精品解析：　湖北武汉中学2026-2027学年高二上学期十月月考数学试卷

武汉中学高二十月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线的斜率为，， 故答案为：A 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：A 3. 直线 与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可. 【详解】由题可列： ， 解得 ， 所以点 的坐标为 ， 因为直线， 即 恒过定点 ， 所以点到直线的最大距离为 ， 故选：B 4. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 5. 平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出C点需在第一象限内.可设.设圆心，半径为r，由，得到，利用基本不等式求出，圆M的面积最小. 【详解】为使圆M的面积尽可能小，则C点需在第一象限内. 可设. 因为，，所以线段AB的垂直平分线方程为. 所以圆心在直线上. 设圆心，半径为r，则， 所以， 所以， 所以（当且仅当，即时等号成立）. 所以. 此时，圆M的面积最小. 故选：A 6. 若直线 与曲线 ． 仅有一个公共点， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】解：曲线即， 即， 表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线恒过定点， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 7. 已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线的距离和的倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求. 【详解】 由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为点到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为. 故选：D 8. 已知圆C：．若直线l：上存在点P，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可求得，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于即可得． 【详解】解：根据题意，圆C：的圆心为，半径， 过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，连接， 若，则，又由， 则， 若直线l：上存在点P，满足， 则有C到直线l的距离， 解可得：，即m的取值范围为， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为135° B. 若直线的在两坐标轴的截距相等，则 C. 直线与直线垂直，则 D. ，原点到直线的距离为5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角、两直线垂直的充要条件以及点到直线的距离公式逐一进行检验即可. 【详解】对于选项A，当时，直线可化为，因为直线的斜率为，所以倾斜角为，故选项A正确； 对于选项B，分别令得到，若截距相等，则有，解得：或，故选项B错误； 对于选项C，由直线垂直的充要条件得：，解得：，故选项C正确； 对于选项D，由点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离，令，无解，所以不存在这样的，使得原点到直线的距离为5，故选项D错误， 故选：AC. 10. 已知曲线C的方程为，圆，则（ ） A. C表示一条直线 B. 当时，C与圆M有3个公共点 C. 当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D. 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可 【详解】由，得，即， 则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误； 因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确； 当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确； 当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题 11. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线过点， 圆，即①， 圆心为，半径为， 由于，所以在圆内.， 所以，此时，所以A选项正确. 若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误. 设，则，此时三角形是等腰直角三角形， 到直线的距离为，即， 解得或，所以C选项正确. 对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，， 所以的垂直平分线为，则②， 圆的方程为， 整理得③， 直线是圆和圆的交线， 由①-③并整理得， 将代入上式得，④， 由②④解得， 所以直线即直线的斜率为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用两直线平行，列出关系式，即可求解. 【详解】因为直线和直线平行， 可得，且，解得. 故答案为：. 13. 过点存在两条直线与圆相切，则实数的取值范围为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】题意说明点在圆外，由点与圆的位置关系求解． 【详解】由题意在圆外，所以，解得． 圆方程化为， 所以，或， 所以或． 故答案为：或． 14. 已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设点,根据列出关于的关系式,再数形结合分析即可. 【详解】设点,因为点是直线上的动点,故. 由得,化简得. 依题意可知,直线与圆至多有一个公共点, 所以,解得或.所以最小正整数. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）经过点，并且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由点以及截距式即可求得直线方程； （2）由直线与圆相切，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由几何法即可得到直线方程. 【小问1详解】 i.当截距都为0时，设直线方程为， 代入点得，故所求直线为，即. ii.当截距不为0时，设方程为， 代入得，解得， 故所求直线为； 综上：直线方程为或. 【小问2详解】 圆方程配方为， 圆心为，半径，代入，易得该点不在圆上， i.当切线斜率不存在时，即，与圆相切，符合题意； ii.当切线斜率存在时，设为，即， 由相切得：，解得， 故所求切线为，即. 综上：切线方程为或. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可. （2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案. 【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上， 所以，解得，故. （2）设由题知：， 所以，解得，即. ，直线，即：. ， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题. 17. 已知圆：与圆：. （1）求证：圆与圆相交； （2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1）证明： 圆：化为标准方程为， ∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为， ∴，∵.∴两圆相交； （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）由出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值 ，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，解得或 则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为， 则，即，解得， 故圆心，半径，∴所求圆的方程为. 18. 已知圆．圆心在直线上，且被直线截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）若，点，过的直线交圆于M、N两点．F为线段MN的中点，求线段AF长度的取值范围． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）由几何法求弦长以及点到直线的距离公式求出可得结果； （2）根据F为线段MN的中点，得，得点在以为直径的圆上，再根据点到该圆的距离加减半径可求出结果. 【小问1详解】 因为圆的半径为，圆被直线截得弦长为， 所以圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式得，所以，即， 由圆心在直线上，得，所以，得或， 所以圆的方程为或. 【小问2详解】 若，由（1）得圆的方程为. 因为F为线段MN的中点，所以， 所以点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为， 该圆圆心与点之间的距离为， 所以，即. 故线段AF长度的取值范围为. 19. 已知圆． （1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 如图，连接 设点， 以为圆心，为半径的圆的方程为① 又②，则线段为两圆相交弦， 故由①②得为直线的方程，即 所以，解得 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）讨论直线方程斜率不存在时，根据直线与圆相交弦长公式求弦长，检验是否符合；直线斜率存在时，设直线方程，根据直线与圆相交弦长公式，求出参数的值，即得直线的方程； （2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，进而求出弦长的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，求得直线的方程； （3）设点，，可得以为圆心，为半径的圆的方程，则线段为该圆与圆相交形成的相交弦，两圆方程作差可得直线的方程，即可求得直线过定点. 【小问1详解】 解：圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长， 所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1， 所以直线的方程为：或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉中学高二十月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 直线 与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过A，B，C三点，则圆的半径最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 若直线 与曲线 ． 仅有一个公共点， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 8. 已知圆C：．若直线l：上存在点P，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为135° B. 若直线的在两坐标轴的截距相等，则 C. 直线与直线垂直，则 D. ，原点到直线的距离为5 10. 已知曲线C的方程为，圆，则（ ） A. C表示一条直线 B. 当时，C与圆M有3个公共点 C. 当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D. 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 11. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则______. 13. 过点存在两条直线与圆相切，则实数的取值范围为______． 14. 已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）经过点，并且与圆相切的直线方程. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 已知圆：与圆：. （1）求证：圆与圆相交； （2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 18. 已知圆．圆心在直线上，且被直线截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）若，点，过的直线交圆于M、N两点．F为线段MN的中点，求线段AF长度的取值范围． 19. 已知圆． （1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $