圆的方程一览无余-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

圆的方程 ■江苏省盐城市时 圆是一种比较完美的曲线，其定义 涉及定点、定长。求解点与圆、直线与 圆、圆与圆的位置关系时，既可用代数 方法，又可用几何方法，由于圆的特殊 性，利用几何方法以及数形结合会更容 易理解。部分同学对圆的方程中的概 念理解不足，易造成错解。下面进行简 要归纳，让同学们一览无余。 一、基本概念 1.圆的定义及方程 表1 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫 定义 作圆 标准 (x-a)2+(y-b)2 圆心(a,b),半径r 方程 r2(r>0) 园心（←？号） 一般 x2+y2+Dx+Ey+F 半 令 r 方程 =0(D2+E2-4F>0) √D2+E-4F 3 2.二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2+y2+Dx十Ey十 F=0的方程都认为是圆，一定要先判 断D2+E2一4F的值，只有其大于0 时才表示圆。 若x2+y2+Dx+Ey+F=0表 示圆，则有以下结论： 夯基固本 一览无余 场中学 刘长柏 (1)当F=0时，圆过原点。 (2)当D=0,E≠0时，圆心在y 轴上；当D≠0，E=0时，圆心在x 轴上。 (3)当D=F=0,E≠0时，圆与x 轴相切于原点；当E=F=0,D≠0时， 圆与y轴相切于原点。 (4)当D2=E2=4F时，圆与两坐 标轴相切。 3.点与圆的位置关系 点M(xo,yo),圆的标准方程(x一 a)2+(y-b)2=r2。 表2 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 (x。-a)+(y。-b)2=r2台点在圆上 三种情况 (x,-a)2+(y。-b)>r2台点在圆外 (x。-a)2+(y。-b)2<r2台点在圆内 4.直线与圆的位置关系及判断 (1)三种位置关系：相交、相切、相离。 (2)两种判断方法： ①代数法 联立方程得方程组消去x或y 得一元二次方程，△=b2-4ac △>0台相交， △=0台相切， △<0台相离。 7 夯基固本 ②几何法 圆心到直线的距离为d, 半径为r [d<r台相交， d=r台相切， d>r台相离。 5.圆与圆的位置关系（两圆半径分 别为r1,r2,圆心距为d) 表3 相离 外切 相交 内切 内含 量的 r1-r2 d= d d>r1十rg d=r1十r 关系 <r1十r r-r3 【注意】涉及两圆相切时，没特别说 明，务必要分内切和外切两种情况进行 讨论。 6.圆的切线与切线长 (1)过圆上一点的圆的切线： ①过圆x2+y2=r2上一点M(x0, y0)的切线方程是xx十yoy=r2。 ②过圆(.x-a)2+(y-b)2=r2上 一点M(xoyo)的切线方程是(xo一a)· (x-a)+(yo-b)(y-b)=r2。 (2)过圆外一点M(xo,yo)的圆的 切线求法：可用点斜式设出直线方程， 利用圆心到直线的距离等于半径求出 斜率k,从而得到切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率 不存在，其方程为x=x0。 (3)切线长：从圆x2+y2+Dx十 Ey十F=0(D2+E2-4F>0)外一点 M(x。,yo)引圆的两条切线，切线长为 √/x+y+Dxo+Eyo+F。 (4)两切点的弦长：利用等面积法， 切线长a与半径r的积的2倍等于圆 8 外点M与圆心的距离d与两切点弦长 b的积，即b= 2ar 【注意】过一点求圆的切线方程时， 要先判断点与圆的位置关系，以便确定 切线的条数。 7.圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长 通常有以下两种方法： (1)几何法。设圆的半径为r,弦 心距为1，弦长为1，则()】 =r2-d2。 (2)代数法。设直线y=kx十m 与圆(.x一a)2十(y一b)2=r2相交于点 A（x1,y1),B(x2,y2),由 (y=kx+m, x-a)2+(y-6)2=r, 可得到一个 关于x的一元二次方程，从而可求出 x1十x2,x1x2,根据弦长公式|AB|= √1+k√（x1十x2)-4x1x2得出结果。 二、概念相关题型 例1若圆C经过点A(2,5), B(4,3),且圆心在直线1：2x+y一7= 0上，则圆C的方程为()。 A.(x-3)2+(y-6)2=2 B.(x-2)2+(y-3)2=4 C.(x-2)2+(y-3)2=8 D.(x-3)2+(y-6)2=10 解析：设该圆的方程为(x一a)2十 (y-b)2=r2。 则圆心为(a,b),且2a十b一7=0。 将点A(2,5),B(4,3)代入方程 可得： (2-a)2+(5+2a-7)2=r2, (4-a)2+(3+2a-7)2=r2。 5a2-12a+8=r2, 化简得 5a2-24a+32=r2。 两式相减得12a-24=0,即a= 2,则b=7-2a=3,r2=5a2-12a+ 8=4。 该圆的方程为(x一2)2十(y一3)2 =4。选B。 例2直线1：λx-y+入+1=0 和圆C:x2+y2-4y-4=0交于A,B 两点，则|AB|的最小值为( ）。 A.22 B.2√6 C.4-2 D.√6 解析：依题意知，直线l:λx一y十 入+1=0过定点D(-1,1)。 圆C:x2+y2-4y-4=0,即x2+ (y-2)2=8,则圆心C(0,2),半径r= 22。 由|DC引=√2<2√2，可知点D在 圆C内，所以当且仅当直线λx一y十 λ+1=0与直线DC垂直时，直线截圆 所得的弦长最短。 则所求最短弦长为2√r2一DC? =2X√8-(2)2=2√6。故选B。 点评：与圆有关的弦长计算，常用 几何法，结合垂径定理、勾股定理求解。 涉及弦长的最值问题，应该注意直线所 过的定点坐标。 三、易错题型 例3过点(1,0)且与圆x2+ y2一4x一4y+7=0相切的直线方程 夯基固本 为()。 A.2x-y-2=0 B.3x-4y-3=0 C.2x-y-2=0或x=1 D.3x-4y-3=0或x=1 解析：圆x2+y2-4x-4y十7= 0,即(x一2)2+(y一2)2=1，圆心坐标 为(2,2)，半径为1。 过点(1,0)且斜率不存在的直线为 x=1,显然与圆(x一2)2+(y一2)2=1 相切，满足题意。 设过点(1,0)且斜率存在的直线为 y=k(x-1),与圆(x-2)2+(y-2)2 =1相切，则d=-2 =1=r,解得 k2+1 4。 所以满足题意的直线方程为3x一 4y一3=0或x=1。选D。 点评：过，点(1,0)且斜率不存在的 直线也满足题意，但容易被漏掉。 例4若点P(1,2)在圆x2+ y2一x十y十k=0外，则实数k的取值 范围为。 解析：因为点P(1,2)在圆x2+ y2-x十y十k=0外，所以： 1+22-1+2+k>0, (-1)2+12-4k>0。 解得-6<k<2。 点评：本题易忽视方程表示圆的条 件，而直接将(1,2)代入方程求解，造成 错解。 (责任编辑徐利杰)