例析“隐圆”在解析几何中的应用-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

名师在线 糖隐园”在解儿何中酸变肩 ■甘肃省天水市玉泉中学 王旭彤 在一些数学问题中，题目并未直接 距离等于1，则实数a的取值范围是 呈现圆的图形、定义或方程，需要通过 ( ）。 分析条件、几何转化、代数变形，挖掘出 A.[-2√2-3，-2√2-1] 问题中隐含的圆（或圆的轨迹方程），再 B.[-2√2-3,22-1] 借助圆的几何性质来求解，这类问题称 为“隐圆”问题。隐圆问题综合性较强、 C.[-22-3,-2√2-1]U[22 难度较大，它既承接了初中平面几何中 +1,2√2+3] 圆的相关知识，又融入了高中阶段平面 D.[-2√2-3，-2√2-1]U[2√2 向量、解三角形、解析几何等内容，具有 -3,22-1] 高度的综合性与灵活性。下面通过实 思路分析：先求出点P的轨迹方 例，对常见的隐圆问题进行归类与分 程（一个圆），再根据条件“|PQ=1”知 析，供同学们参考。 P也在另一个圆上，转化为两圆有公共 类型一：到定点的距离等于定长 点问题求解。 根据圆的定义，平面内到一定点的 解：直线l1:y=tx+5过定点 距离等于定长的点的轨迹为圆。因此， 当问题中出现动点满足某线段长度为 A(0,5),直线l2:x十ty-t十4=0过 定点B(-4,1),且直线11⊥12。 定长时，即可联想到该动点的轨迹为 圆，例如条件“|MA|=r”(其中M为 因此点P(x,y)的轨迹是以线段 动点，A为定点，r为定值)即为典型的 AB为直径的圆（除点(0,1）外)，圆心 隐圆模型。 C(-2,3),半径r=22。 例1已知直线l1:y=tx+5(t 圆C的方程为(x+2)2+(y-3) ∈R)与直线l2:x+ty-t+4=0(t∈ =8(x≠0且y≠1)。 R)相交于点P,且点P到点Q(a,3)的 又Q(a,3),|PQ|=1,故点P在 16 名师在线 圆Q:(x-a)2+(y-3)2=1上 C与圆O有公共点，则R一r≤IOC|≤ 依题意知，圆C与圆Q有公共点， R十r,即可求实数a的最大值。 于是2√2一1≤|CQ|≤2√2+1，即 解：由题意可知：圆C:(x一a十 2√2-1≤|a+2|≤2√2+1。 1)2+(y-a-2)2=1的圆心C(a-1, 解得-22-3≤a≤-22-1或 a+2),半径r=1。 则MA=MO+OA,MB=MO+ 2√2-3≤a≤2√2-1，故选D。 OB=Mò-OA,其中O为坐标原点。 类型二：数量积为定值 可得MA·MB=(Mò+OA)· 圆定义的衍生：一动两定点，且满 (MO-OA)=|Mò12-1OA12= 足PA·PB=入（入为常数），则点P的 MO12-4=5,则|MO=3。可知点 轨迹是圆。 M的轨迹是以O(0,0)为圆心，半径R 推导过程：由于|AB|为定值，设AB =3的圆，设为圆O。 的中点为M,根据平面向量极化恒等式 由题意可知，圆C与圆O有公共 可得PA.P店=Pi-1A-入→ 点，则R-r≤|OC|≤R+r,即2≤ √/(a-1)2+(a+2)2≤4。 IPMI-+ABI 故动点P是以AB的中点M为圆 解得-√23+1 ≤a≤23-1 2 心，A+4AB12为半径的圆。 实数a的最大值为23-1 2 ,选A。 例2已知点A(-2,0),B(2, 类型三：到两定点的夹角为直角 0),若圆C:(x-a+1)2+(y-a-2)2 若动点P对两定点A,B满足 =1上存在点M满足MA·MB=5, PA⊥PB,即∠APB=90°，则P的轨 则实数a的最大值为( )。 迹是以AB为直径的圆（除去A,B两 A.23-1 B23-1 点)。 2 4 例3已知直线y=kx十m(km C.23+1 D.23+1 ≠0)与x轴和y轴分别交于A,B两 2 4 点，且|AB|=2√2，动点C满足CA⊥ 思路分析：由题意可知，圆心C(a -1,a+2),半径r=1,则MA=MO+ CB,则当k,m变化时，点C到点D(1, OA,MB=M0+OB=Mò-OA,其中 1)的距离的最大值为( ）。 O为坐标原点。由MA·MB=5,可知 A.42 B.3√2 点M的轨迹是以O(0,0)为圆心，半径 C.2√2 D.