直线方程常考题型归纳 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线方程 知识梳理 一、倾斜角和斜率 1、倾斜角的定义 当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正方向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .因此倾斜角的取值范围是 在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相等，方向不同的直线倾斜角不等.所以倾斜角是从“形”的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺. 2、斜率的定义与存在条件 把直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作 由定义立刻得到适用范围：倾斜角为 的直线没有斜率（ 无意义），倾斜角不是 的直线都有斜率.也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界. 若知道直线上两点的坐标，则过两点 、 且 的直线， 当 时该直线竖直，斜率不存在. 3、斜率随倾斜角的变化：分段单调 由这张图直接读出结论： 时 随 增大而增大且 ； 时 也随 增大而增大但 .两段上都是增函数，却分别在 的两侧趋向 与 ，中间间断.所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是错的，跨过 直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论. 二、直线方程的五种形式 1、五种形式的定义 平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定.把这些确定条件翻译成关于 的方程，就得到直线的各类方程形式；条件不同、写法不同，于是有下面五种形式. （1）点斜式：已知直线上一点 和斜率 ，方程为 . （2）斜截式：已知斜率 和直线在 轴上的截距 ，方程为 . （3）两点式：已知直线上两点 、，方程为 . （4）截距式：已知直线在 轴、 轴上的截距分别为 ，方程为 . （5）一般式：关于 的二元一次方程 （其中 不同时为 ）. 2、各形式的成立条件与表示不了的直线 每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏，对应的一类直线就无法用它表示.把五种形式逐条对照如下. 形式（方程） 成立条件 条件不满足时表示不了的直线 点斜式 斜率 存在，且已知直线上一点 斜率不存在的直线（垂直于 轴） 斜截式 斜率 存在 斜率不存在的直线（垂直于 轴） 两点式 且 垂直于 轴的直线、垂直于 轴的直线 截距式 且 （两截距都非零） 过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线 一般式 不同时为 无，可表示平面内任意一条直线 3、特殊位置的直线 （1）水平直线：斜率 ，方程为 ；在一般式中对应 、. （2）竖直直线：斜率不存在，方程为 ；在一般式中对应 、. （3）过原点的直线：两个截距都是 ，可写成 或 ；其中 只覆盖斜率存在的情形，竖直的过原点直线（ 轴）要单独写出. 题型一　概念辨析 1、下列说法中正确的有( ) A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 2、下列叙述正确的是( ) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 D．若直线 与 轴相交，其向上的方向与 轴正方向所成的角为 ，则其倾斜角为 3、（多选）下列结论错误的是( ) A．若直线 ， 的斜率相等，则 B．若直线 ， 的斜率分别为 , ，且 ，则 C．若直线 ， 的斜率都不存在，则 D．若直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行 4、（多选）下列说法中不正确的有( ) A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直 C．过点 且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角 的范围是： ，且当倾斜角增大时，斜率也增大 5、（多选）下列说法正确的有( ) A．直线 的倾斜角为 B．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 C．过 、 两点的所有直线的方程为 D．设直线 的方程为 ，则直线 倾斜角的取值范围是 6、（多选）下列结论正确的是( ) A．方程 与方程 可表示同一直线 B．直线 过点 ，倾斜角为45°，则其方程是 C．直线 过点 ，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 题型二　由平行、垂直关系求参数 1、两直线平行的判定 设两条不重合的直线 ，倾斜角分别为 ，斜率分别为 . 斜率式：对于斜率分别为 的两条直线 ，有 .这个充要条件依赖两个前提，缺一不可：两条直线的斜率都存在，且 与 不重合. 一般式判定：设 ，（每个式子里 不同时为 ）.（1）当 时， 且 ； （2）当 时，. 由平行关系求参数的操作口径：用 只能算出“平行或重合”，因此解出参数后必须代回原方程检验，重合的舍去.一般式的这套判法避开了对斜率是否存在的讨论，能少掉一半漏解的可能. 2、两直线垂直的判定 斜率式：若 的斜率都存在，则 . 一般式判定：设 ，，则无条件地有 . 1、“ "是“直线 与直线 互相平行"的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、已知 :直线 与直线 平行， ，则 是 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、（多选）已知直线 ，则下列说法正确的是( ) A． 可能垂直于 轴 B． 可能垂直于 轴 C．若 ，则 D．若 ，则 4、已知 ，两直线 ，若 ，则 的最小值为( ) A．3 B．2 C． D． 题型三　求直线方程 结论一：在两坐标轴上的截距相等或互为相反数 先把“截距”说清：直线与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线在 轴上的截距.截距是数，可正、可负、可为零，它不是距离. 结论：截距相等：①过原点；②； 截距互为相反数：①过原点；②； 结论二：过定点 且到两定点 距离相等的直线 结论：过点 的直线 到定点 的距离相等 ；② 过线段 的中点. 结论三：过定点 （）的直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小 设直线 与 轴正半轴交于 、与 轴正半轴交于 ，其中 .因为两个截距都非零、且直线不与坐标轴平行，截距式适用，可设 三角形 的面积 . 点 在 上，所以 由基本不等式得 两边平方，化去根号得 所以 ，当且仅当 时取到，即 取等条件是本题最容易被忽略的一步，它本身也在几何上说明了一件事：此时 、，而 即 恰好是线段 的中点.也就是说，“面积最小”等价于“定点 平分这条截距线段”：此时两条截距分别是 与 ，. 适用范围与推广：这里要求 ，也就是直线必须落在 所在象限的这两条正半轴上；若 但都在负半轴，把 取成同号（如 自然为负），推导一字不改，面积改用 ，结论变成 . 1、过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 . 2、过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 . 3、已知直线 过点（1,3)，若 与 轴， 轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是( ) A．3 B． C． 5 D． 4、直线 经过点 ，且点 到它的距离相等，则 的方程为( ) A． B． C． 或 D． 或 5、已知直线 经过点 ，且 . 两点到直线 的距离相等，则 的方程为 . 6、已知点 、 . (1)若点 是直线 上的动点，且 ，求直线 的方程； (2) 若点 、 到直线 的距离相等，求实数 的值. 题型四　斜率和倾斜角取值范围问题 1、两直线的夹角 定义：两条直线相交时，所成的角有四个，其中不超过 的那个角叫做它们的夹角，所以两条直线相交时夹角 .两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为 ；两条直线垂直时，夹角为 .综合起来，两直线的夹角 . 公式：设两条直线的斜率分别为 （两个斜率都存在，且 ），则 用法要点：在夹角题里，若已知一条直线的斜率 与两条直线的夹角 ，求另一条直线的斜率 ，通常用 建立带绝对值的方程 .去绝对值时方程分成两支，得到两个解，它们对应两条关于已知直线对称的直线，不要漏掉其中一条. 2、过某点的直线和线段有交点 方法： 一条含参直线恒过定点 ，且要与线段 有公共点时，先求出 、，再利用几何直观读出直线绕 旋转扫过的角区间. 例 ．已知点 ，，直线 经过点 且与线段 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围，以及它的倾斜角 的取值范围. 解：由过两点的斜率公式得 ，， 即 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ；线段 上的点相对于 的方向，恰好铺满由 逆时针转到 的一段，其中跨过了竖直方向 . 当 时 ； 时 .故 或 .竖直直线 也过 且与线段有交点，但它没有斜率，故 只属于倾斜角范围，不进 的范围.故 1、设点 ，若过点 的直线 与线段 有公共点.则直线 的斜率 取值范围是( ) A． B． C． D． 2、已知点 ，若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、已知 ，直线 上存在点 ，满足 . 则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 4、直线 与直线 的夹角的正切值为 . 5、直线 和 的夹角的余弦值为 . 题型五　直线过定点问题 原理：关于参数的多项式恒等于零，等价于各项系数同时为零 例 1．已知直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，求点 的坐标. 解： 的方程里含 的项分散在两处，先把它们按 重新分组： 是定点，意思是存在一组 使上式对任意 都成立；把左边看成 的一次式，则 的系数 与不含 的常数项 必须同时为 ，否则只能解出唯一一个 使等式成立，谈不上恒成立.于是有 ，解得 ， ，故 . 1、无论 取何值，直线 总经过点( ) A． B． C． D． 2、已知直线 与直线 关于点 对称，则 恒过的定点为( ) A． B． C． D． 3、若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点( ) A． B． C． D． 题型六　与直线有关的对称问题 1、点关于点对称 定义： 两点关于点 对称，等价于 是线段 的中点. 公式：点 关于点 的对称点为 2、点关于直线对称 定义与条件： 关于直线 对称，等价于 是线段 的垂直平分线.这句话里含两个条件“垂直、平分”：连线 与 垂直；线段 的中点在 上. 方程组：设 、 关于直线 （）对称，则 第一式是“中点在 上”（把中点坐标代入 的方程）；第二式是“连线与 垂直”，即两斜率之积为 ，其中 就是 的斜率（由 得 ）.联立这两式即可解出 ， 3、直线关于点对称 关键性质：点关于点对称在几何上就是绕该点旋转 .一条直线绕某点旋转 后方向不变，所以对称直线与原直线平行，即 ，斜率不变（或两条都竖直）.同时，对称中心到两条直线的距离相等.这两条就是解这类题的全部抓手. 两种做法（根据个人喜好选择）： （1）相关点代入法（轨迹法）：设所求直线 上任一点 ，它关于 的对称点为 ；这个点在已知直线 上，所以把 代入 的方程，整理得到的就是 的方程.这一步之所以成立，是因为两直线上的点关于 一一对应， 上任意点的对称点必在 上， 上任意点的对称点也必在 上. （2）取点法：在 上取两个点，分别求出它们关于 的对称点，由两点式写出 .取点时优先取 与坐标轴的交点，算起来最省. 4、直线关于直线对称 这一类分两种情形，必须先判断已知直线 与对称轴 是相交还是平行，两种情形的做法不同. （1）相交（ 与 有交点 ）：因为交点在对称轴上，它关于 的对称点是自身，所以 一定也过 . 做法是：先联立 与 的方程求出交点 ；再在 上取一个不在 上的点 ，按点关于直线对称的方程组求出 关于 的对称点 ；最后由 两点用两点式写出 .取 时优先取 与坐标轴的交点. （2）平行（）：此时 ，三条直线斜率相同. 做法是：设 与 的 系数相同、只差常数项；再在 上任取一点 ，求它关于 的对称点 ，把 代入所设方程定出常数. 1、与直线 关于 轴对称的直线方程为( ) A． B． C． D． 2、与直线 关于坐标原点对称的直线的方程为( ) A． B． C． D． 3、点 关于直线 的对称点为( ) A． B． C． D． 4、点 关于直线 的对称点 的坐标是( ) A． B． C． D． 5、直线 关于直线 对称的直线方程是( ) A． B． C． D． 6、已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的值为( ) A． 2 B． C． D． 题型七　三角形三线综合问题 方法： 题中给出某边上的高线时，说明高线与该边垂直，利用 求出该边的斜率，再由该边过已知顶点用点斜式写出方程，故高线的斜率就是边斜率的负倒数. 方法： 题中给出某边上的中线时，说明中线端点就是该边的中点，设未知顶点坐标后利用中点坐标公式表示中点，把中点坐标代入中线方程即得一个方程，故再与另一条已知条件联立就能解出该顶点. 方法： 题中给出角平分线时，把它看作对称轴：这个角的两边关于它对称，故一个顶点关于角平分线的对称点必落在对边上，利用点关于直线对称的方程组求出该对称点，再与已知顶点连成直线即可. 1、已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ，求： (1)顶点 的坐标： (2)直线 的方程. 2、已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的方程为 ，角 的角平分线交 边于点 所在的直线方程为 . (1)求点 的坐标； (2)求直线 的方程. 3、已知 的顶点 ，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为 (1)求直线 的方程； (2)若 边上的中线所在的直线方程为 ，求 的值. 课后作业 1、（多选）下列四个命题为真命题的是( ) A．经过定点 且方向向量为 的直线都可以用方程 表示 B．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程 表示 C．不经过原点的直线都可以用方程 来表示 D．方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 2、（多选）已知直线 ，直线 ，则( ) A．直线 过定点 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 3、下列说法正确的是( ) A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点 关于直线 的对称点为 C．直线 关于直线 的对称直线的方程为 D．直线 关于点 的对称直线的方程为 4、已知点 ，若直线 与线段 相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是( ) A． B． 或 C． D． 或 5、求直线 关于直线 对称的直线方程为 . 6、直线 与 轴、 轴分别交于 两点，求 面积的最小值和周长的最小值. 7、已知直线 经过点 . (1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； (2)若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程. 8、已知直线 的方程为 . （1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程 (2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程 9、已知 的顶点 的坐标为 ， 边上的中线 所在的直线方程为 的平分线 所在的直线方程为 . (1)求点 的坐标： (2)求直线 的方程 1 学科网（北京）股份有限公司 $直线方程 知识梳理 一、倾斜角和斜率 1、倾斜角的定义 当直线L与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正方向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直 线L的倾斜角：当直线1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°因此倾斜角的取值范围是 0≤a<π（即[0°，180）) 在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相 等，方向不同的直线倾斜角不等所以倾斜角是从“形的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺 2、斜率的定义与存在条件 把直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，记作k=tana. 由定义立刻得到适用范围：倾斜角为严的直线没有斜率(t严无意义)，倾斜角不是严的直线 都有斜率也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界 若知道直线上两点的坐标，则过两点P(x1y)、P2(x22)且x1≠x2的直线，k=2出： X2-X1 当x1=x2时该直线竖直，斜率不存在 3、斜率随倾斜角的变化：分段单调 y=tanx 由这张图直接读出结论：aE[0,)时k随a增大而增大且kE[0,+oo): a∈(，)时k也随a增大而增大但k∈(-o,0).两段上都是增函数，却分 别在的两侧趋向+∞与一∞，中间间断所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是 错的，跨过买直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论。 二、直线方程的五种形式 1、五种形式的定义 平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定把这些确定条件翻译成 关于x,y的方程，就得到直线的各类方程形式：条件不同、写法不同，于是有下面五种形式： (I)点斜式：已知直线上一点Po(xo,y0)和斜率k,方程为y-yo=k(x-xo) (2)斜截式：己知斜率k和直线在y轴上的截距b,方程为y=kx+b. (3)两点式：己知直线上两点R(x1y1)、P2(x2y2),方程为y-出=- y2-y1x2-x1 (4)截距式：已知直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,方程为+岩-1 (5)一般式：关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0). 2、各形式的成立条件与表示不了的直线 每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏， 对应的一类直线就无法用它表示.把五种形式逐条对照如下 形式（方程） 成立条件 条件不满足时表示不了的直线 点斜式y-yo=k(x-xo) 斜率k存在，且己知直线上一点 斜率不存在的直线（垂直于x轴） 斜截式y=kx+b 斜率k存在 斜率不存在的直线（垂直于x轴） 两点式必=红 y2-y1x2-x1 x1≠x2且y1≠y2 垂直于x轴的直线、垂直于y轴的直线 截距式+名=1 a≠0且b≠0（两截距都非零） 过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线 般式Ax+By+C=0 A,B不同时为0 无，可表示平面内任意一条直线 3、特殊位置的直线 (1)水平直线：斜率k=0,方程为y=y0;在一般式中对应A=0、B≠0. (2)竖直直线：斜率不存在，方程为x=xo;在一般式中对应B=0、A≠0. (3)过原点的直线：两个截距都是0，可写成y=kx或Ax+By=O;其中y=kx只覆盖斜率 存在的情形，竖直的过原点直线(y轴)要单独写出 2 题型一概念辨析 1、下列说法中正确的有() A.若两直线平行，则两直线的斜率相等 B.若两直线的斜率相等，则两直线平行 C.若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直 D.若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1 2、下列叙述正确的是() A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B.若一条直线的斜率为k=tana,则此直线的倾斜角为a C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° D.若直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(0°<a<90°)，则其倾斜角为 e 3、(多选)下列结论错误的是() A.若直线1，l2的斜率相等，则1/l2 B.若直线L1,2的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=1,则l1Ll2 C.若直线l1,2的斜率都不存在，则l1/2 D.若直线l1,L2的斜率不相等，则l1与l2不平行 3 4、(多选)下列说法中不正确的有() A.若两直线平行，则两直线的斜率相等 B.若两直线的斜率之积等于-1，则两直线垂直 C.过点1,1)且斜率为1的直线方程可表示为：号=1 D.直线倾斜角α的范围是：0°≤α<180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大 5、(多选)下列说法正确的有() A.直线V3x+y+1=0的倾斜角为120 B.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 C.过(x1y)、(x2y2)两点的所有直线的方程为业=- y2-y1x2-x1 D.设直线l的方程为y-xcos9+3=0,则直线1倾斜角的取值范围是0，孕U?,m) 6、（多选)下列结论正确的是() A.方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1,y1),倾斜角为45°，则其方程是y=(x-x1)+y1 C.直线l过点P(x1y1),斜率不存在，则其方程是x=x1 D.所有的直线都有点斜式和截距式方程 题型二由平行、垂直关系求参数 1、两直线平行的判定 4 设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为1,2，斜率分别为k1,k2 斜率式：对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1Ⅱl2台k1=k2.这个充要条件依赖两个前 提，缺一不可：两条直线的斜率都存在，且L1与l2不重合. 一般式判定：设l1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0(每个式子里A,B:不同时为 0)·(1)当B1B2≠0时，l1‖l2台A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0： (2)当B1=B2=0时，1Ⅱl2台A1C2-A2C1≠0. 由平行关系求参数的操作口径：用A1B2-A2B1=0只能算出“平行或重合”，因此解出参数后必 须代回原方程检验，重合的舍去.一般式的这套判法避开了对斜率是否存在的讨论，能少掉一半漏解的 可能 2、两直线垂直的判定 斜率式：若1，l2的斜率都存在，则11l2台k1k2=-1. 一般式判定：设l1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C2=0,则无条件地有l1⊥l2→A1A2+ B1B2=0 1、“a=1"是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、已知p:直线ax+5y-4=0与直线2x+(a+3)y+2=0平行，q:a=-5,则q是p的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、（多选)己知直线1：ax+4y-3=0,l2:x+(a-3)y+2=0,则下列说法正确的是() A.L1可能垂直于x轴 B.L2可能垂直于x轴 C.若a=-1,则l1l2 D.若l1‖l2,则a=-1 5 4、已知a>0,b>0,两直线4：x-2y+3=0,l2:x+(1-by-4=0,若12，则+号的最 小值为() A.3 B.2 C.3 D.2 题型三求直线方程 结论一：在两坐标轴上的截距相等或互为相反数 先把“截距”说清：直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，与y轴的交点 (O,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距截距是数，可正、可负、可为零，它不是距离 结论：截距相等：①过原点；②k=-1; 截距互为相反数：①过原点；②k=1; 结论二：过定点P且到两定点A,B距离相等的直线 结论：过点P的直线l到定点A,B的距离相等台①LIl AB;②I过线段AB的中点 结论三：过定点P(xo,yo)（x0>0,yo>0)的直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小 设直线l与x轴正半轴交于A(a,0)、与y轴正半轴交于B(0,b),其中a>0,b>0.因为两个截距 都非零、且直线不与坐标轴平行，截距式适用，可设1：后+若=1(a>0,b>0), 三角形A0B的面积S=ab 点P(xoyo)在l上，所以o+=1. 0 b 由基本不等式得1=2+治≥2必 ab 两边平方，化去根号得1≥→ab≥4xo%→S-2ab≥2xyo: ab 所以Smn=2xoyo,当且仅当=治=号时取到，即a=2xo,b=2yo 取等条件是本题最容易被忽略的一步，它本身也在几何上说明了一件事：此时A(2xo,0)、 0+2y№=y0' B0,2yo）,而2g9=x0,20 6 即P(xoyo)恰好是线段AB的中点.也就是说，“面积最小”等价于“定点P平分这条截距线段”： 此时两条截距分别是2。与20：5mm=·2x。·2y0=2xo0 适用范围与推广：这里要求α，b>0,也就是直线必须落在P所在象限的这两条正半轴上；若 xoy0>0但都在负半轴，把a,b取成同号（如a=2xo,b=2yo自然为负），推导一字不改，面积改 用S=引lbl,结论变成Smm=2 xoYol: 1、过点(3,1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 2、过点(2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 3、己知直线1过点(1,3)，若1与x轴，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S,则S的值可能是 () A.3 B.4 C.5 D.6 4、直线l经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等，则1的方程为() A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0 5、已知直线1经过点(0,1)，且A(-1,3).B(2,0)两点到直线1的距离相等，则1的方程 为 6、己知点A(-1,-2)、B(5,-4) (I)若点C是直线L1上的动点，且ICA=ICB|,求直线l1的方程： (2)若点A、B到直线l2:ax+y+1=0的距离相等，求实数a的值 题型四斜率和倾斜角取值范围问题 1、两直线的夹角 定义：两条直线相交时，所成的角有四个，其中不超过90°的那个角叫做它们的夹角，所以两条 直线相交时夹角0∈(0°，90]两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为0°；两条直线垂直时，夹角 为90°综合起来，两直线的夹角0∈[0°，90] 公式：设两条直线的斜率分别为kk2(两个斜率都存在，且1+k1k2≠0)，则tam0= 8 用法要点：在夹角题里，若已知一条直线的斜率k。与两条直线的夹角日，求另一条直线的斜率 k,通常用ta9定立带绝对值的方程一=tam9去绝对值时方程分成两支，得到两个解，它们对 应两条关于已知直线对称的直线，不要漏掉其中一条。 2、过某点的直线和线段AB有交点 方法：一条含参直线恒过定点P,且要与线段AB有公共点时，先求出kPA、kPB,再利用几何 直观读出直线绕P旋转扫过的角区间， 例.已知点A(-2,1),B(3,2),直线1经过点P(0,-1)且与线段AB有公共点，求直线l的斜率 k的取值范围，以及它的倾斜角α的取值范围 解：由过两点的斜率公式得kpA=巴=-1，kpB=2=1, -2-0 3-0 即PA的倾斜角为135°，PB的倾斜角为45°；线段AB上的点相对于P的方向，恰好铺满由45° 逆时针转到135°的一段，其中跨过了竖直方向 当a∈[45°，90)时k=tana∈[1，+o∞)；a∈(90°，135]时 B k=tana∈(-oo,-1].故k≥1或k≤-1.竖直直线x=0也过P 且与线段有交点，但它没有斜率，故α=90°只属于倾斜角范 围，不进k的范围.故a∈[45°，135]。 1、设点A(2,-3),B(-3,-2),若过点P(1,1)的直线1与线段AB 有公共点.则直线1的斜率k取值范围是() A.（-o,-4U[f+∞B.[-4,到 c.[-4 D.[ 2、已知点A(1,-1),B(2,4),若直线l:mx-y-4m+2=0与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取 值范围是() A.0U[,m) B.匠劉 C.[0,U[,m) D. 9 3、已知A(-1,0),B(0,2),直线l:2x-2ay+3+a=0上存在点P,满足|PA+IPB|=V√5.则a的 取值范围是() A.[-1,1] B.(-∞，-1]U[1,+∞)C.[-2,2] D.(-∞，-2]U[2,+∞) 4、直线x-3y+1=0与直线x+y-5=0的夹角的正切值为 5、直线2x+y-1=0和x-3y+2=0的夹角的余弦值为 题型五直线过定点问题 原理：关于参数的多项式恒等于零，等价于各项系数同时为零 例1.已知直线l:(2m+1)x+(m-1)y-5m-1=0(m为任意实数)恒过定点A,求点A的 坐标 解：1的方程里含m的项分散在两处，先把它们按m重新分组：(2m+1)x+(m-1)y-5m- 1=(2x+y-5)m+(x-y-1)=0.A是定点，意思是存在一组(x,y)使上式对任意m都成立：把 左边看成m的一次式，则m的系数2x+y-5与不含m的常数项x-y-1必须同时为0，否则只 能饼出唯一个m俊等式成立。该不上缸成立于是有中y-。解得x=2。y=1。故 A(2,1) 1、无论m取何值，直线mx+y+2m-1=0总经过点() A.(0,1) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-2,0) 10 2、已知直线l1:y=kx-2k+1与直线l2关于点(1,0)对称，则l2恒过的定点为() A.(2,1) B.(2,-1) C.(0,-1) D.(-1,-1) 3、若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于点(3,3)对称，则直线l2一定过定点() A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1) 题型六与直线有关的对称问题 1、点关于点对称 定义：A,B两点关于点P对称，等价于P是线段AB的中点， 公式：点P1(x1,y1)关于点M(a,b)的对称点为P2(2a-x1,2b-y1): 2、点关于直线对称 定义与条件：P,P2关于直线l对称，等价于l是线段PP2的垂直平分线这句话里含两个条件 垂直、平分”：连线PP2与1垂直；线段P1P2的中点在l上 方程组：设P1(x1,y1)、P2(x2y2)关于直线L:Ax+By+C=0(B≠0)对称，则 (4.+2+B.4+2+C=0, 2 ）=-1. X2-X1 第一式是“中点在l上”（把中点坐标代入l的方程)；第二式是“连线与l垂直”，即两斜率之积 为-1，其中一台就是1的斜率（由Ax+By+C=0得y=一合x-联立这两式即可解出 X2.y2 3、直线关于点对称 11 关键性质：点关于点对称在几何上就是绕该点旋转180°.一条直线绕某点旋转180°后方向不变， 所以对称直线与原直线平行，即11‖2，斜率不变（或两条都竖直）同时，对称中心到两条直线的距 离相等这两条就是解这类题的全部抓手 两种做法（根据个人喜好选择）： (1)相关点代入法（轨迹法）：设所求直线l2上任一点(x,y),它关于P(α，b)的对称点为 (2a-x,2b-y):这个点在已知直线L1上，所以把(2a-x,2b-y)代入L1的方程，整理得到的就 是2的方程这一步之所以成立，是因为两直线上的点关于P一一对应，2上任意点的对称点必在11 上，1上任意点的对称点也必在2上. (2)取点法：在L1上取两个点，分别求出它们关于P的对称点，由两点式写出2.取点时优先取 1与坐标轴的交点，算起来最省 4、直线关于直线对称 这一类分两种情形，必须先判断己知直线1与对称轴1是相交还是平行，两种情形的做法不同. (1)相交(11与l有交点P):因为交点在对称轴上，它关于l的对称点是自身，所以2一定 也过P 做法是：先联立1与l的方程求出交点P;再在L1上取一个不在1上的点M,按点关于直线对称 的方程组求出M关于1的对称点W;最后由P,W两点用两点式写出l2.取M时优先取L1与坐标轴的 交点 (2)平行(L1‖)：此时l2‖飞1Ⅱl,三条直线斜率相同 做法是：设l2与1的x,y系数相同、只差常数项；再在l1上任取一点M,求它关于l的对称点 N,把N代入所设方程定出常数， 1、与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线方程为() A.3x+4y-5=0B.4x-3y+5=0C.3x-4y-5=0D.3x-4y+5=0 2、与直线3x-4y+5=0关于坐标原点对称的直线的方程为() A.4x+3y-5=0 B.3x+4y+5=0C.4x-3y+5=0D.3x-4y-5=0 12 3、点A(1,2)关于直线：x+y-1=0的对称点为() A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,1) D.(-1,1) 4、点P(3,0)关于直线：2x-y-1=0的对称点Q的坐标是() A.(-2,-3) B.(-1,2) C.(-1,-3) D.(1,0) 5、直线x-2y-1=0关于直线y+x=0对称的直线方程是() A.2x+y+1=0B.2x-y-1=0C.2x-y+1=0 D.x-2y+1=0 6、己知直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为() A.2 B.6 C.-2 D.-6 题型七三角形三线综合问题 方法：题中给出某边上的高线时，说明高线与该边垂直，利用k高·k边=一1求出该边的斜率， 再由该边过己知项点用点斜式写出方程，故高线的斜率就是边斜率的负倒数 方法：题中给出某边上的中线时，说明中线端点就是该边的中点，设未知项点坐标后利用中点坐 标公式表示中点，把中点坐标代入中线方程即得一个方程，故再与另一条己知条件联立就能解出该顶 点。 13 方法：题中给出角平分线时，把它看作对称轴：这个角的两边关于它对称，故一个顶点关于角平 分线的对称点必落在对边上，利用点关于直线对称的方程组求出该对称点，再与已知顶点连成直线即 可 1、己知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在的直线方程为x-y=0,边AC上的高BH 所在直线方程为5x+y-10=0,求： (1)顶点C的坐标： (2)直线BC的方程. 2、己知△ABC的顶点A(1,7),边AB上的高线CH所在的方程为x+2y-1=0,角B的角平分线 交AC边于点M,BM所在的直线方程为x+y一2=0 (1)求点B的坐标： (2)求直线BC的方程 14 3、已知△ABC的顶点A(4,2),顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为x+2y+m=0. (I)求直线AB的方程； (2)若AC边上的中线所在的直线方程为x-y-4=0,求m的值. 课后作业 1、(多选)下列四个命题为真命题的是() A.经过定点P(xo,y)且方向向量为n=(1,k)的直线都可以用方程y-yo=k(x-x)表示 B.经过任意两个不同的点P1(x1y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程 (x2-x1)0y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程：+长=1来表示 D.方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)可以表示平面内的任意一条直线 15 2、（多选)已知直线l1:mx+y+2m-1=0,直线l2:x+my+2=0,则() A.直线L1过定点(-2,1) B.若L1/2,则m=±1 C.若l1⊥l2,则m=0 D.若m<0,则直线L1与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 3、下列说法正确的是() A.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,0) C.直线x-2y+3=0关于直线x+y-3=0的对称直线的方程为x-2y=0 D.直线y=3x+3关于点A(3,2)的对称直线的方程为3x-y-17=0 4、己知点A(-1,1),B(2,-2),若直线：x+y+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数 m的取值范围是() A.-2≤m≤- B.m≤-2或m≥-C.sm≤2 D.m≤或m≥2 5、求直线2x+11y+16=0关于直线3x+4y-1=0对称的直线方程为 16 6、直线y-2=k(x-2)(k<0)与x轴、y轴分别交于A,B两点，求△AB0面积的最小值和周长 的最小值 7、已知直线l经过点C(-2,3) (1)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程； (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,0为坐标原点，△AB0的面积为 S,求S的最小值及此时直线1的方程. 17 8、己知直线l1的方程为x-2y+4=0. (1)若直线l1和直线2关于点(0,0)对称，求直线l2的方程 (2)若直线l1和直线2关于直线y=x对称，求直线l2的方程 9、己知△ABC的顶点A的坐标为(-2,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x-2y-1= 0,LABC的平分线BN所在的直线方程为7x+y-12=0。 (1)求点B的坐标： (2)求直线BC的方程 18 直线方程 知识梳理 一、倾斜角和斜率 1、倾斜角的定义 当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正方向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .因此倾斜角的取值范围是 在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相等，方向不同的直线倾斜角不等.所以倾斜角是从“形”的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺. 2、斜率的定义与存在条件 把直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作 由定义立刻得到适用范围：倾斜角为 的直线没有斜率（ 无意义），倾斜角不是 的直线都有斜率.也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界. 若知道直线上两点的坐标，则过两点 、 且 的直线， 当 时该直线竖直，斜率不存在. 3、斜率随倾斜角的变化：分段单调 由这张图直接读出结论： 时 随 增大而增大且 ； 时 也随 增大而增大但 .两段上都是增函数，却分别在 的两侧趋向 与 ，中间间断.所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是错的，跨过 直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论. 二、直线方程的五种形式 1、五种形式的定义 平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定.把这些确定条件翻译成关于 的方程，就得到直线的各类方程形式；条件不同、写法不同，于是有下面五种形式. （1）点斜式：已知直线上一点 和斜率 ，方程为 . （2）斜截式：已知斜率 和直线在 轴上的截距 ，方程为 . （3）两点式：已知直线上两点 、，方程为 . （4）截距式：已知直线在 轴、 轴上的截距分别为 ，方程为 . （5）一般式：关于 的二元一次方程 （其中 不同时为 ）. 2、各形式的成立条件与表示不了的直线 每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏，对应的一类直线就无法用它表示.把五种形式逐条对照如下. 形式（方程） 成立条件 条件不满足时表示不了的直线 点斜式 斜率 存在，且已知直线上一点 斜率不存在的直线（垂直于 轴） 斜截式 斜率 存在 斜率不存在的直线（垂直于 轴） 两点式 且 垂直于 轴的直线、垂直于 轴的直线 截距式 且 （两截距都非零） 过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线 一般式 不同时为 无，可表示平面内任意一条直线 3、特殊位置的直线 （1）水平直线：斜率 ，方程为 ；在一般式中对应 、. （2）竖直直线：斜率不存在，方程为 ；在一般式中对应 、. （3）过原点的直线：两个截距都是 ，可写成 或 ；其中 只覆盖斜率存在的情形，竖直的过原点直线（ 轴）要单独写出. 题型一　概念辨析 1、下列说法中正确的有( ) A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【详解】对于 A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以 A 错误; 对于 B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以 B 错误； 对于 C ，若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直，故 C 正确; 对于 D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于-1，故 D 错误； 故选：C. 2、下列叙述正确的是( ) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 D．若直线 与 轴相交，其向上的方向与 轴正方向所成的角为 ，则其倾斜角为 【答案】C 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为 的直线不存在斜率，错： B：由于直线倾斜角的取值范围是 ，因此 不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当 时，直线斜率 ，但直线倾斜角为 ，错： C：与 轴垂直的直线的倾斜角是 ，与 轴垂直的直线的倾斜角是 ，对； D：如图，当 向上方向的部分在 轴左侧时，倾斜角为 : 当 向上方向的部分在 轴右侧时，倾斜角为 ，错. 故选：C 3、（多选）下列结论错误的是( ) A．若直线 ， 的斜率相等，则 B．若直线 ， 的斜率分别为 , ，且 ，则 C．若直线 ， 的斜率都不存在，则 D．若直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行 【答案】ABC 【详解】对 A ，直线 , 的斜率相等，则 或 与 重合，故 A 错误； 对 B ，当直线的斜率 时，有 ，故 B 错误； 对 C ，若直线 , 的斜率都不存在，则 或 与 重合，故 C 错误； 对 D ，直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行，正确. 故选：ABC. 4、（多选）下列说法中不正确的有( ) A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直 C．过点 且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角 的范围是： ，且当倾斜角增大时，斜率也增大 【答案】 ACD 【详解】对于A，若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故 A 错误； 对于 B ，若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直，故 B 正确： 对于 C ，过点 且斜率为1的直线方程为 ，而方程 中 ，故 C 错误： 对于 D ，直线倾斜角 的范围是： , 当 时，倾斜角增大时，斜率也增大；当 时，斜率不存在； 当 时，倾斜角增大时，斜率也增大.故 D 错误. 故选：ACD. 5、（多选）下列说法正确的有( ) A．直线 的倾斜角为 B．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 C．过 、 两点的所有直线的方程为 D．设直线 的方程为 ，则直线 倾斜角的取值范围是 【答案】 AD 【详解】对于A，直线 可得 ，则斜率 , 所以直线倾斜角 满足 ，又 ，即 ，故正确： 对于 B ，当截距不为 时，由直线截距式可设直线方程为 ，代入 得 ，解得 : 当截距为 时，可设直线方程为 ，代入 得 ，即 ，故错误； 对于 C ，根据直线方程两点式可知 ， 且 ，故错误； 对于D，由直线 的方程为 可得 ，斜率 ， 由 得 ，设倾斜角为 ，则 . 由 ，得 ，故正确. 故选：AD. 6、（多选）下列结论正确的是( ) A．方程 与方程 可表示同一直线 B．直线 过点 ，倾斜角为45°，则其方程是 C．直线 过点 ，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【详解】对于 A：方程 分母不为 ，要求 ，对应的直线不包含点 ，而 包含点 ，二者不能表示同一直线， A 错误； 对于 B ：倾斜角为 ，斜率 ，代入点斜式方程得 . 整理得 , B 正确: 对于 C ：斜率不存在的直线垂直于 轴，直线上所有点的横坐标恒为 ，方程为 , C 正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式， D 错误. 故选：BC. 题型二　由平行、垂直关系求参数 1、两直线平行的判定 设两条不重合的直线 ，倾斜角分别为 ，斜率分别为 . 斜率式：对于斜率分别为 的两条直线 ，有 .这个充要条件依赖两个前提，缺一不可：两条直线的斜率都存在，且 与 不重合. 一般式判定：设 ，（每个式子里 不同时为 ）.（1）当 时， 且 ； （2）当 时，. 由平行关系求参数的操作口径：用 只能算出“平行或重合”，因此解出参数后必须代回原方程检验，重合的舍去.一般式的这套判法避开了对斜率是否存在的讨论，能少掉一半漏解的可能. 2、两直线垂直的判定 斜率式：若 的斜率都存在，则 . 一般式判定：设 ，，则无条件地有 . 1、“ "是“直线 与直线 互相平行"的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为两条直线平行，所以 所以“ "是直线 与直线 互相平行的既不充分也不必要. 故选： D . 2、已知 :直线 与直线 平行， ，则 是 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线 与直线 平行， 则 解得 或 . 所以 等价于 或 ，而 ， 故 是 的充分不必要条件. 故选：A. 3、（多选）已知直线 ，则下列说法正确的是( ) A． 可能垂直于 轴 B． 可能垂直于 轴 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】 BC 【详解】对于 A ，因为直线 , 的系数不为 ，所以 不垂直于 轴， A 错误； 对于 B ，当 时， ，与 轴垂直， B 正确； 对于 C ，当 时， . 因为直线 的斜率均为 且不重合，所以两直线平行， C 正确； 对于D，因为 ，所以 ，解得 或 . 当 时，由 C 选项知两直线是平行的； 当 时， ，斜率均为 ，且两直线不重合，所以两直线平行， 故 时 或 错误； 故选：BC. 4、已知 ，两直线 ，若 ，则 的最小值为( ) A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，且 , 所以 ，即 ，且 , 所以 当且仅当 ，即 时等号成立 故选：D. 题型三　求直线方程 结论一：在两坐标轴上的截距相等或互为相反数 先把“截距”说清：直线与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线在 轴上的截距.截距是数，可正、可负、可为零，它不是距离. 结论：截距相等：①过原点；②； 截距互为相反数：①过原点；②； 结论二：过定点 且到两定点 距离相等的直线 结论：过点 的直线 到定点 的距离相等 ；② 过线段 的中点. 结论三：过定点 （）的直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小 设直线 与 轴正半轴交于 、与 轴正半轴交于 ，其中 .因为两个截距都非零、且直线不与坐标轴平行，截距式适用，可设 三角形 的面积 . 点 在 上，所以 由基本不等式得 两边平方，化去根号得 所以 ，当且仅当 时取到，即 取等条件是本题最容易被忽略的一步，它本身也在几何上说明了一件事：此时 、，而 即 恰好是线段 的中点.也就是说，“面积最小”等价于“定点 平分这条截距线段”：此时两条截距分别是 与 ，. 适用范围与推广：这里要求 ，也就是直线必须落在 所在象限的这两条正半轴上；若 但都在负半轴，把 取成同号（如 自然为负），推导一字不改，面积改用 ，结论变成 . 1、过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】 或 【详解】设直线在 轴 轴上的截距均为 , ①若 ，即直线过原点，设直线方程为 ，代入 ，可得 故直线方程为 ，即 : ②若 ，则直线方程为 ，代入 可得 , 解得 ，故直线方程为 . 综上所述：所求直线方程为 或 . 故答案为： 或 . 2、过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 . 【答案】 或 【详解】设直线 ，截距分别为 和 因为截距互为相反数，所以 若 ，又过点 ，所以 ，直线为 . 若 ，解得 ，所以 ，直线为 . 3、已知直线 过点（1,3)，若 与 轴， 轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是( ) A．3 B． C． 5 D． 【答案】D 【详解】由题意知直线 在 轴上的截距存在且大于 , 设直线 的方程为 . 直线 过点 ，可得 , 所以 ，当且仅当 ，即 取等号，故 ， 所以 . 故选： D . 4、直线 经过点 ，且点 到它的距离相等，则 的方程为( ) A． B． C． 或 D． 或 【答案】 D 【详解】若直线 斜率不存在，则 , 此时点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，符合要求： 若直线 斜率存在，设 ，即 , 则有 ，化简得 . 即 ，解得 ，即 : 故 的方程为 或 . 故选：D. 5、已知直线 经过点 ，且 . 两点到直线 的距离相等，则 的方程为 . 【答案】 或 . 【详解】当直线 与直线 平行，或直线 过线段 的中点时，满足条件， 第一种情况：当直线 与直线 平行时 ,此时直线 的方程为 , 即 ， 第二种情况，当直线 过线段 的中点时,中点坐标 ，此时直线 的斜率 , 方程为 ，即 . 综上可知，直线 的方程为 或 . 故答案为： 或 6、已知点 、 . (1)若点 是直线 上的动点，且 ，求直线 的方程； (2) 若点 、 到直线 的距离相等，求实数 的值. 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解：点 是直线 上的动点，且 . 所以点 在线段 的垂直平分线上， 线段 的中点为 故直线 的方程为 ，即 . （2）解：由条件知，线段 的中点 在直线上或线段 所在直线与直线平行， 若线段 的中点 在直线 上，则 ，解得 ： 若线段 所在直线与直线 平行，则 ，解得 综上所述， 或 题型四　斜率和倾斜角取值范围问题 1、两直线的夹角 定义：两条直线相交时，所成的角有四个，其中不超过 的那个角叫做它们的夹角，所以两条直线相交时夹角 .两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为 ；两条直线垂直时，夹角为 .综合起来，两直线的夹角 . 公式：设两条直线的斜率分别为 （两个斜率都存在，且 ），则 用法要点：在夹角题里，若已知一条直线的斜率 与两条直线的夹角 ，求另一条直线的斜率 ，通常用 建立带绝对值的方程 .去绝对值时方程分成两支，得到两个解，它们对应两条关于已知直线对称的直线，不要漏掉其中一条. 2、过某点的直线和线段有交点 方法： 一条含参直线恒过定点 ，且要与线段 有公共点时，先求出 、，再利用几何直观读出直线绕 旋转扫过的角区间. 例 ．已知点 ，，直线 经过点 且与线段 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围，以及它的倾斜角 的取值范围. 解：由过两点的斜率公式得 ，， 即 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ；线段 上的点相对于 的方向，恰好铺满由 逆时针转到 的一段，其中跨过了竖直方向 . 当 时 ； 时 .故 或 .竖直直线 也过 且与线段有交点，但它没有斜率，故 只属于倾斜角范围，不进 的范围.故 1、设点 ，若过点 的直线 与线段 有公共点.则直线 的斜率 取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过点 且垂直于 轴的直线交线段 于点 ，如下图所示： 当直线 从 的位置旋转至与 的位置靠近时， 此时直线 的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则 当直线 从靠近 的位置旋转至 的位置时， 此时直线 的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则 . 综上所述，直线 的斜率 的取值范围是 故选：A. 2、已知点 ，若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】因为直线 的方程 可化为 . 所以直线 过定点 . 又 . 所以直线 的斜率 、 直线 的斜率 . 所以 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 . 结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是 故选：C. 3、已知 ，直线 上存在点 ，满足 . 则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线 方程可化为： . 令 得： ，所以直线 恒过定点 . 由 得： . 当直线 上存在点 满足 时，直线 与线段 有交点，如图所示， ， ，由直线 斜率不为 ， ∵直线 的斜率 . 所以 . 故选：B. 4、直线 与直线 的夹角的正切值为 . 【答案】 设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 由 ，得 ，所以直线 的斜率为 ，即 : 由 ，得 ，所以直线 的斜率为 ，即 . 所以 直线 与直线 的夹角正切值为2 . 5、直线 和 的夹角的余弦值为 . 【答案】 【详解】设直线 和 的倾斜角分别为 ，两直线的夹角为 ， ，则 所以 而 ，解得 ， ，则直线 和 的夹角的余弦值为 题型五　直线过定点问题 原理：关于参数的多项式恒等于零，等价于各项系数同时为零 例 1．已知直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，求点 的坐标. 解： 的方程里含 的项分散在两处，先把它们按 重新分组： 是定点，意思是存在一组 使上式对任意 都成立；把左边看成 的一次式，则 的系数 与不含 的常数项 必须同时为 ，否则只能解出唯一一个 使等式成立，谈不上恒成立.于是有 ，解得 ， ，故 . 1、无论 取何值，直线 总经过点( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 . 当 ，即 时， ，解得 , 所以无论 取何值，直线 总经过点 . 故选：C. 2、已知直线 与直线 关于点 对称，则 恒过的定点为( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】直线 的方程可化为 ，由 解得 所以，直线 过定点 ，点 关于点 的对称点为 . 因此，直线 恒过的定点 . 故选：C. 3、若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以 过定点 ， 设定点 关于点 对称的点的坐标为 ， 则 ，即直线 恒过定点 . 故选：C. 题型六　与直线有关的对称问题 1、点关于点对称 定义： 两点关于点 对称，等价于 是线段 的中点. 公式：点 关于点 的对称点为 2、点关于直线对称 定义与条件： 关于直线 对称，等价于 是线段 的垂直平分线.这句话里含两个条件“垂直、平分”：连线 与 垂直；线段 的中点在 上. 方程组：设 、 关于直线 （）对称，则 第一式是“中点在 上”（把中点坐标代入 的方程）；第二式是“连线与 垂直”，即两斜率之积为 ，其中 就是 的斜率（由 得 ）.联立这两式即可解出 ， 3、直线关于点对称 关键性质：点关于点对称在几何上就是绕该点旋转 .一条直线绕某点旋转 后方向不变，所以对称直线与原直线平行，即 ，斜率不变（或两条都竖直）.同时，对称中心到两条直线的距离相等.这两条就是解这类题的全部抓手. 两种做法（根据个人喜好选择）： （1）相关点代入法（轨迹法）：设所求直线 上任一点 ，它关于 的对称点为 ；这个点在已知直线 上，所以把 代入 的方程，整理得到的就是 的方程.这一步之所以成立，是因为两直线上的点关于 一一对应， 上任意点的对称点必在 上， 上任意点的对称点也必在 上. （2）取点法：在 上取两个点，分别求出它们关于 的对称点，由两点式写出 .取点时优先取 与坐标轴的交点，算起来最省. 4、直线关于直线对称 这一类分两种情形，必须先判断已知直线 与对称轴 是相交还是平行，两种情形的做法不同. （1）相交（ 与 有交点 ）：因为交点在对称轴上，它关于 的对称点是自身，所以 一定也过 . 做法是：先联立 与 的方程求出交点 ；再在 上取一个不在 上的点 ，按点关于直线对称的方程组求出 关于 的对称点 ；最后由 两点用两点式写出 .取 时优先取 与坐标轴的交点. （2）平行（）：此时 ，三条直线斜率相同. 做法是：设 与 的 系数相同、只差常数项；再在 上任取一点 ，求它关于 的对称点 ，把 代入所设方程定出常数. 1、与直线 关于 轴对称的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】 D 【详解】设与直线 关于 轴对称的直线为 , 取 上任意一点 ，则 关于 轴的对称点为 . 所以 在直线 上，即 ，亦即 . 故选： D . 2、与直线 关于坐标原点对称的直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线 上一点 关于坐标原点 对称的点为 ，由 ， ，解得 ， ，则代入 ，得 , 即所求直线的方程为 . 故选：D. 3、点 关于直线 的对称点为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点 关于直线 的对称点为 . 由中点坐标公式得 的中点为 则 的中点在直线 上且直线 与 垂直， 所以 化简得 所以点 关于直线 的对称点为 . 故选： B 4、点 关于直线 的对称点 的坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称点 的坐标为 ,则 ，解得 . 故选：B. 5、直线 关于直线 对称的直线方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 为所求直线上的任意一点， 关于直线 的对称点为 . 则 在直线 上, 则 ，整理得到 即为所求. 故选： B . 6、已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的值为( ) A． 