精品解析：甘肃兰州市第五十一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

兰州五十一中2026~2027学年第一学期期中试卷 高二 数学 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（    ） A. B. C. D. 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 7. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 12或-15 B. 15或-12 C. 15 D. 12 8. 已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 11. 记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为4的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与平行，则______． 13. 已知为数列的前项和，若，则______． 14. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点，． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）过点作圆的割线，交圆于，两点，当时，求的直线方程． 19. 已知数列满足，数列的前项和为，且，，，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）求满足的n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州五十一中2026~2027学年第一学期期中试卷 高二 数学 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知直线方程为（即的形式），由斜率公式可得. 2. 数列的第9项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察分子为等差数列，通项，分母等于分子，且奇数项为正，偶数项为负，即可得出答案. 【详解】分子为等差数列，通项，；分母；奇数项为正. 故选：D 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为， 根据等差数列性质可知，得. 故， 由，将、代入得，解得. 另解：设等差数列的公差为，， 由得，即， 结合，两式相减得，代入得. 4. 直线的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，再根据向量垂直的坐标表示逐一判断即可. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的一个方向向量是. 对于A，，所以与垂直，所以A正确； 对于B，，所以与不垂直，所以B错误； 对于C，，所以与不垂直，所以C错误； 对于D，是直线的一个方向向量，不是法向量，所以D错误. 5. 已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，根据圆的方程判断得到此定点在圆内，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交. 故选：C 7. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 12或-15 B. 15或-12 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 8. 已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为点到点的距离，转化为点到点的距离，再根据在共线时取到最小值，即可得到答案． 【详解】设，由已知，圆半径为， 由切线的性质可得，故， 它表示点到点的距离，故， 设关于直线的对称点为，则， 所以， 易知当三点共线时，取得最小值， 因此的最小值为． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合两点间的距离公式和点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点， 对于A，直线的方程为，故A正确； 对于B，因， 则，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为，故C正确； 对于D，线段的中点为，此时， 故线段的中点不在直线上，故D错误. 11. 记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为4的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数列的通项公式，验证判断A；求出奇数项数列的公比判断B；求出前5项和判断C；利用裂项相消求和判断D. 【详解】 对于A，当为奇数时，由，得，无解；当为偶数时，由，得，符合题意，A正确； 对于B，，，则公比，是公比为4的等比数列，B正确； 对于C，，，，，，则，C错误； 对于D，，则， 前项和，D正确. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与平行，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由直线平行的条件求解参数，再将参数代入直线验证即可. 【详解】根据两直线平行，得，解出或. 当时，直线，，此时与平行； 当时，直线，，此时与平行. 13. 已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，， 所以. 14. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，再根据等比中项列式求解即可. （2）根据（1）得到的通项公式，以及裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设公差为，由题意，即， 解得，故. 【小问2详解】 已知，则， 所以. 16. 已知直线，，且直线，的交点为点． （1）若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）先由的斜率结合垂直关系得的斜率，再用点斜式求的方程； （2）先联立求交点，再分截距为0和不为0两种情况求的方程. 【小问1详解】  直线整理为斜截式方程得，故的斜率，因为与垂直，所以的斜率， 又过点，由点斜式方程得：，整理得 【小问2详解】 联立，解得，，即， 分两种情况讨论： ① 当在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为，将代入得，解得，故方程为，即； ② 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，即，将代入得，故方程为，即； 综上，的方程为或. 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：对于①， 当时，. 当时，可得②， 由①-②：. 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义，可证明结论. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以， ， 两式相减得：， 所以. 18. 已知圆的圆心在直线上，且过点，． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）过点作圆的割线，交圆于，两点，当时，求的直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出的值，即可得解； （3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，圆心到直线的距离，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 解：依题意设圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当切线的斜率存在时，设直线方程，即． 则，解得． 切线方程为，即． 综上可得切线方程为：或． 【小问3详解】 解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即， 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知数列满足，数列的前项和为，且，，，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）求满足的n的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】(1)利用构造出的等比数列求解即可. (2)通过表示出后即可求得. (3)表示出和后作差得出的表达式并求解不等式. 【小问1详解】 由，可得，其中， 两式相减得，所以，即． 又，，所以，所以数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，所以． 【小问2详解】 由(1)可得，． 【小问3详解】 由（1）可得，， ， 两式相减得， 所以，． 设，易得， ，，，且当时， 随着n的增大而增大，所以满足的n的最小值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $