直线与圆中存在性问题的解题策略-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

解题锦囊 直线与圆中存在性问题的解题策略 ■广东省中山一中 周增钦 直线与圆中存在性问题是近年高 1<rd+1,解得1<r<3。 考试卷中出现频率比较高的一类题型， 二、代数法 命题角度新颖，问题设计精巧，导致部分 代数法是联立圆和直线的方程，解 同学在解答这类题时出错。这类试题 的个数即为圆和直线的交点个数，从而 虽然形式多样，但解题策略可归纳为三 判断出圆与直线的位置关系。 种，即将题干条件或问题转化为圆心到 例2已知圆C:(x-4)2+y2=1 直线的距离与半径关系的几何法、根据 和直线l:y=kx一2，若直线1上至少 题目要求联立方程利用方程解的情况 存在一点，使以该点为圆心，1为半径 分析存在性的代数法和数形结合法。 的圆与圆C有公共点，求飞的最大值。 掌握直线与圆中存在性问题的解题策 解析：设直线l上存在一点P(xo, 略并合理应用，是提升解题效率、保证解 kx。一2)，圆P的方程为(x一x。)2十 题质量的重要前提。下面把解题策略 (y一kx。+2)2=1。圆C和圆P有公 进行总结，希望对大家的学习有所帮助。 共点，可得|CP|≤2，即存在x。,使得 一、几何法 |CP|=√(x0-4)+(kx0-2)≤2， 几何法是将题干条件或问题转化 为圆心到直线的距离与半径之间的关 即不等式(1+k2)x2-(8+4k)x+ 系，以此判断圆和直线之间的位置关系， 16≤0有实数解。故判别式△=(8+ 从而确定出圆与直线公共点的数量。 4k)2-64(1+62)≥0，解得0≤k≤3。 例1若圆x2+(y+2)2=r2(r >0)上到直线y=√3x+2的距离为1 因此及的朵大宜为 的点有且仅有2个，求的取值范围。 三、数形结合法 解析：圆x2+(y十2)2=r2(r>0) 解答难度较大的直线与圆中存在 的圆心(0，一2)到直线y=√3x十2的 性问题需要使用数形结合法，即先根据 题意形成解题思路，再将解题思路划分 距离d= |2+2 =2。因为圆上到直线 √/1+3 为几个解题步骤，最后分别考虑各解题 的距离为1的点有且仅有2个，所以d 步骤的已知条件和待求内容，灵活选择 20 解题锦囊 几何法或代数法解题。另外，还可以通 C选项，令L1>L2,即4> 过画简图的方式简化题目，更直观地看 9k2 到题干条件的应用价值，从而快速解题。 2+1·两边平方化简得4> 例3已知定圆C1:x2+y2=4, 9k2 9k2 4 C2:(x-3)2+y2=4,直线1：y=kx过 +12+1>0,只要k≠0均 坐标原点，直线1与C1、C2均相交，记 成立。 1被两圆截得的弦长依次为L1、L2,下 结合k2< 5,k可取无数个实数， 列结论正确的是()。 A.k可以取全体实数 满足条件的直线多于2条，C正确。 B.满足L1=L2的直线1共有 9k2 D选项，L2=2 4 2条 十1，要使 C.满足L1>L2的直线l多于 L2最大，只需 9k2 最小。 2条 2+1 D.当L2取最大值时，k=士 2w5 令m=k2≥0，f(m)=9m =9 5 m+1 解析：A选项，C1的圆心为(0,0)， m十：f(m)随m增大而增大，因此m 半径r1=2,C2的圆心为(3,0)，半径 越小f(m)的值越小。 r2=2,直线l:kx一y=0。 2最小可取0，此时f(m)的值最 原点到1的距离d,=0,故直线l 小，L2的值最大，故k=0,D错误。 与C1恒相交。C2的圆心到1的距离 故选C。 3k d2= 直线1与C2相交，则 √k2+1 代数法、几何法和数形结合法是解 答直线与圆中存在性问题的三大策略， d,<2,即962<0+4,2<有改为 其中数形结合法应用得更加广泛。同 不能取全体实数，A错误。 学们应用上述三种方法解题时，需要灵 B选项，易知L1=2√r一d=4。 活选择，根据题目特点可综合应用，找 到思考量、计算量小的解题思路，保证 9k2 L2=2√r-d=2 4 k2+19 解题正确的同时，提升解题速度。 9k2 注：本文系中山市教育科研2023年 令L1=L2,即4=24 k2+1 立项课题“新课标下高中数学问题情境 创设的实践研究”（课题编号：B2023140) 化简得4=4 9k2 2+1,解得飞=0，仅1 的阶段性研究成果。 条直线，B错误。 (责任编辑徐利杰) 21