真题同源模拟卷二-2027年中考数学真题同源模拟卷

2027 学年度中考数学真题同源模拟卷（二） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 第一部分　选择题（共 30 分） 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 的值是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 边的中点，菱形 的周长为 32，则 的长等于（　　） A. 8 B. 6 C. 7 D. 4 4. 某电影第一天票房约 3 亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达 18 亿元，若把增长率记作 ，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 5. 若方程 的两根为 和 ，则 的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 在下列命题中，正确的是（　　） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 已知 是关于 的一元二次方程，则 满足（　　） A. B. C. D. 或 8. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，，若 ，则 与四边形 的面积之比为（　　） A. B. C. D. 9. 定义新运算“”：对于任意实数 ，，都有 ，例如：．若方程 （ 为实数）是关于 的方程，则方程的根的情况为（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 10. 如图，在平行四边形 中，，以点 为圆心， 的长为半径画弧，与 交于点 ，然后分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ．若 ，，则 的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于 20 厘米，那么相邻的一条较短边的边长是________厘米． 12. 若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ________． 13. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________． 14. 如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ，交 于点 ，则 的值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片 的顶点 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， 是线段 上的动点，连接 ，过点 作 与 轴相交于 ．将 沿 翻折，使点 落在点 处，连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，点 的坐标为________． 三、解答题（16 题 8 分，17 题 8 分，18 题 8 分，19 题 8 分，共 32 分） 16.（8 分）选用合适的方法解一元二次方程． （1）； （2）． 17.（8 分）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，，过点 作 交 于点 ． （1）求证：； （2）若 ，，求 的长． 18.（8 分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．以 为例，构造方法如下： 首先将方程 变形为 ，然后画四个长为 、宽为 的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为 2 的小正方形的面积之和，即 ．因此可得新方程 ，解得 ，即 ．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的一个正根． 【理解应用】参照上述方法，用几何方法解方程 ，所拼成的“空心”大正方形中，中间小正方形的边长为________，大正方形的边长为________，原方程的正根为________． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 ，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________，解得原方程的一个根为________． 【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程都可以构造图来解．若四个相同矩形的面积均为 3，中间围成的正方形面积为 4，则该方程中 ________，________，方程的正根为________． 19.（8 分）如图 1，平面直角坐标系中，直线 的图象 与 轴、 轴分别交于 、 两点，直线 的图象过点 ，并且与 轴交于点 ． 图 1 图 2 （1）直接写出点 的坐标及 的值； （2）如图 2，动点 从原点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴正方向运动，到达点 停止运动．过点 作 轴的垂线，分别交直线 、 于点 、．设点 的运动时间为 秒，求当 为何值时， 的面积等于 3． 四、解答题（20 题 10 分，21 题 9 分，共 19 分） 20.（10 分）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨．已知某白茶基地在 2024 年的采茶工资为每斤 25 元，2026 年的采茶工资为每斤 36 元．经市场调研发现，当青叶售价为 220 元时，每天能卖出 100 斤，每降价 5 元，则多卖 10 斤．销售中除了采摘工资的成本，还有其他运输、肥料等养护成本每斤 64 元． （1）求 2024 年至 2026 年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率； （2）若该基地希望 2026 年度日销售利润达到 14400 元，求每斤青叶的售价． 21.（9 分）【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图 1 给出如下证明思路：作 交 的延长线于点 ，再证 ，再证四边形 是平行四边形，即可证明定理． 图 1 图 2 图 3 【新知体验】（1）小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的．如图 2，四边形 中，，，若 ，，，则 的值为________； 【灵活运用】（2）如图 3，在 中， 是 的中点， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，求 的值． 五、解答题（共 12 分） 22.（12 分）小明根据学习函数 的经验，自主探究函数 的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整． 图 1 图 2 （1）化简函数表达式：当 时，________；当 时，________； （2）请在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象，并回答： 的图象可以由 的图象向________平移________个单位得到； （3）如图 2，矩形 的顶点 ， 在 轴上，顶点 ，，当“绝对值函数” （ 为常数）的图象有部分被矩形 覆盖（包含落在边上的点）时，被覆盖的部分记作“图象 ”，点 是“图象 ”上的一个动点． ①当 的最大值为 3 时，求 的取值范围； ②已知 的最小值为 ，求满足条件的 的值． 六、解答题（共 12 分） 23.（12 分）如图，在矩形 中，，，点 是边 上一点，将 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处． （1）求 的长； （2）求 的长； （3）求 的值． 2027 学年度中考数学真题同源模拟卷（二） 数学试卷 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与评分标准 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D C C B D C D 【解析】 1. C　移项得 ，两边加 9 得 ，即 ． 2. C　设 ，，则 ． 3. D　菱形周长为 32，则边长为 8； 为 的中点， 为 的中点，故 是 的中位线，． 4. D　第一天 3 亿元，第二天 ，第三天 ，累计为 ． 5. C　由根与系数的关系得 ，，所以原式 ． 6. C　A 中一组对边平行不能判定平行四边形；B 中一个直角不能判定矩形；D 中对角线互相垂直平分的四边形是菱形；只有 C 正确． 7. B　由一元二次方程的定义得 且 ，所以 且 ，故 ． 8. D　由 得 ，，故面积比为 ，所以 ． 9. C　由 得 ，，故方程有两个不相等的实数根． 10. D　由作图知 是 的垂直平分线，故 ，且 到 、 距离相等，； 被 平分，设垂足为 ，则 ，，再由平行四边形的边角关系可求得 ． 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 　　12. 　　13. 且 　　14. 　　15. 或 三、解答题（共 32 分） 16.（8 分） （1）移项得 ， 提公因式得 ，即 ， 所以 ，．……4 分 （2）因式分解得 ， 所以 或 ，即 ，．……4 分 17.（8 分） （1）证明：因为 ，所以 ， 所以平行四边形 是菱形，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ，所以 ． 又 ，所以 ， 所以 ．……4 分 （2）因为 是菱形，，所以 ． 在 中，． 由 得 ，即 ， 所以 ．……4 分 18.（8 分） 【理解应用】将 变形为 ，用四个长为 、宽为 的矩形拼成“空心”大正方形，中间小正方形的边长为 4， 大正方形的边长为 ，其面积为 ， 所以 ，，解得 ． 故填：4；8；6．……3 分 【类比迁移】原方程化为 ，两边同乘 4 得 ，即 ， 配方得 ，所以 ，解得 ． 故填：；．……3 分 【拓展应用】四个矩形的面积之和为 ，中间正方形面积为 4，其边长为 2， 所以 ，，，，且 ． 故填：2；3；1．……2 分 19.（8 分） （1）在 中，令 得 ，所以 ；……1 分 把 代入 得 ，所以 ．……2 分 （2）由题意得 ，则 ，， 所以 ， 所以 ． 由 得 ，解得 ． 答：当 时， 的面积等于 3．……5 分 四、解答题（共 19 分） 20.（10 分） 解：（1）设 2024 年至 2026 年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为 ， 根据题意得 ， 解得 ，即 ，（不合题意，舍去）． 答：2024 年至 2026 年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为 ．……4 分 （2）设每斤青叶售价降低 元，则每斤利润为 元，日销售量为 斤， 根据题意得 ， 整理得 ，解得 ，． 当 时，售价为 （元）；当 时，售价为 （元）． 答：每斤青叶的售价为 190 元或 180 元时，日销售利润达到 14400 元．……6 分 21.（9 分） （1）过点 作 ，交 的延长线于点 ． 因为 ，，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，． 因为 ，所以 ，即 ， 在 中，， 所以 ． 故填：4．……4 分 （2）过点 作 ，交 于点 ． 因为 是 的中点，，所以 是 的中点，即 ，． 因为 是 的中点，，所以 是 的中点，即 ． 所以 ，所以 ．……5 分 五、解答题（共 12 分） 22.（12 分） （1）当 时，；当 时，．……2 分 （2）图象略． 的图象可以由 的图象向右平移 3 个单位得到．……3 分 （3）①矩形 中，，． 因为 的最大值为 3，所以图象 上存在点使 ，且 或 落在 内． 由 得 ；由 得 ． 所以 的取值范围是 或 ．……4 分 ②因为 的最小值为 ，而 ， 若 ，则 的最小值为 0，此时 ，，与 矛盾； 若 ，则 的最小值为 ，由 得 ，符合题意； 若 ，则 的最小值为 ，由 得 ，不成立． 所以 ．……3 分 六、解答题（共 12 分） 23.（12 分） 解：（1）由折叠的性质得 ． 在 中，，， 所以 ．……3 分 （2）因为 ，所以 ． 设 ，则 ，由折叠得 ． 在 中，，即 ， 解得 ，所以 ．……5 分 （3）在 中，．……4 分 （解答题中如有其他正确解法，参照本标准相应步骤给分．） 数学试卷 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $