微专题4 与圆有关的最值问题（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

微专题4 与圆有关的最值问题 　　与圆有关的最值问题的常见类型 已知（x，y）是所给圆上一点， 1. 形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. 2. 形如ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. 3. 形如（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. [例1-1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最小值为 （　　） 　 A. 7－4 B. 7＋4 C. 2＋ D. 2－ [分析] 　思路一：由x2＋y2－4x＋1＝0，转化为求x2＋y2＝4x－1的最小值. 只需要确定x的范围； 思路二：利用x2＋y2的几何意义，数形结合，本方法需要着重掌握. 思路三：三角换元，利用三角函数的最值. √ [解析]　圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝3， 则圆心为C（2，0），半径为. 方法一：易知（x－2）2≤3，所以－＋2≤x≤＋2， 所以x2＋y2＝4x－1的最小值为－4＋8－1＝7－4. 方法二：因为（0－2）2＋02＞3，所以原点在圆（x－2）2＋y2＝3外部. x2＋y2的几何意义为坐标原点O到圆上一点距离的平方， 所以＝＝＝7－4. 方法三：可设x－2＝cos θ，y＝sin θ ， 所以x＝2＋cos θ ，y＝sin θ ， θ ∈[0，2π）. 所以x2＋y2＝4＋4cos θ ＋3cos2 θ ＋3sin2 θ ＝7＋4cos θ ≥7－4. [例1-2]　已知点M（m，n）为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点. （1）求m＋2n的最大值； [解]　由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，转化为圆的标准方程可得 （x－2）2＋（y－7）2＝8，可得圆心为C（2，7），半径r＝2. 设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程. 因为该直线与圆C有公共点， 所以圆心C到直线的距离d＝≤2， 解得16－2≤t≤16＋2，所以m＋2n的最大值为16＋2. （2）求的最大值和最小值； [解]　记点Q（－2，3），则表示直线MQ的斜率. 设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0. 因为直线MQ与圆C有公共点，可得d＝≤2， 整理得k2－4k＋1≤0， 解得2－≤k≤2＋， 所以的最大值为2＋，最小值为2－. $