第05讲 直线方程的综合应用问题期中复习讲义（5大知识点+10大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第03讲 直线方程的综合应用问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：倾斜角和斜率 3 知识点二：两条直线的平行与垂直 3 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 3 知识点四：直线的交点 4 知识点五：距离公式与对称 4 03 题型精讲 6 题型一：倾斜角与斜率 6 题型二：直线与线段相交 6 题型三：两直线平行与垂直 7 题型四：直线方程求解 8 题型五：直线与坐标轴围三角形 8 题型六：直线过定点 9 题型七：距离公式简单应用 9 题型八：对称问题 9 题型九：线段和差最值 10 题型十：直线方程综合应用 11 04 过关测试 13 知识点一：倾斜角和斜率 （1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定． （2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，． （3）直线的斜率： 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 ①当直线l与x轴平行或重合时，，； ②当直线l与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在． （4）直线的斜率公式： 给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率： 知识点二：两条直线的平行与垂直 （1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有 （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线 知识点四：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点五：距离公式与对称 1、两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 3、两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 4、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 5、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 6、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 7、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 8、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 题型一：倾斜角与斜率 【典例1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·甘肃·期中）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是，则为（   ） A．0 B．0或 C． D． 题型二：直线与线段相交 【典例2】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·广西·期中）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）设点，，过点且斜率存在的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型三：两直线平行与垂直 【典例3】（2026·高二·山西太原·阶段检测）设，则“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-1】（2026·高二·陕西铜川·阶段检测）已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-3】（2026·高二·辽宁大连·期末）若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 题型四：直线方程求解 【典例4】（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型五：直线与坐标轴围三角形 【典例5】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【变式5-1】两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 【变式5-3】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________． 题型六：直线过定点 【典例6】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 【变式6-1】（2026·高二·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点________．（写出该定点坐标） 【变式6-2】（2026·高二·浙江·期中）直线经过的定点坐标为__________. 【变式6-3】（2026·高二·浙江宁波·阶段检测）已知直线：，则直线过定点________；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有________条． 题型七：距离公式简单应用 【典例7】（2026·高二·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【变式7-1】（2026·高二·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知点到直线的距离为，则_______． 【变式7-3】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 题型八：对称问题 【典例8】（2026·高二·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【变式8-1】已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【变式8-2】（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）已知直线与． (1)若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； (2)若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【变式8-3】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 题型九：线段和差最值 【典例9】（2026·高二·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【变式9-1】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【变式9-2】（2026·高二·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【变式9-3】（二、绝对最值，数轴破招）求函数的最大值. 题型十：直线方程综合应用 【典例10】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【变式10-1】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【变式10-2】（2026·高二·广东珠海·阶段检测）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【变式10-3】（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 1．（2026·高二·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·甘肃·期中）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 8．（2026·高二·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．（多选题）（2026·高二·江苏扬州·期中）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 10．（多选题）（2026·高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 11．（多选题）（2026·高二·山东·期中）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026·高二·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 13．（2026·高二·重庆九龙坡·阶段检测）已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 14．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 15．（2026·高二·河南·期中）在等腰梯形中，，且，，. (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积. 16．（2026·高二·山东·期中）已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 17．（2026·高二·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 18．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线方程的综合应用问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：倾斜角和斜率 3 知识点二：两条直线的平行与垂直 3 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 3 知识点四：直线的交点 4 知识点五：距离公式与对称 4 03 题型精讲 6 题型一：倾斜角与斜率 6 题型二：直线与线段相交 8 题型三：两直线平行与垂直 10 题型四：直线方程求解 12 题型五：直线与坐标轴围三角形 14 题型六：直线过定点 16 题型七：距离公式简单应用 17 题型八：对称问题 18 题型九：线段和差最值 20 题型十：直线方程综合应用 23 04 过关测试 28 知识点一：倾斜角和斜率 （1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定． （2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，． （3）直线的斜率： 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 ①当直线l与x轴平行或重合时，，； ②当直线l与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在． （4）直线的斜率公式： 给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率： 知识点二：两条直线的平行与垂直 （1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有 （2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 知识点三：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线 知识点四：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点五：距离公式与对称 1、两点间的距离公式 两点，间的距离公式为． 2、点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 3、两平行线间的距离 直线与直线的距离为． 4、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 5、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 6、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 7、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 8、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 题型一：倾斜角与斜率 【典例1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 【变式1-1】（2026·高二·甘肃·期中）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是， 若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 【变式1-2】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 【变式1-3】（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是，则为（   ） A．0 B．0或 C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，故其倾斜角为， 要使直线与直线的夹角是，则直线的倾斜角为或， 又的斜率， 故或，即或． 题型二：直线与线段相交 【典例2】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，. 由图像可知，从方向转到方向须经过竖直方向，斜率的取值范围为或，即，A正确. 【变式2-1】（2026·高二·广西·期中）已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即，则直线经过定点， 作出图形如下：则，， 若直线与线段相交，则其斜率的范围为， 而，所以的取值范围为. 【变式2-2】（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）设点，，过点且斜率存在的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，直线斜率存在，故设经过的直线为：， 则，. 如图所示： 要使直线：与线段有交点，则或， 即直线斜率的取值范围是. 【变式2-3】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知， 因为，所以点在线段上， 直线的方程可化为，所以直线经过定点， ，， 又点在直线上，所以直线与线段相交， 所以直线的斜率或， 即或，解得或 所以的取值范围为. 题型三：两直线平行与垂直 【典例3】（2026·高二·山西太原·阶段检测）设，则“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线，直线， 此时，所以直线，当时，， 得，解得，所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 【变式3-1】（2026·高二·陕西铜川·阶段检测）已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】已知直线，互相平行， 所以，解得，所以的方程为， 因为、之间的距离为，所以，解得或， 当时，；当时，. 综上所述，. 【变式3-2】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式3-3】（2026·高二·辽宁大连·期末）若直线和直线互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C．或0 D．0 【答案】C 【解析】因为直线和直线互相垂直， 所以，即， 解得或. 故选：C. 题型四：直线方程求解 【典例4】（2026·高二·安徽淮南·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 当截距不为零时，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 综上所得，直线的方程为或. 【变式4-1】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知直线与直线都经过点， 所以和分别满足方程，， 即点、的坐标都满足方程， 因此直线的方程为，故B正确. 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 【变式4-3】（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设为点，易知点在直线上， 直线与轴的交点， 当直线的斜率不存在时，因为直线l过点， 所以直线的方程为，与轴的交点为； 此时，，， 所以不是等腰三角形，故直线存在斜率； 设关于轴的对称点为， 当直线过，两点时，，是等腰三角形， 同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，化简得； 设直线与轴相交于点，如图所示， 若，则， 所以直线，即直线的斜率为， 此时方程为，整理得. 所以直线l的方程为或. 题型五：直线与坐标轴围三角形 【典例5】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 【变式5-1】两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 【变式5-2】（2026·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为______． 【答案】 【解析】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 【变式5-3】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】直线的方程为，即， 直线过点，即，所以， 设过点，依题意可知， 且，此时两点重合. 所以直线的方程为. 故选： 题型六：直线过定点 【典例6】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】由，得，所以，解得， 即． 【变式6-1】（2026·高二·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点________．（写出该定点坐标） 【答案】 【解析】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高二·浙江·期中）直线经过的定点坐标为__________. 【答案】 【解析】，即， 则，解得，则其经过定点. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·高二·浙江宁波·阶段检测）已知直线：，则直线过定点________；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有________条． 【答案】 【解析】由，得， 令，解得，所以直线l过定点； 当时，，此时直线l与x轴没有交点，所以， 在中，令，得，令，得， 依题意得，解得或， 所以满足条件的直线l有条. 故答案为：；. 题型七：距离公式简单应用 【典例7】（2026·高二·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【答案】 【解析】因为且，所以，解得 故答案为： 【变式7-1】（2026·高二·辽宁本溪·阶段检测）直线l经过点，且原点O到l的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是___________． 【答案】或（两者写出其一即可） 【解析】若l斜率不存在，直线l：，显然满足条件； 若l斜率存在，设，即， 则，解得， 此时，l的方程为. 所以l的方程为或（两者写出一种即可）. 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知点到直线的距离为，则_______． 【答案】9或 【解析】由点到直线的距离公式得，，即，解得或. 【变式7-3】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 【答案】12 【解析】直线即，则，解得， 又，解得或，又，所以， 所以. 题型八：对称问题 【典例8】（2026·高二·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【解析】（1）设直线关于点的对称直线为，则， 设直线的方程为， 根据题意，解得或（舍去）， 所以所求直线的方程为． （2）联立，解得， 即两直线的交点坐标为，在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则， 即， 解得，即， 所以，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为． 【变式8-1】已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【解析】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 【变式8-2】（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）已知直线与． (1)若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； (2)若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【解析】（1） 联立，两式相加得，解得，代入得，故交点为， 设反射光线经过的点为，根据光线反射的对称性，点关于轴的对称点在入射光线上， 入射光线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得 （2）设直线与交于，与交于， 因是中点，由中点坐标公式得： ，即 将坐标分别代入所在直线方程得： ， 解得，即， 直线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得. 【变式8-3】已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 题型九：线段和差最值 【典例9】（2026·高二·新疆喀什·阶段检测）已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 【解析】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 【变式9-1】（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【解析】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 【变式9-2】（2026·高二·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【解析】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 【变式9-3】（二、绝对最值，数轴破招）求函数的最大值. 【解析】将函数中的被开方数进行配方， 可得， 所以函数的几何意义为：轴上一点到点与到点的距离之差， 即，如图所示. 根据三角形三边关系，即有，、当且仅当三点共线时取等号，此时在的延长线上. 故. 综上，的最大值为. 题型十：直线方程综合应用 【典例10】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【解析】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 【变式10-1】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）证明: 由，得. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点； （2）若当时，直线上的点都在轴下方，则 解得，所以k的取值范围是； （3）由题意直线过定点，且与轴的负半轴交于点､与轴的负半轴交于点， 则直线的斜率， 当时，得，当时，得，则，且， 所以 ， 当且仅当，即时，又，所以当时取“”， S的最小值为2，此时直线的方程为. 【变式10-2】（2026·高二·广东珠海·阶段检测）已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为直线过点，且斜率为，可得直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，即, 又因为的纵坐标均为整数，可得，即， 因为，所以， 当时，可得，，， 因为点为的中点，可得，解得， 所以，，， 则的面积. （2）假设存在满足题意的实数，使得的值与无关， 由（1）知，，，且， 可得，所以， 因为，所以当时，（定值）， 所以存在实数时，使得的值与无关. 【变式10-3】（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【解析】（1）直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． （2）设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． （3）由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 1．（2026·高二·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由，解得，即直线过定点. 2．（2026·高二·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为. 由直线，得直线的斜率； 由，，得. 3．（2026·高二·甘肃·期中）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将直线方程化为斜截式方程： 所以直线的斜率. 4．（2026·高二·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 5．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ，代入 ，得 . 所以 ，. 点 到直线 的距离为 . 又 ，当且仅当 时等号成立. 因此 . 6．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 7．（2026·高二·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【解析】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 8．（2026·高二·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或， 所以或， 设，则或，则或， 解得或， 即或， 所以这样的直线有条. 9．（多选题）（2026·高二·江苏扬州·期中）已知直线：，：，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线不经过第一象限 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【解析】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确. 10．（多选题）（2026·高二·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 【答案】AB 【解析】选项A，因为三点共线，所以， 因为，， 所以，A正确； 选项B,因为， 所以， 因为直线绕旋转，且与线段相交， 所以从往上转，斜率，从往下转，斜率， 所以斜率范围：，B正确； 选项C，过，在轴截距相等，分两种情况： 当截距不为0时，设过的直线方程为， 将点代入，得到，解得， 则过的直线方程为， 当截距都为0时，直线必过原点，则过的直线方程为，也满足截距相等， 而选项只给出，漏掉，C错误； 选项D， 当，，， 此时，D错误. 11．（多选题）（2026·高二·山东·期中）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【解析】对于直线和直线. 由可得，解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 12．（2026·高二·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 【答案】 【解析】两直线 与 之间的距离， 即两条直线与 之间的距离，为. 13．（2026·高二·重庆九龙坡·阶段检测）已知，.若过的直线与线段没有公共点，则的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【解析】如图所示： 设直线与直线的倾斜角分别为与，由题可知满足条件的直线在图中阴影部分区域，则直线的倾斜角的取值范围是 . ，，，. 直线的倾斜角的取值范围是. 14．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为. 因为的斜率为，由得，即①； 又的中点在上，即②. 联立①②解得、，即. 由反射定律知，反射光线所在直线即为直线，其斜率. 所以反射光线所在直线方程为，即. 15．（2026·高二·河南·期中）在等腰梯形中，，且，，. (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积. 【解析】（1）由题意可知， ，因为， 所以 ，所以边所在直线的方程为 ，即. 设， 因为， 所以， 整理得，解得或， 当时，，此时与不平行，四边形为等腰梯形，符合题意； 当时，，此时，四边形为平行四边形，不符合题意； 故点的坐标为. （2）， ， 等腰梯形的高为点到直线的距离，即， 故梯形的面积为. 16．（2026·高二·山东·期中）已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 【解析】（1）若直线l： 与直线m：垂直， 则，解得， 此时直线l：，即 . （2）因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍， 若，则直线l：与x轴无交点，不合题意； 若，则直线l： 在x轴、y轴上截距分别为、， 则，整理可得，解得或， 所以直线l的一般式方程为或. （3）设到直线：，：的距离相等， 则，整理可得或， 可知直线l的方程为或， 若直线l的方程为，则，解得； 若直线l的方程为，则 ，解得； 综上所述：a的值为2或. 17．（2026·高二·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【解析】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 18．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【解析】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $