多元视角下的圆锥曲线解题策略重构-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解题篇创新题追根溯源 中学生数理化离数学202年月 多元视角下的圆锥曲线解题策略重构 ■河南省林州市第一中学 王军杰郭晓娟 在新高考改革持续深化的背景下，高考数 视角一：应用点在曲线上配凑出斜率的 学试题的命制呈现出灵活性突显、情境性强 形式 化、综合性提升的显著特征，题目设计更注重 由题意知M,N两点不在x轴上，所以 对核心素养与思维能力的考查。为适应这一 x1≠士√2，x2≠士√2，m≠士√2。 命题趋势，我们的应考策略需同步迭代升级， 又点A(一√2,0)，B(2,0),故k1= 精准对接高考导向。除了要扎实掌握常规解 题方法与专项技巧，还应着力强化方法技能与 。 由 +y=1,得 x:一√2 思维模式的迁移能力。通过“一题多解”拓展 x1-√② 解题视角，打破思维定式，探索不同知识模块 x1+√2 2y,。从而由已知条件， 间的内在关联；借助“一题多变”（如改变题目 条件、设问方式、图形结构等)深化对问题本质 2,得-二2=2y 2y1 x:-2即(m1-2). 的理解，提升应对陌生情境的适应能力。唯有 (x2-2)=-4y1y2。② 如此，才能在试题形式不断变化的情况下，牢 牢把握解题的核心逻辑与本质规律，实现“以 易知x1=ty1十m,x2=ty2十m。③ 不变应万变”的应考目标，最终稳步提升数学 将③代入②得(t+4)y1y2+(m一√2)· 学科核心素养与综合解题能力。 t(y1+y:)+(m-2)2=0。 题目：已知点F,(一1,0)，圆F2:(x 将①代入上式并整理得(t2+4)(m一2) 1)2+y=8,点Q在圆F。上运动，QF1的垂 +(m-√2)t(-2mt)+(m-√2)2(t2+2)= 直平分线交QF。于点P。 0。因为m一√2≠0，所以(t+4)(m+√2)+ (1)求动点P的轨迹C的方程； t(-2mt)+(m-√2)(t+2)=0。整理得 (2)动点P的轨迹C与x轴交于A,B 两点(A在B左侧)，直线1交轨迹C于M, 6m+2√2=0，即m=- 怎故直线（恒过定 N两点(M,N不在x轴上)，直线AM,BN 的斜率分别为k1,k2,且，=2k2,求证：直线 点( 1过定点。 在此视角下，先通过解析几何中常规的 解析：(1)依题意得|PF,|十|PF:|= “设而不求”，利用点和斜率之间的关系建立 QF=2√2，则动点P的轨迹是以F1,F 等式，而解决问题的关键是应用点满足曲线 为焦点的椭圆，其中a=√2，c=1,b2=a2 方程，由不对称转换为对称形式。题目中的 c2=1。 点在上满足+=1若=1- 所以动点P的轨迹C的方程为写+y-1。 a-x,y=-b·（x-a a2·y1 ,进而应用 (2)设直线l的方程为x=ty+n, a2x1十a M(x1,y1),N(x2,y2)。 对称韦达定理求解。此法也可看作是应用椭 由2=1+m, 圆的第三定义进行转换，计算过程明显减少， 得(t2+2)y2+2mty+ x2+2y2=2, 利于同学们掌握，可以作为此类问题的通法 m2-2=0。 由根与系数的关系得 进行重点练习。 2mt 视角二：应用韦达定理中的和积互换来 y1十y2= t2+2 处理非对称形式 ⑦ n2-2 y1y2= 易知k,= ,k1= t2+2。 xg-√2 42 解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年6月 中学生数理化 y·(ty:+m-②)_ty1y:+(m②)y= 2k2,即2= =十2 y1·(x2-√2) y·(ty1+m+√2)ty1y:+(m十√2)y: k2 y y2·(x1+√2) ty1y:+(m-√2)(y1+y)-(m-√2)y2 ty1y2+(m+√2)y2 y1·(t+m-√2)_ty1y,+(m-2)y1 把上面的韦达定理 y2·(ty1+m+√2)ty1y2+(m+2)y 2mt 由上面 的韦达定理得： y1+y= t2+2' 代入上式可得2= k 2mt m2-2 k。 y1+y2= t+2' 1y2= t2+2 yiy:=m-2 t2+2。 t.m-2 是+m() -(m-√2)y: 则ty1y2=- m2-2 2m ·(y1+y2)。 t.n+m+2) t2+2 所以2==：十m-@y =二m-2)tm-E)+(+2)y] k ty1y2+(m+√2)y: (m+√2)[t(m-√2)+(t2+2)y:] _m2-2 ·(y1+y)+(m-√2)y1 =-m- ,从而解得m=一 √2 2m m+√2 3 m2-2 2m ·(y1+y)+(m+√2)y 枚直线恒过定点(-誓。小 m-E)产y+(2-m)y=-m- ,从而 从该视角来看，解题的关键是：当处理分 (2-m)y1+(m+√2)y2 n+√2 于分母中系数不对称的y1y:时，先构造出 解得m= √2 对称的y1十y2和y1y:形式，使表达式中仅 剩余单个的y1或者y,再通过约分运算推 故直线1恒注定点(-号o小： 导出t,m的关系，进而解决定点问题。此方 法的优点是逻辑清晰、步骤明确，仅通过对称 从该视角出发，解题的核心在于运用韦 形式构造和基础约分即可拆解问题难点，降 达定理的根与系数关系。将表达式中的y1十 低了运算失误的概率。同时，该方法通用性 y:和y1y2进行替换，仅保留含y1,y:的关 强，适用于各类含双变量且系数不对称的定 系式，再通过约分消去多余项，最终推导出t 点问题求解，无论是基础题型还是复杂变式， 与m的关联，从而解决定点问题。此方法能 都能高效解题，助力同学们形成稳定的解题 精准契合同学们的认知规律，将烦琐的抽象 思路，提升解题效率与准确率。 知识转化为直观易懂的形式，其流程简洁明 视角四：应用逻辑处理上面分式中的对 了，无需复杂的准备工作，其实施步骤更具灵 应关系，即先猜后证 活性和可操作性，也可以作为处理此类问题 的首选策略。 对于上面的式于2= x+√2 k 视角三：应用韦达定理进行半配凑，构造 y2 x:一√2 部分对称形式从而处理 y1·(x:一√2) y1·(ty2+m-√2) x+2,,=y 易知，=y1 2:一2，， y:·(x1十√2) y:·(ty1+m+√2) ty1y:+(m-√2)y1 2k,即2=4=x1十2 =y1·（x,-2) ty1y:+(m+√2)y y2·(x1+√2) yy:+(m-巨)y十y:)-(m-E),逻 x2-√2 ty1y:+(m+√2)y2 43 中学生表理化然题皱学新隔车视酒 辑上考虑，假设式于成立，即必然约分后为定 f:(x,y)=0有交点，则过两条曲线交点的二 值2，所以分于分母对应系数成比例，也就是 次曲线系方程可设为f1(x,y)十入f:(x,y)=0 ty1y2十(m一√2)(y1十y2)用韦达定理表示 (入为参数)。该方程表示所有过两条曲线交 后不含y2,要想让式于约分成为定值，它们 点的二次曲线，但不包括曲线C本身。 的系数必然有2=一m一2 本题中过A,M,B,N四点的曲线系既 ,从而解得m= m+√2 可以看作直线AM和直线BN与椭圆相交形 成，也可看作是直线AB和直线MN与椭圆 3。故直线1恒过定点(- 相交形成。设直线BN:y=k(x一√2)，直线 我们再来证明当m= 时 AM:y=2k(x+√2)，直线AB的方程：y= 0,直线MN:x=ty+m,所以过A,B,M,N 此时上面式于仍然成立，即 四点的曲线系方程可以写成：[y一k(x一 2√2 √2)]·[y-2k(x+2)]+y(ty-x+m) 2mt 31 y1十y2= t2+2t2+21 =0,整理可得2k2x2十(1十t)y2+(m 16 √2k)y一(3k十)xy一4k2=0,即存在恰当 yiy:=m:-2 9 的4使得上式为椭圆x2十2y2一2=0。 t2+2 t2+2° 2k2=1, yi 对比系数可知um一√2k=0,从而解得 所以一 x1十√2 3k十=0， k2 x:-√2 √2 m 39 =y1·(x2-V2) y:·(x1+√2) 故宜线1：r=w十m恒过定点（号小 4② tyiy:- 从这一解题视角出发，核心是运用到二 3 y1+y)+42 3y: 次曲线系的解题方法。该方法虽超出高考 22 tyiy:+3y: 常规考查的知识范畴，不属于高考必学内 32 容，但在高校的强基计划招生考核与数学竞 1 4w2 赛培训中，却是必须熟练掌握的核心知识 =+2 3x: =2,显然成立。 点，是提升解题能力的关键内容之一。因 16 9 ,22 此，引入并运用二次曲线系方法，不仅能打 t2+2 3 破同学们局限于高考考点的知识框架，有效 拓展数学知识视野，还能针对性地锻炼同学 所以上面猜测成立，即m=一 巨，故直 3 们的抽象思维、逻辑推理与综合分析能力， 线恒过定点（怎小 助力同学们形成更高效、更灵活的解题思维 模式。 从该视角出发，解题更加注意到了计算的 在高中数学学习中，坚持落实“一题多 逻辑性，还能更好地简化运算流程，尤其针对小 解”，无疑是提升学科核心能力的高效且关键 题或无须呈现解题步骤的题目，这种思路能帮 的路径。同时，一题多解的实践过程也能推 助快速锁定答案，同时还能培养同学们敢于联 动我们从“被动会做题”向“主动会思考”的 想、大胆猜测、小心求证的数学思维。 稳步提升，逐步形成严谨、灵活、全面的数学 视角五：应用二次曲线系策略来处理非 思维模式，为后续高等数学学习筑牢坚实的 对称形式 思维根基，真正实现学科能力质的提升。 若两条曲线C1:f1(x,y)=0和C: (责任编辑徐利杰) 44