函数的基本性质期末讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学函数基本性质复习讲义通过清单式梳理构建知识体系，以表格呈现函数奇偶性判断的性质法，用口诀归纳图象平移“左+右-”等变换规律，清晰呈现图象变换、单调性、奇偶性等重难点及内在联系。 讲义亮点在于考点题型分层设计，如“判断并证明单调性”“利用奇偶性解不等式”等，结合“定义法”“同增异减”等方法指导，培养数学思维与运算能力。基础题巩固知识，提升题综合应用，助力不同学生发展，教师可据此实施精准教学。

函数的基本性质 【清单 01】函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① y = f (x) — ② y = f (x) — ③ y = f (x) — ④ y = f (x) — 注：左右平移只能单独一个x 加或者减，注意当x 前系数不为 1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①y = f (x) 的图象 —关于x轴对称—→ y =−f (x) 的图象； ②y = f (x) 的图象 —关于y轴对称—→ y = f (−x) 的图象； ③y = f (x) 的图象 —关于原点对称—→ y = −f (−x) 的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①y = f (x) 的图象 —下→ y = f| (x)| 的图象； （口诀；以x 轴为界，保留x 轴上方的图象；将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方） ②y = f (x) 的图象 —去—→ y = f (| x |) 的图象. （口诀；以y 轴为界，去掉y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象；将y 轴右侧图象翻折 1 学科网（北京）股份有限公司 到y 轴左侧；本质是个偶函数） 【清单 02】函数的单调性 2.1 增函数 一般地，设函数f (x) 的定义域为I ，区间D 二 I ，如果x1 , x2 ∈ D ，当x1 < x2 时，都有f (x1 ) < f (x2 ) ， 那么就称函数f (x) 在区间D 上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数f (x) 在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2 减函数 一般地，设函数f (x) 的定义域为I ，区间D 二 I ，如果x1 , x2 ∈ D ，当x1 < x2 时，都有f (x1 ) > f (x2 ) ， 那么就称函数f (x) 在区间D 上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数f (x) 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 【清单 03】函数的奇偶性 3.1 偶 函数： 一般地， 设 函数 f (x ) 的定义域为 I ，如果 x ∈ I ，都有 −x ∈ I ，且f (−x ) = f (x ) ，那么函数 f (x )就叫做偶函数. 3.2 奇 函数： 一般地， 设 函数 f (x ) 的定义域为 I ，如果 x ∈ I ，都有 −x ∈ I ，且f (−x) = −f (x) ，那么函数 f (x )就叫做奇函数. 【清单 04】函数奇偶性的判断 2 学科网（北京）股份有限公司 4.1 定义法： （1）先求函数 f (x) 的定义域I ，判断定义域是否关于原点对称. （2）求 f (−x) ，根据 f (−x) 与f (x) 的关系，判断f (x) 的奇偶性： ①若f (−x) + f (x) = 0 f (−x) = −f (x) f (x) 是奇函数 ②若f (−x) − f (x) = 0 f (−x) = f (x) f (x) 是偶函数 ③若 f 既是奇函数又是偶函数 4.2 图象法： （1）先求函数 f (x) 的定义域I ，判断定义域是否关于原点对称. （2）若 f (x) 的图象关于y 轴对称 f (x) 是偶函数 （3）若 f (x) 的图象关于原点对称 f (x) 是奇函数 4.3 性质法： f (x) ， g(x) 在它们的公共定义域上有下面的结论： f (x) g(x) f (x) + g(x) f (x) − g(x) f (x)g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【清单 05】：函数的对称性与周期性： （1）若 f (x + a )+ f (−x + b) = c ，则函数 f (x ) 关于 中心对称； （2）若 f (x + a ) = f (−x + b) ，则函数 f (x ) 关于x 对称； （3）若 f (x + a ) = f (x − a ) ，则函数 f (x ) 的周期为 2a； （4）若 f (x + a ) = −f (x ) ，则函数 f (x ) 的周期为 2a. 【考点题型一】函数图象识别 核心方法：特殊值法，单调性，奇偶性，零点，极限法 ( 4 x )【例 1-1】（24-25 高一上·广东清远·期中）函数f (x) = x2 +1 的图象大致为( ) A B C D 【例 1-2】（24-25 高一上·北京朝阳·期中）函数f 的图象大致为( ) A ． B ． C ． D． 【变式 1-1】（24-25 高一上·黑龙江·期中）函数f 的部分图象大致为( ) 4 学科网（北京）股份有限公司 A． C． B． D． 【考点题型二】判断并证明函数的单调性 核心方法：证明单调性只能用定义法 判断单调性：① ↑+ ↑=↑ (↑ − ↓=↑); ② ↓+ ↓=↓ (↓ − ↑=↓) ③图象法【例 2】（24-25 高一上·广东珠海·期中）已知函数f = x k ∈R ． (1)画出当k =−1 时，函数y = f(x)的图象； (2)探究函数y = f(x)的单调性． 【变式 2-1】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数f 的图象过点(1,1) 和 (1)求函数f (x ) 的解析式； (2)判断函数f (x ) 在区间(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明 . 【变式 2-2】（24-25 高一上·广东佛山·期中）已知函数 (1)求函数f (x ) 的解析式． (2)判断函数f (x ) 的单调性并证明； 6 学科网（北京）股份有限公司 【考点题型三】求函数的单调区间 核心方法：图象法 【例 3】（24-25 高一上·吉林长春·期中）函数f (x) = (1− x).| 2 − x | 的单调递增区间为( ) A ． B ． C ． D ． 【变式 3-1】（24-25 高一上·广东茂名·期中）函数y = x2 − 3x +1 的单调递减区间为 . 【变式 3-2】（2024 高一·全国·专题练习）函数y = −x2 + 4x + 5 的单调递增区间是 ． 【考点题型四】求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 核心方法：同增异减 【例 4】（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）函数f 的单调增区间是 ． 【变式 4-1】（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）函数f 的单调递减区间是( ) A ．[−1,0] B ． [0,1] C ． [2，+∞ ) D ． (−∞,2] 【考点题型五】根据函数单调性求参数 核心方法：图象法 【例 5-1】（24-25 高三上·陕西咸阳·期中）已知函数f (x在R 上单调递减，则实数b 的取值范围是( ) A ．[−3, −2] B ．[−2,+∞ ) C ． D ．(−∞, −3] 【例 5-2】（24-25 高一上·广东深圳·期中）已知函数f 在(2, +∞ ) 上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 【变式 5-1】（24-25 高一上·广西河池·阶段练习）已知函数f (x) = x2 − mx + 5 在(−∞,2] 上单调递减，则m 的取值范围为( ) 7 学科网（北京）股份有限公司 A ．[4, +∞ ) B ．[2, +∞ ) C ．(−∞,4] D ．(−∞,2] 【变式 5-2】（24-25 高一上·广东清远·期中）若f (x在(−∞, +∞ ) 上是减函数，则( ) A ．0 ≤ a ≤ 3 B ．0 ≤ a < 3 C ．1 ≤ a ≤ 3 D ．1 ≤ a < 3 【考点题型六】判断函数的奇偶性 核心方法：①定义法 ②图象法③性质法 【例 6】（24-25 高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 【变式 6-1】（24-25 高一上·甘肃武威·期中）在定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．f (x ) = −xx B ．f C ．f (x ) = x2 D ．f (x 【变式 6-2】（多选）（24-25 高一上·陕西咸阳·期中）下列函数中，是偶函数且在区间 (0,1) 上单调递减的是( ) A ．f (x ) = − x B ．f (x ) = −2x C ．f D ．f (x ) = −x2 + 4 【考点题型七】利用函数奇偶性求参数，求值 核心方法：奇偶性定义 【例 7】（24-25 高一上·四川成都·期中）已知f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当x ≤ 0 时， f (x ) = 2x2 + x +1 − a ，则a + f (1) = ( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【变式 7-1】（24-25 高一上·湖南永州·期中）已知函数f (x ) = ax3 + x + 2 ，且 f (m) = 5 ，则f (−m) = （ ）. A ． −5 B ． −3 C ． −1 D ．3 【变式 7-2】（24-25 高一上·福建泉州·期中）若函数f 为奇函数，则实数a = . 【考点题型八】利用函数奇偶性解不等式 核心方法：奇偶性+单调性（特别注意容易忽视定义域） 【例 8-1】（多选）（24-25 高一上·湖南永州·期中）已知函数f (x ) 是定义域为R 的奇函数，且对任意x1, x2 ∈ (−∞, 0]，当 x1 ≠ x2 时，总有 ，则满足 f + f 0 的 x 的值可能是( ) A ． B ． C ． D ． 【例 8-2】（24-25 高一上·天津南开）定义在[-1,1] 上的偶函数f (x) ，当 x ≥ 0 时，f (x) 为减函数，则满足不等式f < f 的m 的取值范围是 . 【变式 8-1】（24-25 高一上·湖北黄冈·期中）已知定义域为R 的偶函数f (x ) 满足：对任意x1 ，x2 ∈ [0, +∞)(x1 ≠ x2 )，都有成立，则满足f (2x -1) ≤ f (1) 的 x 取值范围是( ) A ．(−∞, 1] B ． C ．[0,1] D ． 【变式 8-2】（24-25 高一上·天津津南·期中）定义在R上的偶函数f(x +1) 在(0, +∞) 上单调递减，则不等式f > f 的解集( ) A ． B ． C ． - , ), D ． 9 学科网（北京）股份有限公司 【考点题型九】函数的对称性和周期性 【例 9】（24-25 高三上·辽宁锦州·期中）已知函数y = f (x +1) 为偶函数，且y = f (x) 的图象关于点(2, 0) 对称，当x ∈[0,1] 时，f (x) = x ，则 f (2024) = ( ) A ．2024 B ．2 C ．1 D ．0 【变式 9-1】（多选）（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知f (x ) 的定义域为R ， f (2x +1) 为奇函数，f (x + 2) 为偶函数，则( ) A ．f (2023) = 0 B ．f (2024) = 0 C ．f (x ) 为偶函数 D ．f (6 - x ) = -f (x ) 【变式 9-2】（多选）（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数f(x) 的定义域为R ，对任意x 都有f (2 + x) = f (2 -x) ，且f (-x) = -f (x) ，f ，则( ) A ．f (x) 的图象关于直线x = 2 对称 B ．f (x) 的图象关于点(2, 0) 对称 C ．f D ．y = f (x + 4) 为偶函数 【考点题型十】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【例 10】（多选）（24-25 高一上·重庆·期中）已知定义在 R 上的偶函数f(x) 和奇函数g(x) 满足f (2 + x) + g(-x) = 1 ，则( ) A ．f (x) 的图象关于点(2,1) 对称 B ．f (x) 是以8 为周期的周期函数 C ．存在函数h(x) ，使得对丫x ∈R ，都有h(g(x)) =| x | 【变式 10-1】（多选）（24-25 高三上·全国·阶段练习）已知函数f (x ) 是定义域为R的奇函数，且f (x +1)+ f (x + 2) = -f (x ) ，则( ) A ．f (1) = 1 B ．f (x ) 的一个周期是 3 C ．f (x ) 的一个对称中心是 D ．f (10)+ f (11)+ f (12) = 0 【变式 10-2】（多选）（24-25 高三上·甘肃金昌·期中）已知函数f(x) 的定义域为R，函数f (x +1) 是奇函数，且满足f (x +1) = f (3- x) ，则下列说法正确的是( ) A ．f (3) = 0 B ．函数f(x) 的图象关于y 轴对称 C ．f (x +1) - f (x -1) = 0 D ．若函数g(x) 满足g(x) + f (x + 3) = 2 ，则 = 4048 10 学科网（北京）股份有限公司 【考点题型十一】利用函数奇偶性求解析式 【例 11】（24-25 高一上·陕西咸阳·期中）已知函数f (x ) 是奇函数，且当x > 0 时， f (x) = x3 + x +1，则当 x < 0 时，f (x ) 的解析式为 . 【变式 11-1】（23-24 高一上·辽宁沈阳·期中）已知y = f (x) 是定义域为R 的奇函数，当x ≥ 0 时，f (x) = 2x3 + 2x + a ，则当 x < 0 时，f (x) = ． 【变式 11-2】（24-25 高一上·江苏无锡·期中）已知函数f (x ) 是偶函数，当x < 0 时， f (x) = x3 - 3x +1，则当 x > 0 时，f (x) = ． 【考点题型十二】恒成立与能成立问题 核心方法： Δ判别法+变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例 12-1】（24-25 高一上·黑龙江·期中）已知函数f (1)证明：函数f (x ) 在区间[-1,1] 上单调递增； (2) 设g (x ) = -2x + m ，若对任意的x1 ∈ [-1,1] ，x2 ∈ [0,1] ，f (x1 ) ≤ g (x2 ) 恒成立，求实数m的取值范围。 【例 12-2】（24-25 高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数f (x) = ax2 + (1 - a)x + a - 2 . (1)若关于 x 的不等式f (x ) ≥ -2 有实数解，求实数 a 的取值范围； (2)若不等式f (x ) ≥ -6 对于实数a ∈ [-1,1] 时恒成立，求实数 x 的取值范围. 【变式 12-1】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知y = f (x ) 定义域是R 的奇函数，当x < 0 时，f (x ) = -x2 + (2 - a )x + 3 . (1)若a = 4 ，求 f (2) 的值； (2)若函数f (x ) 在区间(-∞, -1]上单调递增，求a 的取值范围； (3)若a = 5 ，不等式f (x ) > m + 2x - 6 在区间[1,3] 上恒成立，求m 的取值范围. 【变式 12-2】（24-25 高一上·湖北·阶段练习）设f (x) = x2 - 2tx +1, g(x) = -x2 + 4tx +1，其中t > 0 ，记F(x) = min{f (x), g(x)} ． (1)若t = 1，求F(x) 的值域； (2)若t > 0 ，记函数h(x) = f (x) + tx -1+ t2 对任意x ，总存在 m ，使得h(x) = m 成立，求实数t 的取值范围； (3)若x ∈[0,3], ，求实数t 的取值范围． 15 学科网（北京）股份有限公司 提升训练 一、单选题 1．（24-25 高一上·天津南开·期中）已知函数f (x) = ax3 + bx +1，若 f (3) = 7 ，则 f (-3) = ( ) A ．-5 B ．-3 C ．3 D ．5 2．（24-25 高一上·宁夏银川·期中）函数y = f (x) 为定义在 R 上的偶函数，且对任意 x1, x2 ∈[0, +∞) (x1 ≠ x2 ) 都有 则下列关系正确的是( ) A ．f (-3) > f (-2) > f (1) B ．f (-2) > f (1) > f (-3) C ．f (-3) > f (1) > f (-2) D ．f (1) > f (-2) > f (-3) 3．（24-25 高一上·湖南·期中）已知函数f (x ，且对任意x1 ≠ x2 ，都有 ，则a 的取值范围是( ) A ．(-∞, -2] B ．(-∞,0) C ．(-3, -2] D ．[-3, -2] 4．（24-25 高一上·福建福州·期中）已知函数f (x ，若 f (x ) 在[-3, t ) 上的值域为[0, 4] ，则实数t 的取值范围为( ) A ．(2, 4] B ．[2, 4] C ．[-2,2] D ．[2, 4) 5．（24-25 高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数y 的值域是( ) A ．(-∞,2] B ．[1,2] C ．[1,3] D ．[2,+∞) 6．（24-25 高一上·天津北辰·期中）已知函数f(x) = (ex + e-x) . g(x) + 3 ，其中g(x) 为奇函数，若 f (a) = 2023 ，则 f (-a) = ( ) A ．- 2017 B ．- 2018 C ．- 2023 D ．- 2022 7．（24-25 高一上·福建厦门·期中）若f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在(-∞,0] 上是减函数，且不等式f (x2 -m) ≤ f (3x) 对于一切x ∈ [2,3] 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．[0, 2] B ．[-2,10] C ．[0,10] D ．[2,10] 8．（24-25 高一上·福建泉州·期中）已知f (x) = x x + 4x ，若正实数m, n 满足f (m)+ f (n - 6) = 0 ，则 的最小值是( ) A ． B ． C ． D ． 二、多选题 9．（24-25 高一上·河北邯郸·期中）已知函数f(x) 的定义域是(0, +∞) ，且 x, y ∈(0, + ∞) ，都有 f (xy) = f (x) + f (y) ，当 x > 1时， f (x) < 0, f (2) = -1，则下列说法正确的是( ) A ．f (1) = 0 B ．f (1024) = -10 C ．函数f (x) 在(0,+∞)上是减函数 D ．f ( ) + f ( ) + + f ( ) + f ( ) + f (2) + f (3) + + f (2023) + f (2024) = 2024 10．（24-25 高一上·吉林·期中）已知f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (3 + x ) = f (-x -1)，且 f (-1) = -2 ，则( ) 1 1 1 1 A ．f (5) = 2 B ．f (x ) 的图象关于直线x = 2 对称 C ．f (x +1) 是偶函数 D ．f (x ) 的图象关于点(2,0) 中心对称 3、 填空题 11．（24-25 高一上·福建厦门·期中）设函数f (x，若彐x1 , x2 ∈ R ，且x1 ≠ x2 ，使 f (x1 ) = f (x2 ) 成立，则实数a 的取值范围是 . 12．（24-25 高一上·广东广州·期中）定义：min {a, b ，已知函数 f (x) 是定义域为R 的奇函数，且当x > 0 时，f = min ，若对任意 x ∈R ，都有 f (x - 2) ≥ f (x) ，则实数t 的取值范围是 . 4、 解答题 13．（24-25 高一上·江苏镇江·期中）已知函数f (x ) = x3 + ax2 - 3x + b 是定义域为(-1,1) 上的奇函数． (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x ) 在定义域内是单调递减函数； (3)解关于x 的不等式f (2x -1) + f (x -1) ≤ 0 ． 14．（24-25 高一上·湖北黄冈·期中）已知函数f (x ) 为R 上的奇函数，当x ≥ 0 时，f(x) = x2 − 2x. (1)请在坐标系中画出f (x ) 的图象，并写出f (x ) 的解析式; (2)当x < 0 时，求关于 x 的不等式-5x + a (x - 3) > f (x ) 的解集. 15．（20-21 高一上·湖北武汉·期中）已知函数f 是定义在[-1,1] 上的奇函数，且f (1) = 1. (1)求m, n 的值； (2)判断f(x) 的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使f (a -1) + f (a2 -1) < 0 成立的实数 a 的取值范围. 16．（24-25 高一上·湖北黄冈·期中）我们知道函数y = f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y = f(x)的图象关于点P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数g (x) = f (x + a )− b 为奇函数. (1)由上述信息，若y = f(x)的图象关于点P(a, b) 成中心对称图形，证明： f (x)+ f (2a − x ) = 2b ； 已知函数f ，写出 f (x ) 图象的对称中心，并求 f (−2022)+ f (−2021)+ + f (−1)+ f (0)+ f (2)+ f (3)+ + f (2023)+ f (2024) 的值. (3)若函数f (x ) 具有以下性质：①定义域为D = [−2, 2] ，② f (x ) 在其定义域内单调递增， ③x ∈ D ，都有 f (x )+ f (−x ) = 2. 当函数g (x ) = f (x )+ x3 ，求使不等式g (k )+ g (k + 2) ≥ 2 成立的实数k 的取值范围. 函数的基本性质答案 【例 1-1】B【例 1-2】C【变式 1-1】 B 【例 2】（24-25 高一上·广东珠海·期中）已知函数f = x k ∈R ． (1)画出当k =−1 时，函数y = f(x)的图象； (2)探究函数y = f(x)的单调性． 【详解】（1）当k =−1 时，f = x x ∈ (−∞, 0) (0, +∞) .图象如下： （2）当k < 0 时，x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞)， f = x ，x 越大，反比例函数知道也越大，则x 也增大，则f (x) 在x ∈ (−∞,0) 上单调递增. f (x) 在(0, +∞)上也单调递增. 当k = 0 时，f (x) = x 在R 上单调递增. 当k > 0 时，x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞). 设x1 , x2 ∈ (0, +∞) ,且x1 < x2 , 则 f − f (xx1 − x 因为0 < x1 < x2 ,所以x1 − x2 < 0 , x1x2 > 0 , 当x1, x2 ∈ (0, 时,x1x2 − k0 → f (x1 )− f (x2 )0 ,此时函数f (x ) 为减函数; 当x1, x2 ∈ ( , +∞) 时,x1x2 − k > 0 → f (x1 )− f (x2 ) < 0 ,此时函数f (x ) 为增函数.综上,函数f (x ) = x + (k > 0) 在(0, ) 上为减函数,在( , +∞) 上为增函数. 且f ，则 f (x ) 为奇函数，在对称区间单调性相同. 则f (x) 在(−∞, − ]上单调递增， f (x) 在[− , 0) 单调递减. 综上所得， 当k < 0 时, f (x) 在x ∈ (−∞,0) 上单调递增, f (x) 在(0, +∞)上也单调递增. 当k = 0 时，f (x) = x 在R 上单调递增. 当k > 0 时，f (x) 在(−∞, − ]上单调递增， f (x) 在[− , 0) 单调递减; f (x ) 在(0,) 上单调递减，在( , +∞) 上单调递增. 【变式 2-1】（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数f (x ) = 的图象过点(1,1) 和| (1)求函数f (x ) 的解析式； (2)判断函数f (x ) 在区间(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明 . 【详解】（1）根据题意函数f (x ) = x2 + n 的图象过点(1,1) 则f (1) = m = 1 ，f (2) = m = 1 ，m 1+ n 4 + n 2 解得m = 3 ，n = 2 则f （2）函数 f (x ) 在(0, +∞)上单调递减，证明：任取 x1 ，x2 ∈ (0, +∞)，设x1 < x2 ， 则f 又因为0 < x1 < x2 ，则 x2 − x1 > 0 ，x1 + x2 > 0 ，x1 (2) + 2 > 0 ，x2 (2) + 2 > 0 ，则f (x1 ) − f (x2 ) > 0 ；所以 f (x1 ) < f (x2 ) , 故函数f (x ) 在(0, +∞)上为减函数. 【变式 2-2】（24-25 高一上·广东佛山·期中）已知函数 (1)求函数f (x ) 的解析式． (2)判断函数f (x ) 的单调性并证明； 【详解】（1）由题意，f = −1 , f 得f = b = −1, f 从而可得b = − 1, a = 1 ， 则函数f 的解析式为f （2）任取x1, x2 ，设 x1 < x2 ， 则f 当x1 < x2 ≤ 0 时，x1 − x2 < 0, x1 + x2 < 0, x1 (2) +1 > 0, x2 (2) +1> 0 ， 则 ，即 f (x1 ) > f (x2 ) ， 则f (x ) 在(−∞,0] 上单调递减； 当0 < x1 < x2 时，x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0, x1 (2) +1 > 0, x2 (2) +1> 0 ， 则 ，即 f (x1 ) < f (x2 ) ， 则f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增； 【例 3】A【变式 3-1】【变式 3-2】(−1, 2), (5, +∞ )【例 4】[2, 5)【变式 4-1】A 【例 5-1】A【例 5-2】(-∞, -1) (1, 2]【变式 5-1】A【变式 5-2】D 【例 6】①②④【变式 6-1】 A【变式 6-2】AD】【例 7】C【变式 7-1】C【变式 7-2】2【例 8-1】AC【例 8-2】 【变式 8-1】C【变式 8-2】C【例 9】D【变式 9-1】ACD【变式 9-2】AC【例 10】ABD【变式 10-1】BCD【变式 10-2】ABD【例 11】 f (x) = x3 + x −1【变式 11-1】2x3 − 2− x +1【变式 11-2】 −x3 + 3x + 1 【例 12-1】（24-25 高一上·黑龙江·期中）已知函f (1)证明：函数f (x ) 在区间[-1,1] 上单调 (2)设g (x ) = -2x + m ，若对任意的x1 ∈ [-1,1] ，x2 ∈ [0,1] ，f (x1 ) ≤ g (x2 ) 恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）证明: 设:1≤ x1 < x2 ≤ 1， 则f (x1 ) - f ， 因为 1 x1 x2 1，所以 x1x2 -1< 0 ，x2 - x1 > 0 ，(x1 (2) +1)(x2 (2) +1) > 0 ， 所以f (x1 ) - f (x2 ) < 0 → f (x1 ) < f (x2 ) ， 所以函数f (x ) 在区间[-1,1] 上单调递增， （2）由（1）知，函数 f (x ) 在区间[-1,1] 上单调递增，所以当x ∈ [-1,1] 时，f 则问题转化为，当0 ≤ x ≤1时， g = -2x+ m 恒成立 又函数g (x ) 在[0,1] 上单调递减，所以g (x )min = g (1) = -2+ m ，所以-2+ m ，解得m ， 故实数m 的取值范围为 【例 12-2】（24-25 高一上·湖南邵阳·阶段练习）设函数f (x) = ax2 + (1 - a)x + a - 2 . (1)若关于 x 的不等式f (x ) ≥ -2 有实数解，求实数 a 的取值范围； (2)若不等式f (x ) ≥ -6 对于实数a ∈ [-1,1] 时恒成立，求实数 x 的取值范围. 【答案】(1)[-1, +∞ ) (2)[-1,3] 【详解】（1）依题意，f (x ) ≥ -2 有实数解，即不等式ax2 + (1- a )x + a ≥ 0 有实数解，当a = 0 时，x ≥ 0 有实数解，则a = 0 符合题意， 当a > 0 时，取x = 0 ，则ax2 + (1- a )x + a = a > 0 成立，即ax2 + (1- a )x + a ≥ 0 有实数解，于是a > 0 符合题意， 当a < 0 时，二次函数y = ax2 + (1- a )x + a 的图象开口向下，要y ≥ 0 有解， 当且仅当 2 - 4a2 ≥ 0 -1≤ a ，从而得 -1≤ a < 0，综上，a ≥ -1 ，所以实数 a 的取值范围是[-1, +∞). （2） 不等式f (x ) ≥ -6 对于实数a ∈ [-1,1] 时恒成立，即丫a ∈ [-1,1]， (x2 -x +1)a + x + 4 ≥ 0 ，显然x2 − x +1 > 0 ，函数g (a) = (x2 − x +1)a + x + 4 在a ∈ [−1,1] 上递增，从而得g (−1) ≥ 0 ，即 −x2 + 2x + 3 ≥ 0 ，解得 −1 ≤ x ≤ 3，所以实数 x 的取值范围是[−1,3]. 【变式 12-1】（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知y = f (x ) 定义域是R 的奇函数，当x < 0 时，f (x ) = −x2 + (2 − a )x + 3 . (1)若a = 4 ，求 f (2) 的值； (2)若函数f (x ) 在区间(−∞, −1]上单调递增，求a 的取值范围； (3)若a = 5 ，不等式f (x ) > m + 2x − 6 在区间[1,3] 上恒成立，求m 的取值范围. 【详解】（1）当 a = 4 ，x < 0 时，f (x ) = −x2 − 2x + 3 ，则f (−2) = − (−2)2 − 2× (−2)+ 3 = 3 ， 又y = f(x)定义域是R 的奇函数，所以f (2) = −f (−2) = −3. （2）因为函数 f (x ) 在区间(−∞, −1]上单调递增， 所以此时只需考虑f (x ) 在(−∞,0) 上的单调性即可， 因为当x < 0 时，f (x ) = −x2 + (2 − a )x + 3 ，其图象开口向下，对称轴为x ，所以 ，解得a ≤ 4 ，即a 的取值范围为(−∞,4]. （3）因为不等式 f (x ) > m + 2x − 6 在区间[1,3] 上恒成立，所以此时只需考虑f (x ) 在(0, +∞)上的解析式即可， 当a = 5 ，x < 0 时，f (x ) = −x2 − 3x + 3 ， 当x > 0 时， −x < 0 ，则 f (−x) = − (−x)2 − 3× (−x)+ 3= −x2 + 3x + 3 ，又y = f(x)定义域是R 的奇函数，所以f (x) = −f (−x ) = x2 − 3x − 3 ，因为不等式f (x ) > m + 2x - 6 在区间[1,3] 上恒成立， 所以x2 - 3x - 3 > m + 2x - 6，即 x2 - 5x + 3 > m在[1,3] 上恒成立，令g (x ) = x2 - 5x + 3 ，则g (x )min > m ， 而g = x2 - 5x 当且仅当x 时，等号成立，则g min 所以 m，即 m . 【变式 12-2】（24-25 高一上·湖北·阶段练习）设f (x) = x2 - 2tx +1, g(x) = -x2 + 4tx +1，其中t > 0 ，记F(x) = min{f (x), g(x)} ． (1)若t = 1，求F(x) 的值域； (2)若t > 0 ，记函数h(x) = f (x) + tx -1+ t2 对任意x ，总存在 m ，使得h(x) = m 成立，求实数t 的取值范围； 若x ∈[0,3], ，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)(-∞,4] (2)1< t ≤ 2 【详解】（1）当t = 1时，在直角坐标系中，分别作出f (x) = x2 - 2x +1, g(x) = -x2 + 4x +1的图象（左图），进而可得F(x) 的图象（右图）， 令f (x) = g(x) ，解得x = 0, x = 3，故 f (3) = g (3) = 4,由图可知：F(x) 的值域为(-∞,4] （2）函数 h = f + tx -1+ t2 = x2 - tx + t 由于x ，t > 0 ，所以 t ，故t >1， 当t > 时， t ， h (x ) 在 单调递减，在 单调递增， 且t ，故h (x ) 在x = t 取最大值t2 ，在 x t 取最小值t2 故h 当1 < t ≤ 时， t ，h (x ) 在x 单调递增，h 若对任意x ，总存在 m ，使得h(x) = m 成立，则h (x ) 在x 上的值域为 的子集即可，故h 的子集， 故 ，解得 < t ≤ 2，或者 ，解得1< t ≤ 综上，所求t 的范围为(1,2]. （3）令 f (x) = x2 - 2tx +1 = g(x) = -x2 + 4tx +1，解得 x = 0 或x = 3t ，故F(x) 的图象如下： x ∈[0,3], ，即x ∈[0,3],-1≤ F(x) ≤ 2, F (0) = 1, F (3t ) = 3t2 +1, F (t ) = 1- t2 , 当t ≥ 3 时，此时F(x) 在[0,3] 单调递减，故只需要F(3) ≥ -1 即可，即F (3) = f (3) = 10 - 6t ≥ -1 ，解得t ，不符合题意，舍去， 当1< t < 3时， 3t > 3，此时F(x) 在[0,3] 上的最大值为F(3) ，最小为F(t ) = 1- t2 ,只需要F(t ) = 1- t2 ≥ -1 ，F (3) = f (3) = 10 - 6t ≤ 2 ，解得 4 ≤ t ≤ , 3 当0 < t ≤1时， 3t < 3 ，此时F(x) 在[0,3] 上的最大值为F(3t ) ， 只需要F(t ) = 1- t2 ≥ -1 ，且F(3) = g (3) = -8 +12t ≥ -1 且F(3t ) = 3t2 +1≤ 2 ，无解，综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 提升训练 一、单选题 1A2．D 3D 4 A 5A 6A 7C 8B 2、 多选题 9．ABC 10．ACD 三．填空题 11(−∞,3) 12． 四、解答题 13．（24-25 高一上·江苏镇江·期中）已知函数f (x ) = x3 + ax2 − 3x + b 是定义域为(−1,1) 上的奇函数． (1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x ) 在定义域内是单调递减函数； (3)解关于x 的不等式f (2x −1)+ f (x −1) ≤ 0 ． 【详解】（1）由题意可得f (0) = 0 ，即b = 0 ， 又x ∈ (—1, 1)时，f (x ) 是奇函数，所以f(—x) = —f(x)即 −x3 + ax2 + 3x = −x3 − ax2 + 3x ，可得a = 0 ， 所以a = 0 ，b = 0. （2）由（1）可得 f (x ) = x3 − 3x ，设−1< x1 < x2 < 1， f (x1 )− f (x2 ) = x1 (3) − 3x1 − (x2 (3) − 3x2 ) = x1 (3) − x2 (3) − (3x1 − 3x2 ) = (x1 − x2 )(x1 (2) + x1x2 + x2 (2) − 3) ，① 因为−1< x1 < x2 < 1， 所以x1 − x2 < 0, 0 < x1 (2) < 1, 0 < x2 (2) < 1, 0 < x1x2 < 1, x1 (2) + x1x2 + x2 (2) − 3 < 0 ，所以① > 0 ，即 f (x ) 在定义域内是单调递减函数. （3）因为 f (x ) 是奇函数， 所以原不等式可化为f (2x −1) ≤ −f (x −1) = f (1− x )，又f (x ) 在定义域内是单调递减函数， 所以 1 ，解得 x < 1，所以不等式的解集为 14．（24-25 高一上·湖北黄冈·期中）已知函数f (x ) 为R 上的奇函数，当x ≥ 0 时，f(x) = x2 - 2x. (1)请在坐标系中画出f (x ) 的图象，并写出f (x ) 的解析式; (2)当x < 0 时，求关于 x 的不等式−5x + a (x − 3) > f (x ) 的解集. 【详解】（1）当 x < 0 时， −x > 0 ，f (−x) = (−x)2 − 2 (−x) = x2 + 2x ，由f (x ) 在R 上为奇函数得，f (x) = −f (−x ) = −x2 − 2x ， f (x ) 图象如图所示： （2）当 x < 0 时， −5x + a (x − 3) > −x2 − 2x ， 整理得x2 + (a − 3)x − 3a > 0 ，即(x + a )(x − 3) > 0 ， ∵ x < 0 ，: x − 3 < 0 ，: x + a < 0 ， 当a ≤ 0 时，不等式解集为{x | x < 0}. 当a > 0 时，不等式解集为{x | x <−a} . 15．（20-21 高一上·湖北武汉·期中）已知函数f 是定义在[−1,1] 上的奇函数，且f (1) = 1. (1)求m, n 的值； (2)判断f(x) 的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使f (a −1) + f (a2 −1) < 0 成立的实数 a 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知 f (0) = 0 ，故 n = 0 ， 又由f (1) = 1可得f (1) = = 1 ，解得 m = 2 ； 所以f x ∈ [−1,1]， 此时f(x)定义域关于原点对称，且f 故f(x)是定义在[−1,1] 上的奇函数，满足题意， 所以m = 2, n = 0. （2）f (x) 在[−1,1] 上单调递增，证明如下：取任意x1, x2 ∈ [−1,1]，且 x1 < x2 ， 则f 因为x1, x2 ∈ [−1,1]，且 x1 < x2 ， 所以x1 − x2 < 0, x1 (2) +1 > 0, x2 (2) +1> 0 ，x1x2 < 1， 所以1 − x1x2 > 0 ， 所以f 即f < f 因此f (x) 在[−1,1] 上单调递增. （3）由（1）（2）可知，f (x) 是在[−1,1] 上单调递增的奇函数，所以由f (a −1) + f (a2 −1) < 0 可得f (a −1) < −f (a2 −1) = f (1− a2 ) ，因此需满足{〔l1 ，解得 ，即0 ≤ a <1； 故实数 a 的取值范围为[0,1). 16．（24-25 高一上·湖北黄冈·期中）我们知道函数y = f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y = f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y = f(x)的图象关于点P(a, b) 成中心对称图形的充要条件是函数g (x) = f (x + a )− b 为奇函数. (1)由上述信息，若y = f(x)的图象关于点P(a, b) 成中心对称图形，证明： f (x)+ f (2a − x ) = 2b ； 已知函数f ，写出 f (x ) 图象的对称中心，并求 f (−2022)+ f (−2021)+ + f (−1)+ f (0)+ f (2)+ f (3)+ + f (2023)+ f (2024) 的值. (3)若函数f (x ) 具有以下性质： ①定义域为D = [−2, 2] ， ② f (x ) 在其定义域内单调递增， ③x ∈ D ，都有 f (x )+ f (−x ) = 2. 当函数g (x ) = f (x )+ x3 ，求使不等式g (k )+ g (k + 2) ≥ 2 成立的实数k 的取值范围. 【详解】（1）由已知得：g (x)+ g (−x ) = 0 ，即 (f (−x + a)−b)+ (f (x + a)− b) = 0 ， : 设x = a − t ，则 (f (−a + t + a )−b)+ (f (a −t + a )−b) = 0 ， 整理，得：f (t )+ f (2a − t ) = 2b ，即证； （2） 因为f (x + a )− b 为奇函数，可得：a = 1 ，b = 2 ，故函数f (x ) 的对称中心为(1, 2) ， 由f (x )+ f (2 − x ) = 4 发现规律：f (0)+ f (2) = 4 ，f (−1)+ f (3) = 4 ，f (−2)+ f (4) = 4 ， f (−2022)+ f (20244) = 4 问题(2) 中累加求和式子 （3）因为x ∈ D ，都有 f (x )+ f (−x ) = 2 ，令x = 0，则有2f (0) = 2 ，解得 f (0) = 1 ，所以f (x ) 图象关于点(0,1) 中心对称， 由问题(3)中不等式可得：[f (k )+ k3 ]+[f (k + 2)+(k + 2)3 ≥ 2 ， 2 = f (k )+ f (−k ) ， 所以[f (k )+ k3 ]+[f (k + 2)+ (k + 2)3 ≥ f (k )+ f (−k )，整理得：f (k + 2)+ (k + 2)3 ≥ f (−k )− k3 ， 则：g (k + 2) ≥ g (−k )， f (x ) 定义域为[−2,2] ，:g (x ) 定义域为[−2,2] ， 又 g (x ) = f (x )+ x3 且f (x ) 在其定义域内单调递增， :g (x ) 在其定义域内单调递增， 〔−2 ≤ −k ≤ 2 :{−2 ≤ k + 2 ≤ 2 ， lk + 2 ≥ −k 解得：k ∈ [−1,0]. 【点睛】方法点睛：抽象函数求解不等式，一般通过构造函数，确定函数奇偶性和单调性，通过去“ f ”处理. 17 学科网（北京）股份有限公司 $