第6章 第7节 第2课时 求空间角和距离（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第二课时　求空间角和距离

[必备知识]

1．求异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2.直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝，φ的取值范围是.

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝　cos 〈n1，n2〉　，或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．

4．求空间的距离

(1)两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝

||＝.

(2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.

[自主诊断]

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　)

(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

[小题查验]

1．(人教A版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)

A．45°　　　　　　　　　　　 B．135°

C．45°或135°  D．90°

解析：C　[cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.]

2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)

A．45°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120°

解析：B　[如图所示，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，

∴C1(2,0,2)，E(0,1,0)，

F(0,0,1)．

∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)．

∴·＝2，记，所成角为θ.∴cos θ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°. 故选B.]

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为　________.

解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，∴＝(0,2，－1)，＝(－1,2,0)，

设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则即

令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，＝(0,2,0)，

设所求线面角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝.