精品解析：甘肃兰州市第五十八中学2026-2027学年高二第一学期期中考试数学试题

兰州五十八中2026—2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得点斜式，根据斜率可得倾斜角. 【详解】直线的点斜式为， 即直线斜率为，斜率为倾斜角正切值，故直线的倾斜角为 故选：D. 2. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可. 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 3. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式公式带入条件即可. 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 4. 在等差数列中，，，则201是数列的第几项（ ） A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义求出公差，从而求出通项公式，再根据，构造关于的方程，解方程即可． 【详解】等差数列中，，，设公差为， ∴，解得； ∴通项公式为， 当时，． 故选：C． 5. 设为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】若，由等差中项性质得， 故，即，易知. 故选：B 6. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 7. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列求和公式和题目条件得到方程，求出，故当时，取得最大值，所以，解得. 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 又， 故，解得. 因为，所以，所以当时，取得最大值， 所以，又， 故，解得. 故选：C. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两直线平行可直接构造方程组求得结果. 【详解】由两直线平行可得：，解得：或. 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据直线的一个方向向量为进行求解；B选项，分截距为0和不为0两种情况进行求解；C选项，设出对称点，列出方程组，求出对称点坐标；D选项，画出图形，求出，数形结合得到或，D正确. 【详解】A选项，的斜率为， 故直线的一个方向向量为，A正确； B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，， 故此时直线方程为， 当直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，B错误； C选项，设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点为，C正确； D选项，画出图形如下： 则， 直线过点且与线段有公共点，则或， 则的取值范围是，D正确. 故选：ACD 11. 已知正项数列的首项，前项积为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 是递增数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D. 【详解】，， 则数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，，故A错误，B正确； ，因为函数在单调递增， 所以是递增数列，故C正确； ， ，故D错误. 故选：BC. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】∵ 数列是等比数列， ∴ ，， . ∴ . 又∵ ，∴ . 13. 已知数列中，首项，若，则数列的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【详解】由得， 又因为，所以是首项和公比均为3的等比数列. 所以，即. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设数列的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可． 【小问1详解】 设数列的公差为d，由，得 ，解得， 所以． 【小问2详解】 设数列的公比为q，则 ，因为，，成等差数列， 所以，即，解得，所以 ． 16. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点； （2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 （1）因为，又直线的斜率, 所以直线的斜率,则. 由 所以直线和的交点坐标为. 【小问2详解】 由题意知的斜率k存在，设 令得，令得， 因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得， ，解得或， 即或. 17. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，证明数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）得， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）利用求解； （2）用裂项相消法求得和，再由不等式的性质得证． 【小问1详解】 时，， 当时，由，① 得，② ①②得，即， 也符合， 所以； 【小问2详解】 略． 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； （2）记，求的前项和. 【答案】（1）由题意知，所以由，得，所以， 又，所以是首项为3，公差为5的等差数列， ，即. （2） 【解析】 【分析】（1）对两边取倒数，利用等差数列定义即可证明结论，再利用等差数列通项公式即可求出的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以①， ② ①-②得 ， 所以. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心. （1）求圆的方程； （2）若点是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值； （3）若圆：上总存在点满足圆的方程，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，根据两点间距离公式结合列方程，化简后得到圆的标准方程. （2）将四边形的面积转化为与相关的表达式，当取圆心到直线的最短距离时，面积取得最小值. （3）圆上存在满足圆方程的点等价于两圆有公共点，根据两圆位置关系与圆心距的取值范围列不等式求解即可. 【小问1详解】 设点. ∵ ，，， ∴ ， 两边平方得， 展开整理得， 配方得， 即圆的方程为. 【小问2详解】 ∵ 为圆的切线， ∴ ，，，， ∴ 四边形的面积. 又， ∴ 当取最小值时，取得最小值. ∵ 为直线上的动点， ∴ 的最小值为圆心到直线的距离， ， ∴ ， ∴ . 【小问3详解】 由题意可知圆的标准方程为， 圆心为，半径. ∵ 圆上总存在点满足圆的方程， ∴ 圆与圆有公共点， ∴ ，其中为圆半径. ∵ ， ∴ ， 两边平方得， 解不等式左边：， 解不等式右边：， 解得， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十八中2026—2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，，则201是数列的第几项（ ） A. 59 B. 60 C. 61 D. 62 5. 设为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. D. 15 6. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 11. 已知正项数列的首项，前项积为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 是递增数列 D. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，则的值为______. 13. 已知数列中，首项，若，则数列的通项公式是______. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，，成等差数列，求． 16. 已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 17. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，证明数列的前n项和. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； （2）记，求的前项和. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心. （1）求圆的方程； （2）若点是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值； （3）若圆：上总存在点满足圆的方程，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $