第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
课程标准 | 核心素养 | 考情聚焦 |
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 | 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 | 对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 |
[必备知识]
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 | |α|＝ |
角度与弧度的换算 | ①1°＝ ②1 rad＝ |
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弧长公式 | 弧长l＝ |α|r |
扇形面积公式 | S＝ |
3.任意角的三角函数
三角函数 | 正弦 | 余弦 | 正切 | |
定义 | 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 | |||
y 叫做α的正弦，记作sin α | x 叫做α的余弦，记作cos α | | ||
各象限符号 | Ⅰ | ＋ | ＋ | ＋ |
Ⅱ | ＋ | － | － | |
Ⅲ | － | － | ＋ | |
Ⅳ | － | ＋ | － | |
口诀 | 一全正、二正弦、三正切、四余弦 | |||
三角 函数线 |
有向线段 MP 为正弦线 |
有向线段 OM 为余弦线 |
有向线段 AT 为正切线 | |
1．任意角三角函数的定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
(x≠0)．
2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则
所在象限如图
[自主诊断]
[思考辨析]
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判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．( )
(4)不相等的角终边一定不相同．( )
(5)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．( )
(7)α∈
，则tan α>α>sin α.( )
(8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(6)√ (7)√ (8)√
[小题查验]
1．－870°角的终边在第几象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
解析：C [∵－870°＝－360°×3＋210°，
∴－870°与210°角终边相同．
又∵210°角的终边在第三象限，
∴－870°角的终边在第三象限．]
2．下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋
(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋
(k∈Z)
解析：C [与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．]
3．若α为第四象限角，则( )
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
解析：D [∵－
＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，∴－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，∴2α是第三或第四
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