2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由于直线 与直线 关于点 对称， 所以两直线平行，故 ，则 . 由于点(3,0)在直线 上，（3,0）关于点 的对称点为 , 故 在 上，代入可得 ，故 , 故选： A 题型七　三角形三线综合问题 方法： 题中给出某边上的高线时，说明高线与该边垂直，利用 求出该边的斜率，再由该边过已知顶点用点斜式写出方程，故高线的斜率就是边斜率的负倒数. 方法： 题中给出某边上的中线时，说明中线端点就是该边的中点，设未知顶点坐标后利用中点坐标公式表示中点，把中点坐标代入中线方程即得一个方程，故再与另一条已知条件联立就能解出该顶点. 方法： 题中给出角平分线时，把它看作对称轴：这个角的两边关于它对称，故一个顶点关于角平分线的对称点必落在对边上，利用点关于直线对称的方程组求出该对称点，再与已知顶点连成直线即可. 1、已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ，求： (1)顶点 的坐标： (2)直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于 ，且 的直线方程为 , 所以 ，故 . 又 的顶点 ，所以 所在的直线方程为 , 由于 边上的中线 所在的直线方程为 , 联立方程 ，解得 ：故点 . (2）设点 ，则 的中点 由于点 在直线 上, 所以 ，整理得 . 同时点 在直线 上，所以 , 故 ，解得 ，中点 . 所以 ，故直线方程为 . 2、已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的方程为 ，角 的角平分线交 边于点 所在的直线方程为 . (1)求点 的坐标； (2)求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， ， ，所以 . 直线 的方程为： ，即 . 联立直线 与直线 的方程， 所以点 的坐标为 . （2）设点 关于直线 的对称点为 . 则 ，所以 . 因为直线 就是直线 ， 所以直线 的方程为： ，即 . 3、已知 的顶点 ，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为 (1)求直线 的方程； (2)若 边上的中线所在的直线方程为 ，求 的值. 【答案】(1) ; . 【详解】(1）依题意，由 边上的高所在的直线的斜率为 ，故直线 的斜率为 ， 又 ，所以直线 的方程为 ，即 . (2）由 点在 轴上，设 ，则线段 的中点 . 由点 在直线 上，得 ，得 ，即 ， 又点 在直线 上，因此 ，解得 , 所以 的值为 . 课后作业 1、（多选）下列四个命题为真命题的是( ) A．经过定点 且方向向量为 的直线都可以用方程 表示 B．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程 表示 C．不经过原点的直线都可以用方程 来表示 D．方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 【答案】ABD 【详解】对于 A ，由直线方向向量为 ，可得该直线的斜率为 ， 又由直线过定点 ，可得直线方程为 ，所以 A 为真命题： 对于 B ，设 是该直线的任意一点，则 由 ，可得 ，所以 B 为真命题； 对于 C ，不过原点但在 轴或 轴上无截距的直线 ）或 ）不能用方程 表示，所以 C 为假命题 对于 D ，直线的一般式方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线，所以 D 为真命题. 2、（多选）已知直线 ，直线 ，则( ) A．直线 过定点 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 【答案】ABC 【详解】可将直线 化为 ，令 、解得 ，所以直线 过定点 ，故 A 正确 若 ，则 ，解得 ，当 时，直线 ，直线 . 符合题意； 当 时，直线 ，直线 ，符合题意：故 B正确， 若 ，则 ,解得 ，当 时，直线 ，直线 ， 符合题意；故 C 正确， 令直线 中 ，则 ，令 ， . 与坐标轴围成的三角形面积为 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 此时 ，故 D 错误. 3、下列说法正确的是( ) A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点 关于直线 的对称点为 C．直线 关于直线 的对称直线的方程为 D．直线 关于点 的对称直线的方程为 【答案】 D 【详解】对于 A ，直线 与两坐标轴交于 ，则所求三角形面积为 , A 错误; 对于 B ，点 和 的中点 不在直线 上，则点 关于直线 的对称点不是 , B 错误； 对于 C ，在直线 上取点 ，设其关于直线 的对称点为 , 则 ，解得 .而点 不在直线 上， C 错误； 对于 D ，在所求方程的直线上任取点 ，则该点关于点 的对称点为 在直线 上, 于是 ，即 ，因此所求的直线方程为 ，D正确. 4、已知点 ，若直线 与线段 相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是( ) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【详解】整理直线 的方程 ，可知直线 恒过定点 . 所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 直线 与线段 相交（包含端点)，则直线 的斜率需 或 当 时，直线 的方程为 ，即 轴，与线段 交于点 ，符合条件： 当 时，直线 的斜截式方程为 ，斜率为 若 ，解得 ；若 ，解得 或 . 综上， 的取值范围是 或 . 5、求直线 关于直线 对称的直线方程为 . 【答案】 【详解】解方程组 得 ，即直线 和直线 的交点坐标为 , 又 是直线 上一点，设它关于直线 的对称点坐标为 . 则 ，解得 所以所求直线方程为 ，即 . 故答案为： . 6、直线 与 轴、 轴分别交于 两点，求 面积的最小值和周长的最小值. 【答案】 ， 【详解】已知 . 令 ，解得 ，则 令 ，解得 ，则 ，则： 由于 ，令 ，则 ，则 根据基本不等式： ，当且仅当 时等号成立， 即 . 其中 . . 当且仅当 ， 时等号成立，即 ， . 7、已知直线 经过点 . (1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； (2)若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程. 【答案】(1) 或 (2)12, 【详解】（1） 当截距都为 也即直线过原点时，设直线方程为 ，因为直线过点 , 所以 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 : 当截距不为 时，设两者截距为 ，直线方程为 ，即 ，因为直线过点 ，所以 ，解得 ，此时直线方程为 ; 综上，直线 的方程为 或 . （2）由题意知，直线在 轴的截距都不为零， 设直线 的方程为 ，且根据题干可得 . 因为直线过点 ，所以 , 所以 的面积 . 由 ，其中 . 所以 ，化简可得 . 所以 ，当且仅当 时取等号， 解得此时 ， 直线 的截距式方程为 ，整理得 . 8、已知直线 的方程为 . （1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程 (2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程 【答案】(1) ；(2) . 【详解】因为直线 和直线 关于点 对称， 在直线 上任取一点 ，则 关于点 对称的点 在直线 上. 将点 代入直线 可得 . 所以直线 的方程为 ; 设直线 与直线 的交点为 . 所以 解得 ，则 . 在直线 上取点 ，设 关于直线 对称的点为 , 则 ① 因为 与 的中点坐标为 所以 ② 由①②可得 ，所以 . 因为直线 和直线 关于直线 对称， 所以直线 经过点 和点 . 所以直线 的两点式方程为 整理得直线 的一般式方程为 . 故答案为： . 9、已知 的顶点 的坐标为 ， 边上的中线 所在的直线方程为 的平分线 所在的直线方程为 . (1)求点 的坐标： (2)求直线 的方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 ，顶点 的坐标为 . 由 中点在 上， 可得 ，即 . 又由于点 在直线 上，得 . 联立解得 解得 . （2）顶点 的坐标为 , 设 点关于 的对称点为 , 则有 解得 . . 显然点 在 边所在的直线上，且 . 得直线 的方程为： . 所以直线 的方程为： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $