第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式

[必备知识]

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　.

(2)商数关系：　＝tan α　.

2．三角函数的诱导公式

对于±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　)

(2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　)

(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　)

(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　)

(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√ 　(4)√　(5)×

[小题查验]

1．sin 2 025°的值为(　　)

A．－　　　B．－　　　C.　　　D.

解析：A　[sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝

sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.]

2．若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　)

A.     B．－        C.   D．－

解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.]

3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ＝(　　)

A.           B．－           C.        D．－

解析：A　[(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝，

∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

∵θ∈，

∴sin θ＞cos θ，则sin θ－cos θ＝.]

4．若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________.

解析：由题3sin α－sin β＝，α＋β＝，

所以3sin α－cos α＝，又∵sin2α＋cos2α＝1，

解得sin α＝.所以cos 2β＝cos(π－2α)

＝－cos 2α＝2sin2α－1＝.

答案：　

5.＝________.

解析：原式＝

＝＝－1.

答案：－1

考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式)

[母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.

(1)求tan α的值；

(2)把用tan α表示出来，并求其值．

[破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值．

[解]　(1)法一：联立方程

由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得

25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，

∴∴tan α＝－.