√2 R=3的圆，设为圆O。由题意可知，圆 思路分析：先求得A,B两点坐标， 17 名师在线 根据|AB|=2√2得到 +m2= 推导过程：由于|PA2+|PB2 (PA+PB)2-2PA·PB,设AB的中 8,再结合CA⊥CB可得到C的轨迹为 点为M,则由向量关系与极化恒等式 圆，求得该动圆的方程，即可求得答案。 可知(PA十PB)2-2PA·PB 解：由y=kx+m(km≠0)，得 A(-g0小，B(0,m).由AB1=22, 4Pi2-2Pi-1A店）=X。 得(+m-8。 整理可得Pi-含+A方，显然 由CA⊥CB,得AC·BC=0。设 动点P是以M为图心合+丽 C(x则+y小(y-m)= 为半径的圆。 例4在平面α内，已知线段AB o,即+g+-g 46+4 的长为4，点P为平面a内一点，且 =2,因此点C的轨迹为动圆。 |PA|2+PB|2=10,则∠PAB的最 设该动圆的圆心为(x',y),则x'= 大值为( )。 m =-2x',m=2y0 B. 4 代入（一）十m2=8,整理得+ c y”=2,即动圆的圆心在圆x2+y2=2 思路分析：建立直角坐标系，求出 上（除此圆与坐标轴的交点外）。 点P的轨迹为圆O,再根据PA与圆O 分析可知，点D(1,1)与圆x2十 相切时角最大求得结果。 y2=2上点(-1，一1)连线的距离加 解：以线段AB所在的直线为x 上圆C的半径，即为点C到点D(1,1) 轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平 的距离的最大值。所以最大值为 面直角坐标系Oxy。 W1-(-1)]+[1-(-1)]+2= 设P(x,y),已知|AB|=4,不妨 3√2。 设A(-2,0),B(2,0)。 故选B。 由PA12+|PB12=10,得(x+ 类型四：到两定点距离的平方和为 2)2+y2+(x-2)2+y2=10。 定值 化简得x2+y2=1,即点P的轨 若动点P对两个定点A,B满足 迹是以O为圆心，1为半径的圆。 |PA|2+|PB|2=λ(A>0),则点P的 当PA与圆O相切时，∠PAB取 轨迹是圆。 得最大值，此时OP⊥PA,如图1所 18 名师在线 示。 B.x2+y2=7 因为OP C.x2+y2=5 =1,OA|=2, D.x2+y2=4 所以sin∠PAB 思路分析：根据椭圆C的离心率 -i∠P 可求出a=3。根据蒙日圆的定义，过 上顶点和右顶点的切线可得椭圆C的 为锐角，故 图1 蒙日圆方程。 ☑PAB的最大值为管 解：因为椭圆C: a+1十 -=1(a 故选A。 >0)的离心率为？，所以1 1 类型五：蒙日圆 √a+12 人y 在辅圆后+芳-1a>b>0)上， 解得a=3,所以椭圆C的方程为 a 22 任意两条互相垂直的切线的交点都在 T31。 同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中 易知椭圆的上顶点A(0,),右 心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方 顶点B(2,0)。 和的算术平方根，此圆叫作蒙日圆。 所以经过A,B两点的切线方程分 如图2所示，作椭圆的两条切线，切 点分别为A,B,O为原点，并且PA1 别为y=3,x=2。 PB,则点P的轨迹就是一个蒙日圆。 两条切线的交点坐标为(2，√3)。 又过A,B的切线互相垂直，且两 条切线的交点在一个与椭圆C同心的 圆上，故该圆的半径r=√22+（√3）2= 7。 因此椭圆C的蒙日圆方程为x2十 y2=7。 图2 故选B。 例5椭圆上两条互相垂直的切 线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 隐圆问题通常通过几何定义、代数 该圆称为原椭圆的蒙日圆。若椭圆C: 方程、向量运算、解三角形等知识，挖掘 x2 ,2 出动点的轨迹是圆，从而利用圆的性质 +义-1(a>0)的离心率为2，则 a+l'a (如圆心、半径、切线、弦长、位置关系 椭圆C的蒙日圆方程为( ) 等)解决问题。求解的关键在于识别模 A.x2+y2=9 型，准确转化。（责任编辑徐利杰) 19