对称点； 4）由交点、对称点两个点，两点式写出对称直线。 ②情况2：与对称轴互相平行 1）对称之后的直线和它们斜率仍然相同； 2）在上任取一点，求该点关于对称轴的对称点； 3）利用该对称点+相同斜率，点斜式写出直线。 3. 易错提醒 分不清相交、平行两种模型；计算点关于直线对称时方程组解错。 【例4】（2026高二·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（）. A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高二·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·新疆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（） A．3 B．3 C．3 D．3 ▌题型05 根据对称性求最值 1.核心逻辑 动点在定直线上运动，求到两个定点距离之和/差的最值，利用对称把折线段转化成两点之间线段（直线段最短）。 > 和最小：两点在直线同侧，做其中一点对称点； > 差最大：两点在直线异侧，做其中一点对称点。 2.解题步骤 ①观察两个定点相对于定直线的位置（同侧/异侧）； ②作其中一个定点关于定直线的对称点； ③连接对称点与另外一个定点； ④连线与定直线交点即为取到最值的动点位置； ⑤利用两点距离公式算出最值。 3.易错提醒 搞反“和最小”、“差最大”对应的同侧异侧；忽略交点必须在直线上。 【例5】（2026高二·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高三·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，P为直线上一动点，则的最小值是（） A． B． C．2 D．4 【变式5-2】（2026高二·上海·阶段检测）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（）． A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（） A． B． C． D． ▌题型06 对称在光线反射中的应用 1.核心逻辑 光线反射等价对称问题：入射光线、反射光线关于反射面对称；反射光线可以看作入射光源的对称点发出的直线。 2.解题步骤 ①把反射面看作对称轴； ②求光源（入射点）关于反射面直线的对称点； ③反射光线直线经过这个对称点以及反射点； ④结合已知点写出反射光线方程； ⑤若求入射光线，同理，取接收点做对称。 3.易错提醒 分清哪一段是入射光线，哪一段是反射光线；直线求出后注意实际光线是线段，不是整条直线。 【例6】（2026高二·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高二·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高二·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026高二·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（） A． B． C． D． ▌题型07 将军饮马问题 1.核心逻辑 经典模型：两个定点，一条定直线，在直线上找一点，使得到两定点距离之和最小。 本质：同侧两点，作对称，折线段转直线段，两点之间线段最短。 2.解题步骤 ①两个定点在定直线同一侧； ②作点关于直线的对称点； ③连接，与直线交于点，就是饮马点； ④最小值就是； ⑤用两点距离公式计算最小值，写出点坐标。 3.易错提醒 两点如果本来就在直线两侧，直接连线相交即可，不需要再做对称。 【例7】（河南省天一大联考2025-2026学年高二学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（） A． B．4 C．5 D． 【变式7-1】（2026高二·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高二·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（） A． B．5 C． D． ▌题型08 圆的自身轴对称性 1.核心逻辑 圆是高度对称图形：任意一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆上任意一点关于直径的对称点仍然还在圆上。 2.解题步骤 ①圆标准方程； ②过圆心的所有直线都是对称轴； ③若点在圆上，则该点关于过圆心直线的对称点也在圆上，可用来求圆上动点。 3.易错提醒 不过圆心的直线不是圆的对称轴。 【例8】（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（） A．4 B． C．2 D． 【变式8-1】（2026高二·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数的值为（） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【变式8-2】（2026高二·山西阳泉·期末）若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． ▌题型09 圆关于点对称 1.核心逻辑 圆对称之后半径不变，只需要求圆心关于对称中心的对称点，得到新圆心，半径照搬原来半径。两点关于点对称，用中点公式。 2.解题步骤 ①写出原圆的圆心和半径； ②求圆心关于对称中心点的对称点； ③以为圆心，为半径直接写出对称圆标准方程。 3.易错提醒 不要改变半径；不要对圆上每个点逐个计算，只处理圆心即可。 【例9】（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026高二·江苏南通·阶段检测）圆关于点对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高二·全国·课后作业）圆关于点对称的圆的标准方程为（） A． B． C． D． 【变式9-3】（【新东方】杭州新东方高二数学试卷254）已知圆的方程为，圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（） A． B． C． D． ▌题型10 圆关于直线对称 1.核心逻辑 圆关于直线对称，半径不变；对称轴是新旧两个圆心连线的垂直平分线。只需要求原圆心关于对称轴直线的对称点，作为新圆心。 2.解题步骤 ①写出原圆圆心，半径； ②求圆心关于对称轴直线的对称点； ③以为圆心，半径仍取，写出对称后的圆方程。 3.易错提醒 忘记半径不变；直接平移圆心，没有用点关于直线对称计算。 【例10】（2026高二·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【变式10-1】（2026高二·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【变式10-2】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【变式10-3】（2026高二·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． ▌题型11 与圆的对称有关的最值问题 1.核心逻辑 定点、圆、定直线组合；利用点/圆的对称，转化距离；常考：圆上动点到定点距离的和、差最值。 2.解题步骤 ①看清条件：动点是在直线上，还是在圆周上； ②如果定点在圆外/圆内，可做定点关于直线的对称点； ③将圆上点到定点距离转化为圆上点到对称点的距离； ④利用圆上点到定点距离最值公式：（为定点到圆心距离）求出最大、最小值。 3.易错提醒 混淆“动点在直线”和“动点在圆上”两套最值模型；忘记加减半径。 【例11】（2026高二·云南保山·期末）一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【变式11-1】（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知直线，若曲线上存在点与关于直线对称，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026高二·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【变式11-3】（2026高二·浙江宁波·期中）设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为___________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $