与圆有关的最值问题能力提升课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 能力提升课3 与圆有关的最值问题 1 探究点一 与距离有关的最值问题 探究点二 与面积有关的最值问题 探究点三 与代数式的几何意义有关的最值问题 2 探究点一 与距离有关的最值问题 3 例1（1）已知为上一点， 为直线 上一点，则线段 长度的最小值为( ) A A. B. C. D. [解析] 圆的标准方程为，圆心为 ，半 径 ， 则圆心到直线的距离 ，所以 ，故选A. 高 中 同 步 课 堂 学 案 4 （2）（2025山东临沂联考）若圆，动点 在直线 上，过点作圆的切线，切点为，则切线长 的 最小值为( ) B A. 1 B. 2 C. D. 4 [解析] 圆的圆心坐标为，半径 ， 则圆心到直线的距离 . 当时， 最小， 此时 .故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 （3）（2025湖南祁阳月考）已知， 为关于直线对称的圆，点，分别为 ， 上的动点，长度的最大值为12，则 ( ) A A. 或0 B. C. 或0 D. 0 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 [解析] 由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直时， 的长度 最大， 此时圆心 到对称轴的距离为4， 所以 ， 即 ， 解得或 .故选A. 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 解题感悟 1.求圆上的点到某点的距离的最值的解题思路 （1）已知圆和圆外的一个定点，则圆上的点到定点 距离的最小 值为，最大值为，其中为圆 的半径. （2）已知圆和在圆外的一条直线上的动点，过圆心作 的垂线， 垂足为，则圆上的点到动点距离的最小值为 ，最大值为 ，其中为圆 的半径. （3）已知圆和在与其外离的圆上的动点，则圆上的点到动点 距离的最小值为，最大值为，其中, 分别为 圆和圆 的半径.#1.1.3 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 2.求切线长的最值的解题思路 已知圆和圆外的一条直线，过直线上的点 作圆的切线，当 时，切线长有最小值. 3.求过圆内定点的弦长的最值的解题思路 已知圆及圆内一定点，则过点 的所有弦中最长的为直径，最 短的为与直径垂直的弦. 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 迁移应用1（1）已知直线 与圆 的交点分别为，，则直线被圆截得的弦长 的最小值为( ) C A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 [解析] 设直线所过的定点为，则点 的坐 标为 ， 圆的圆心为，半径 ， 则 ， 易知点在圆内，所以当直线与垂直时， 最小， 此时 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 （2）（2026江苏南通期中）已知直线 和圆 交于,两点，设线段的中点为, 为 坐标原点，则 的最大值为( ) D A. B. C. D. [解析] 将圆的方程化为标准方程可得 ，则其 圆心为，半径 ， 易知直线恒过定点 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 因为，所以点 在圆内，如 图所示： 因为，所以点的轨迹是以 为直径的圆， 线段的中点坐标为， ， 所以动点的轨迹方程为 ， 由， ， 可得，即的取值范围为 ， 所以的最大值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 （3）已知圆 ，过直线 上一点作圆 的一条切线，若切线长的最 小值为，求直线 的斜率. [解析] 圆的圆心为，半径 ， 当切线长最小时， ， 又切线长的最小值为， ， 所以，所以 ， 则直线 ， 故直线的斜率为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 探究点二 与面积有关的最值问题 15 例2 已知圆，过点作直线，分别交圆 于 ，，，四点，且，求四边形 面积的最大值与最小值. [解析] 设点到直线的距离为，到直线 的距离为 ， 则 ， 因为，所以 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以，所以四边形 面积的最大值为14，最 小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 迁移应用2 求过直线和圆 的 交点,且面积最小的圆的方程. [解析] 解法一：由已知条件得，所求圆是以直线 被圆 截得的弦为直径的圆. 联立 解得所求圆的直径的两端点分别为 ，，故线段的中点为 ， M即为所求圆的圆心， ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 则所求圆的半径 ， 所求圆的方程为 . 解法二：（利用圆系方程解）过直线 和圆 的交点的圆系方程可设为 ， 即 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 所求圆的半径为 ， 故当时，所求圆的半径最小，最小值为 ， 所求圆的方程为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 探究点三 与代数式的几何意义有关的最 值问题 21 例3 已知实数，满足方程 ，求： [解析] 圆的标准方程为 ，圆心 为，半径为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 （1） 的取值范围； [解析] 设，可得 ， 则直线与圆有公共点，故 ，解 得 ， 所以的取值范围为， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 （2） 的最小值； [解析] 设，可得 ， 则直线与圆 有公共点， 故，解得 ， 所以的最小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 （3） 的取值范围. [解析] 解法一：设，其表示圆心为，半径为 的圆，由于 ， 所以点在圆 外， 因为圆与圆有公共点，圆心距 ， 所以，解得 ，故 ， 即的取值范围为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 25 解法二：表示原点到圆 上任意一点的 距离的平方，原点到圆心的距离为2，则 的最小值为 ，最大值为，即 的取 值范围为 . 解法三：因为，所以 ，则 的取值范围即为 的取值范围，因为圆 的圆心为，半径为 ，所以 ，所以，即 的取值范围为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 解题感悟 处理与代数式的几何意义有关的最值问题时，可借助数形结合思 想求解，常见的题型有以下几种： 1.求形如的最值，可转化为求过定点和 的动直线斜率 的最值. 2.求形如的最值，可转化为求动直线 的截距 的最值. 3.求形如的最值，可转化为求圆上的点 到 定点的距离的平方的最值，或利用圆的方程将 转化为一次式，使用2中的方法求解.#2.1.3 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 迁移应用3 已知点是圆 上的任意一点. （1）求 的最大值和最小值； [解析] 解法一：设，则直线 与圆 有公共点， ， 解得 ， 的最大值为，最小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 解法二：设 ， ，则 ，其中 ， ， 即的最大值为，最小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 （2）求 的最大值和最小值； [解析] 表示圆上的点与点 连线的斜率， 设，即，则直线 与圆 有交点， 则圆心到直线的距离，解得 . 的最大值为，最小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 （3）求 的最大值和最小值. [解析] ，它表示圆上的点 到 的距离的平方再加2，所以当点与点 间的距离最大或最小时， 所求式子取得最大值或最小值，易得点在圆的外部，所以点与点 间距离的最大值为，点与点 间距离的最小值为 ，所以的最大值为 ，最 小值为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 $