方圆之间，大有乾坤-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

方圆之间， ■福建省泉州市第 圆是解析几何中重要的内容，与圆 有关的问题既可以从几何角度进行思 考，又可以从代数角度进行思考，方圆 之间，大有乾坤。下面立足圆的本质， 探究圆的考查方向，引导同学们梳理圆 的知识脉络，总结常考题型，发展数形 结合能力和学科素养。 一、考查圆的方程 例1设圆M的圆心M在直线 2x十y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均 在圆M上，则圆M的方程为。 解析：设圆M的方程为(x一a)2 +(y-b)2=r2(r>0)。 2a+b-1=0, 则{(3-a)2+b2=r2, a2+(1-b)2=r2。 解得a=1,b=-1,r2=5。 故圆M的方程为(x一1)2+(y+ 1)2=5。 二、考查与圆有关的轨迹问题 例2圆C:(x-1)2+(y-1)2= 1,点M是圆上的动点，AM与圆相切， 且|AM|=2,则点A的轨迹方程是 )。 A.y2=4x 名师在线 大有乾坤 七中学 彭耿铃 B.x2+y2-2x-2y-3=0 C.x2+y2-2y-3=0 D.y2=-4x 解析：已知圆C:（x一1)2十(y 1)2=1,故圆心C(1,1),半径r=1。点 M是圆上的动点，则|MC川=1。 又AM与圆相切，且IAM|=2,则 |AC1=√AM+r=5。设A(x, y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+ y2-2x-2y-3=0,选B。 三、考查与圆有关的最值问题 命题点1：利用几何性质求最值 例3（多选)已知实数x,y满足 x2+y2-4y+3=0,则( )。 A.当x≠0时，义的最小值是-√5 B.x2+y2的最小值是1 C.y-x的最小值是2-√2 D.|x十y+3|的最小值是2 解析：由x2十 y2-4y+3=0,得 x2+(y-2)2=1。 故该圆的圆心为 C(0,2),半径r= 1,如图1所示。 图1 13 名师在线 设兰-(x≠0)，表示圆上的点 (除去点(0,1)和(0,3)与原点O(0,0) 连线的斜率。 由y=x(x≠0)，得I-2到 ≤1， √1+k2 解得k≥√3或k≤一√3，故A错误。 x2+y2表示圆上的点到原点的距 离的平方。 因为圆心在y轴上，所以当x=0, y=1时，x2+y2取得最小值，最小值 为1，故B正确。 设y-x=b,则y=x十b。b表示 当直线y=x十b与圆有公共点时，直 线在y轴上的截距。 则 1b-2 ≤1，解得2-√2≤ 1+(-1) b≤2+√2，即y-x的最小值是2- 2,故C正确。 |x十y+3|表示圆上的点到直线 x+y+3=0距离的√2倍。圆心(0,2) 到直线x十y十3=0的距离d=5 2 则|x+y+3|的最小值为√2× (信一=5-2，故D指识 故选BC。 命题点2：利用对称性求最值 例4已知A(0,2),点P在直线 x+y+2=0上，点Q在圆C:x2+y2 -4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的 最小值是。 14 解析：因为圆C:x2+y2一4x一2y =0,即(x-2)2+(y一1)2=5，所以圆 C的圆心为C(2,1),半径r=√5。 设点A(0,2)关于直线x十y+2= 0的对称点为A'(m,n),所以 0+0士”十2+2=0 2 n-2 1。 m-0 m=一4故A'(-4,-2)。 解得 n=-2。 如图2，连接 A'C交圆C于点 Q,交直线x十y+ 2=0于点P,此时 IPA|+|PQI取得 最小值。由对称性 图2 可知IPA|+IPQ =PA'+PQI=AQI=ACI- =2√5。 小结：与圆有关的最值问题的求解 方法如下： (1)借助几何性质求最值，形如以 =y-b -x-at=ax+by,(x-a)2+(y- b)2的最值问题。 (2)建立函数关系式求最值，列出 关于所求目标式的函数关系式，然后根 据关系式的特征选用配方法、判别式 法、基本不等式法等求最值。 (3)求解形如|PM+|PN|(P为 动，点，M,N均为定，点)且与圆C有关的 折线段的最值问题的基本思路：①“动 化定”，把与圆上动，点的距离转化为与 圆心有关的距离；②“曲化直”，将折线 段之和转化为同一直线上的两个线段 之和，一般要通过对称性解决。 四、考查圆与圆的位置关系 例5（多选）已知圆C1:(x一1)2 +(y-2a)2=9,圆C2:x2+y2-8x+ 2ay十a2+12=0,a∈R。则下列选项 正确的是()。 A.直线C1C2恒过定点(3,0) B.当圆C1和圆C2外切时，若P, Q分别是圆C1,C2上的动点，则 IPQImax=10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切 线则a<号 D.当a=3时，园C与圆C,相交 弦的长度为3,6 解析：由圆C1:(x-1)2+(y-2a) =9,圆C2:x2+y2-8.x+2ay十a2+12 =0,a∈R,可知C1(1,2a),C2(4,-a), 故直线C,C2的方程为y十a=一a(x 4),即y=一a(x-3),直线C1C2恒过 定点(3,0)，A正确。 圆C1的半径r1=3。圆C2:x2+ y2-8x+2ay+a2+12=0,a∈R,可 整理为(x-4)2+(y+a)2=4,a∈R, 圆C2的半径r2=2。 当圆C1和圆C2外切时，|C,C2I =r1+r2=3+2=5,|PQI max= 1C1C2|+r1十r2=10,B正确。 名师在线 若圆C1和圆C2共有2条公切 线，则两圆相交。又|CC2|= √(1-4)2+(2a+a)2=√9+9a2,则 3-2<|C1C2|<3+2,即1<W9+9a2 <5,解得- 4 当a=专时，两圆相交。圆C:(x -1+-》 =9,圆C2:(.x-4)2 十(+号》°-4，将两方程相减可得公 59 共弦方程为6x-2y一 3 =0。则 C1,》到直线6x-2y 59 3 =0的距 6 4 59 33 3√/10 离为 ,圆C1与圆 √62+22 C2相交弦的长度为2X /9 310 4 3√6 2 ,D正确。 故选ABD。 小结：判断两圆的位置关系时常用 几何法，即利用两圆圆心之间的距离与 两圆半径之间的关系。 以上是从不同角度解决圆的相关 问题，同学们在日常学习中，应该追本 溯源，回归问题本质，以平实严谨的思 维去探寻解题思路，这样才能更好地培 养思维品质，提升运算、分析和解决问 题的能力。 (责任编辑徐利杰) 15