与圆有关的最值问题及求解策略-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

解题锦囊 与圆有关的最值问题及求解策略 ■吉林省通化市靖宇中学 王婷婷 与圆有关的最值问题是解析几何中 分别判断四个选项所对应的几何意义 的高频考点，其命题形式灵活多变，往往 求解。 将代数式的最值隐藏在圆的几何约束之 解：由x2+y2-6x+8y=0,得 下。这类问题的破解关键在于：能否在 (x-3)2+(y十4)2=25，该方程表示 “圆的几何性质”与“目标代数式”之间建 圆心为C(3,-4),半径r=5的圆。 立有效的翻译渠道。有的目标式适合用 设二k,侧k表示网上的点与 几何直观定位，有的需要建立函数模型进 行刻画，还有的则依赖于对称变换、三角 点(1,1)连线的斜率。由kx-y一k+ 换元或代数判别式等。下面结合典型例 1=0,得 |3k+4-k+1 ≤5，解得k≥ 题，梳理与圆有关的最值问题的常见求解 √/k2+(-1)2 策略，供同学们学习参考。 20 21 或k≤0，故A错误。 策略一：利用几何性质求最值 因为x2十y2表示圆上的点到原 若目标式具有明显的几何意义，如 点的距离的平方，且原点在圆上，所以 定点与动点连线的斜率、两点间距离的 x2+y2的最小值为0，故B正确 平方、线性截距、动点到直线的距离等， 设y+x=b,则y=-x+b,b表 则可直接借助圆的几何特性（圆心距、 示当直线y=一x十b与圆有公共点 半径、切线、弦长等)进行求解。常见的 时，直线在y轴上的截距，故 形式有名、（红-a)+(g-) 13-4-b≤5，解得-1-52≤b≤ √2 ax+by、la.x+by+c|等。 -1+5√2，即y+x的最小值是-1 例1（多选题）已知实数x,y满 足x2十y2一6x+8y=0,则下列说法 5√2，故C正确。 正确的有( ）。 |x十y一7|表示圆上的点到直线 x十y一7=0距离的√2倍，圆心(3， A当x1时二 的最小值是0 一4)到直线x+y一7=0的距离d= B.x2+y2的最小值是0 4√2，则|x+y一7|的最小值为√2× C.y+x的最小值是-1一5√2 (4√2-5)=8-5√2，故D错误。 D.|x十y一7的最小值是2 综上，选BC。 分析：先配方识别出圆的方程，再 ,点评：本题集中体现了“几何意义 22 解题锦囊 优先”的原则。凡目标式能转化为斜率、 A'(2,2)。 距离的平方、截距或点到直线距离的，一 连接A'C交圆C于点Q,交直线 律先用几何直观试探，这种“以形驭数” x一y-1=0于点P,此时|PA|+ 的策略往往比纯代数消元更为高效。 |PQ取得最小值。由对称性可知 策略二：利用对称性求最值 IPA+PQI=IPA'+PQ= 当目标式涉及两条折线段时，可利 |A'Q|=|A'C|-r=√17-1。 用对称变换将“折线”拉直，转化为“两 点评：处理折线段和的最值时，对 点之间线段最短”模型。若动点包含圆 称法是首选的几何工具，其处理流程为 上的点，则还要结合“圆外一点到圆上 “定对称轴→求对称点连线找交点”。 点的最短距离等于该点到圆心的距离 策略三：利用函数求最值 减去半径”“圆外一点到圆上点的最长 当目标式无法直接赋予清晰的几 距离等于该点到圆心的距离加上半径” 何意义，或几何直观难以定位时，可考 等结论。 虑将圆的方程代入目标式，将其转化为 例2已知A(3,1),点P在直线 关于单个变量的函数，进而利用配方 x-y一1=0上，点Q在圆C:x2+ 法、基本不等式或单调性等求最值。 y2-6x+4y+12=0上，则|PA|+ 例3设点P(x,y)是圆x2+(y |PQ|的最小值是。 -3)2=1上的动点，定点A(2,0), 分析：定点A、直线上的动点P、圆 B(-2,0),则PA·PB的最大值为 上的动点Q构成线段关系。先求A关 于直线的对称点A',将|PA|转化为 分析：先写出向量数量积的表达 |PA'I,则|PA+|PQ转化为PA'I 式，再利用圆的方程消去x2,将目标式 +|PQ,再连接A'与圆心C,其与直 转化为关于y的函数，最后结合y的 线的交点为P,与圆的交点为Q,此时 取值范围确定最大值。 PA|+|PQ|取得最小值。 解：由题意得PA=(2-x,一y), 解：因为圆C:x2+y2-6x+4y+ PB=(-2-x,-y),所以PA·PB 12=0,即(x-3)2+(y+2)2=1,所以 =x2+y2-4。 圆C的圆心为C(3,一2)，半径r=1。 因点P(x,y)是圆上的点，故其坐 设点A(3,1)关于直线x-y一1 标满足方程x2十(y一3)2=1，即x2 0的对称点为A'（m,n),则 -(y-3)2+1,所以PA·PB= -(y-3)2+1+y2-4=6y-12 m+3n+1 2 -1=0, m=2, 又点P在圆上，则2≤y≤4，所以 解得 故 n-1 n=2, 当y=4时，PA·PB的值最大，最大 m-3 1, 值为6×4-12=12。 23 解题锦囊 点评：函数法的核心是“消元”。在 策略五：利用判别式求最值 圆的方程中，x2与y之间存在约束， 当目标式为关于x,y的线性组合 通常保留一次项变量作为自变量，利用 (如t=ax十by)且圆的方程已知时，可 平方项非负确定其范围。此法思维门 将直线ax+by=t代入圆的方程消 槛较低，适合处理结构复杂的目标式。 元，利用一元二次方程有实根的条件 策略四：利用三角换元求最值 △≥0求出t的取值范围。此法纯粹从 对于圆(x-a)2+(y一b)2=r2上 代数方程角度切入，是对几何法和三角 的动点，若目标式中含有x与y的线性 换元法的有效补充。 或齐次组合，则可令x=a十rcos0,y= 例5已知实数x,y满足(x b+rsin0,将二元最值问题转化为关于 1)2+(y+2)2=4,求2x+y的最大值 0的三角函数最值问题，进而利用辅助 与最小值。 角公式或正弦型函数的有界性求解。 分析：设2x+y=t,则y=一2x+ 例4已知实数x,y满足(x一 t,代入圆的方程得到关于x的一元二 2)2+y2=1,求2x+√3y的最大值与 次方程。因方程有解，故由判别式非负 最小值。 即可解出t的取值范围。 分析：该目标式为线性组合，几何 解：令2x十y=t,则y=一2x+t, 意义明显，可以利用几何性质解决。若 代入方程(x-1)2+(y+2)2=4,整理 采用三角换元，则可以直接转化为正弦 得5x2-(10+4t)x+(t2+4t+1)= 型函数，过程更为简单。 0。易知关于x的一元二次方程有实 解：设x=2+cos0,y=sin0,0∈ 数根，故其判别式△≥0，即(10+4t)2 [0,2π)，则2x+√3y=2(2+cos0)+ -4×5×(t2+4t+1)≥0，化简得t2≤ 3 sin 0-4+2cos 0+3 sin 0-4+ 20,解得-2√5≤t≤2√5。故2x+y 万sin(0+g),其中an9- 2 的最大值为2√5，最小值为一2√5。 点评：判别式法将几何约束转化为 由sin(0+p)∈[-1,1]，得2x+ 代数方程的有解条件，是一种“通法”。 5y∈[4-√7,4+7]，即2x+3y的 其优势在于当目标式不是标准的斜率、 最大值为4十7，最小值为4一√7。 截距或距离形式时，仍能稳定求解。缺 点评：三角换元法的优势在于将圆 ,点在于计算量通常较大，且不易直观判 的约束自动满足，且将二元最值问题转 断等号成立的位置。具体解题时，建议 化为三角函数最值问题，尤其适用于目 同学们优先考虑几何法或三角换元法， 后考虑判别式法。 标式为ax十by、x2+y2、兰等的情形。 (责任编辑赵倩) 24