直线方程的基本概念与常见题型-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

夯基固本 直线方程的基本忌与常见题型 ■山东省郓城第一中学 李月林 直线方程是通过建立平面直角坐 x2)的直线的斜率=y?一y 标系，利用代数方法研究几何问题。直 x2-x1 线方程中的概念较多，容易混淆。并且 (3)倾斜角α与斜率k的关系。 直线方程的几种形式，各有千秋，都有 当飞=0时，直线平行于x轴或与 相应的使用条件。下面就直线方程中 x轴重合； 的概念与常见题型进行梳理，以帮助同 当k>0时，直线的倾斜角为锐角， 学们更好地认识直线方程。 k随倾斜角的增大而增大； 一、基本概念 当k<0时，直线的倾斜角为钝角， 1.直线的倾斜角 随倾斜角的增大而增大。 (4)直线方程的五种形式。 (1)定义：当直线1与x轴相交时， 我们以x轴作为基准，x轴正向与直线 表1 1向上的方向之间所成的角叫作直线1 形式 几何条件 方程 适用范围 的倾斜角。当直线L与x轴平行或重 过一点(xy) 与x轴不垂 点斜式 y-yo=k(x-xo 斜率k 直的直线 合时，规定它的倾斜角为0。 与x轴不垂 (2)取值范围：直线1倾斜角的取 斜截式 纵载距b,斜率k y=kx+b 直的直线 值范围是[0，π)。 过两点(x1y1), 与x轴y轴均 2.直线的斜率 两点式 y-yI x一x1 (x2,y2) y2-y1 不垂直的直线 (1)定义：一条直线的倾斜角α的 不含垂直于 正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用 载距式 横载距a,纵载距从 x上 b 坐标轴和过 小写字母k表示，即k=tana,倾斜角 原点的直线 Ax+By+C=0 是的直线没有斜率。 平面直角坐标 一般式 (A2+B2≠0) 系内所有直线 (2)过两点的直线的斜率公式：经 【注意】直线的横（纵）截距是直线 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠ 与x轴(y轴)交点的横（纵）坐标，它可 夯基固本 正、可负，也可以是零，而“距离”是一个 (2)平行于已知直线Ax+By十C 非负数。 =0的直线系方程是Ax十By+入=0 3.两条直线平行与垂直的判定 (入是参数且A≠C)。 (1)两条直线平行。 (3)垂直于已知直线Ax十By十C ①对于两条不重合的直线11,12， =0的直线系方程是Bx一Ay十λ=0 假设其斜率分别为1，k2,则11∥12台 (入是参数)。 k1=k2。 (4)过直线L1:A1x+B1y+C1=0 ②当直线11,12不重合且斜率都 和l2:A2x+B2y十C2=0的交点的直 不存在时，l1l2。 线系方程是A1x+B1y十C1十入(A2x (2)两条直线垂直。 +B2y十C2)=0(A∈R,但不包括12)。 ①两条直线11,12的斜率存在，设 三、对称问题 为k1,k2,则11⊥12台k1·2=一1。 (1)点关于点对称：点P(x,y)关 ②当其中一条直线的斜率不存在， 于点Q(a,b)的对称点P'(x',y)满足 而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2。 x'=2a-x, 4.两条直线的交点的求法 y'=2b-y。 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2: (2)点关于线对称：设点Q(a,b) A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2, 关于直线Ax十By+C=0(B≠0)的对 B2,C2均为常数)，11与12的交点坐标 称点Q'(m,n),则： (Ax+Biy+C1=0, 是方程组 的解。 A2x+B2y+C2=0 5.两种距离公式 A· a十m+B· b十n (1)点P(xo,yo)到直线l:Ax十 PN 2 +C=0。 Axo+Byo+C 四、常见题型 By十C=0的距离d= √A+B 例1直线(4a2-2)x-2y+3=0(a (2)两条平行线Ax+By+C1=0 为常数)的倾斜角的取值范围是()。 与Ax+By+C2=0间的距离d= A.o,u经 ICI-C2l √A2+B Bu肝网 二、直线系方程的常见类型 (1)过定点P(xo,y)的直线系方 c.o.2)() 程是y一y,=k(x-xo)(k是参数，直 线系中未包括直线x=x。),也就是直 no,u腰 线的点斜式方程。 解析：设直线(4a2一2)x一2y+3 5 夯基固本 =0的倾斜角为a,则0≤a<π。 方程。 易知直线的斜率tan&= 4a2-2 (2)待定系数法：①设所求直线方 2 程的某种形式；②由条件建立所求参数 2a2-1≥-1。 的方程（组）；③解这个方程（组）求出参 当-1≤tana<0时， 3r∠a<r 数；④把参数的值代入所设直线方程。 例3已知直线过点(2,3)，它在 当ane≥0时，0a<号 x轴上的截距是在y轴上的截距的2 综上所述，该直线的倾斜角的取值 倍，则此直线的方程为 解析：当直线经过原点时，直线方 范园是0，U不. 3π 3 故选D。 程为y=2x。 点评：求倾斜角的取值范围的常见 当直线不经过原点时，设直线方程 步骤如下： 为+义=1，把点(2,3)代人上式得 (I)求出斜率=tana的取值范围； 2a'a (2)利用三角函数的单调性，借助 2+3=1,解得a=4. 2a a 图像，确定倾斜角α的取值范围，求倾 故直线的方程为x十2y=8。 斜角时要注意斜率是否存在。 综上可得，直线的方程为3.x一2y 例2已知△ABC的三个顶点分 =0或x十2y-8=0。 别为A(1,1),B(3,1),C(4,5),M为 点评：本题易忽视直线经过原点， AB的中点，则中线CM所在直线的方 截距为0的情况。 程为( )。 例4若直线x十ay-2a-2=0 A.2x+y-3=0 与直线ax十y一a一1=0平行，则实数 B.2x-y+3=0 a的值为( C.2x+y+3=0 )。 A.0 B.1 D.2x-y-3=0 C.-1 D.士1 解析：易知点M的坐标为(2,1)。 解析：由题意得，1X1-a×a=0, 由直线的两点式方程得 y-1x-2 5-14-2 解得a=士1。当a=-1时，两条直线 即2x-y-3=0。 均为x一y=0(两者重合)，不满足题 故选D。 意。经检验a=1满足题意。 ,点评：直线方程的常用解法如下。 故选B。 (1)直接法：根据已知条件，选择适 ,点评：本题易忽视两条直线重合的 当的直线方程形式，直接写出直线 情况，引起增解。（责任编辑徐利杰）