1.3 圆锥曲线中焦半径 讲义-2027届高三数学一轮复习

高三数学 解析几何基础篇 1.3 焦半径三部曲 原卷 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.3 焦半径三部曲 原卷 从坐标式到角度式，再把距离定比转化为坐标与参数的范围 本讲研究椭圆与双曲线上动点到焦点的距离. 先利用坐标式减少根式运算，再由焦点处的角表示距离，最后处理距离成定比时点的位置及离心率的范围. 双曲线问题始终区分左、右支，并检查角的定义与分母的符号. 抛物线只作必要对照. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 认准曲线 再写焦半径 先确定焦点和点所在的位置，再把距离关系转化为坐标关系。 先统一记号 焦半径是曲线上一点与焦点的连线段。记、，；用、表示长度。 本讲，且、。 椭圆：先用和固定 ，，，。 ，。 联立得，；横坐标须满足。 双曲线：先看哪一支 ，，，。 右支：，。 左支：，。 已知距离关系时，怎样算 已知某条焦半径、两条焦半径的和差或线性组合时，先写相应坐标式，化为关于的一次关系。 解出后，代入曲线方程求；消去根式后仍要检查分支与象限。 椭圆先用两条焦半径的和；双曲线先辨明分支，再确定差的顺序。 不要只检查距离为正 右支，左支相反；还须核对是否在题设分支上。限定象限时，不能补入不合题意的对称点。 用角表示距离 先看清方向 角的一边指向哪里，决定代入时余弦的符号。 本讲角的定义 取，令为向量与向量的夹角，。 由数量积定义，，所以。 点在上半平面或下半平面时，都按这个向量夹角定义。 题目给另一个焦点方向时 若给出，其一边沿轴负方向。 ，故。先转换方向，再代入公式。 什么时候改用角度式 已知焦点处的角、射线方向或与坐标轴的夹角时，先用投影关系写出。 把代入已选定分支的焦半径坐标式，求出距离。 两图采用同一点。与互为补角；点在下半平面时，仍按向量夹角定义，不把图上的旋转方向当成定义。 换坐标轴时重新对应 焦点在轴上时，改用下、上焦点及纵坐标重新推导。圆的两个焦点重合，不套用本讲要求的椭圆定比结论。 方向与分母一起检查 双曲线角度式的分母必须为正，并保留所要求的分支。不能根据示意图就假定角为锐角。 同一个字母只表示一个角 不要让同一个字母同时表示焦点处的角与椭圆的参数角。 距离成定比 最后检查能否取得 先解出两条距离，再确定坐标；有代数解，还要有曲线上的对应点。 先选正确的联立关系 已知，须有。 椭圆联立；双曲线右支联立，左支联立。 再把距离变成位置 先求，再由相应坐标式求。 椭圆核对；双曲线核对或。在范围内，才可能有题目所求的点。 求参数范围时先看量词 “至少存在一个点”与“每一个点都满足”是不同问题。 求离心率或比值范围时，应先确定点能取的位置，再判断要求的是存在一个点，还是所有点。 先确定横坐标，再由曲线方程求纵坐标；最后按顶点、象限和分支条件保留符合题意的点。 端点能否保留，看题设 允许椭圆长轴顶点或双曲线顶点时，相应端点比值可以取得。若要求，这些端点应除去。 点数从横坐标继续判断 同一非顶点横坐标通常对应上下两个点；限定象限后再计数。双曲线上不可能有，不能取。 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 椭圆上两条焦半径的坐标式 条件 已知椭圆，其中，，. 左、右焦点分别为、，. 结论 ，. 两条焦半径的取值范围均为. 两条焦半径分别随横坐标增大而增大、减小；不能把它们的最大值同时相加，因为对应的点不同. 焦半径由动点的横坐标表示；左右焦点不同，横坐标项前的符号也不同. 推导 设、. 由椭圆定义，由距离公式，所以. 联立得、. 因且，得. 端点分别在椭圆左、右顶点处取得，且. 使用提醒 公式对应的焦点必须准确. 对右焦点是；若排除长轴顶点，距离范围的两端也应除去. 结论02 双曲线焦半径的坐标式应按分支使用 条件 已知双曲线，其中，，. 左、右焦点为、，. 结论 右支上，、. 左支上，、. 两支统一可写为、. 这里外层绝对值不能省略. 两支上的距离式不同；先确定分支，再去掉距离式中的绝对值. 推导 右支有，而，所以. 联立得右支的两个表达式. 左支有，仍有，所以. 联立得左支的两个表达式. 右支，左支，故上述四个长度均为正，并可合并成绝对值形式. 使用提醒 先验明分支，再代入一次式. 不能因为最后算出的长度为正，就省略对或的检查. 结论03 椭圆上以右焦点为顶点的角度式 条件 采用结论01的椭圆和焦点. 设，为向量与向量的夹角，. 结论 . 因，任意都使分母为正. 若改记，则，从而. 图中角的顶点在右焦点，一边沿横轴正方向；角度式必须与此约定对应. 推导 由角的定义，. 代入，得. 又，整理得角度式. 因，有. 对任意给定方向，取上述正数及相应点，其坐标满足椭圆方程，故式子不仅是必要条件. 使用提醒 与轴正方向的夹角和指向另一个焦点的夹角互为补角，分母中的符号应随之改变. 结论04 双曲线的角度式必须同时说明分支 条件 采用结论02的双曲线和焦点. 设，仍为向量与向量的夹角，. 结论 当在右支时，，且必须有. 当在左支时，，且必须有. 两个公式不能互换. 同一个角的定义下，左右两支仍须分别列式，并检验分母和焦半径均为正. 推导 由，在右支代入，得. 因，分母必须为正，得到右支的角度限制. 左支代入，得. 由得，得到左支的公式和角度限制. 反之，若并按右支公式取，则；代入坐标关系可验证点在双曲线上. 左支同理，整理得，故点在左支. 使用提醒 分母为零的方向没有有限交点. 左支条件更严格；只写双曲线角度式而不注明分支，可能把另一条支上的交点漏掉. 结论05 椭圆焦半径成定比时的位置与点的个数 条件 采用结论01的椭圆，设，动点满足. 结论 、，且. 存在这样的点，当且仅当. 两端各对应一个长轴顶点，严格在两端之间时对应上下两个点. 若要求，两端应同时除去. 焦半径之比确定横坐标，再用椭圆方程判断点的个数；轴上点是否允许应另行检查. 推导 联立与，得两条距离. 再用，解得横坐标. 点存在等价于. 代入后化为，因且，解得上述范围. 反之，范围内的确定的在内，代入椭圆方程可得实数纵坐标，原来的距离定比也成立. 端点纵坐标为零，内部纵坐标有两个相反的非零值. 使用提醒 焦点一般不是椭圆顶点. 比值为时对应短轴两个端点，而不是椭圆中心，因为中心不在椭圆上. 结论06 双曲线焦半径定比的范围在两支上不同 条件 采用结论02的双曲线，设，要求. 结论 右支上，，且. 上端比值在右顶点取得，不能取得. 左支上，，且. 下端比值在左顶点取得. 若要求，相应顶点比值也应除去. 同一条双曲线两支的定比范围不同；远离顶点时可接近的界限不一定能够取到. 推导 在右支，由及，得、，再由解出. 条件等价于，即所列范围. 在左支，由，得、，再由得横坐标. 条件等价于. 每个符合范围的横坐标都能在相应支上取得. 非顶点位置有两个相反的非零纵坐标；顶点只有一个. 使用提醒 不能在双曲线上取. 比值趋近表示点远离顶点，不表示存在一个焦半径相等的有限点. 结论07 由焦半径定比能否取得确定离心率范围 条件 焦点仍为、，给定常数. 分别考虑结论01的椭圆和结论02的双曲线右支. 结论 椭圆上存在点使，当且仅当. 若再要求，左端应改为严格不等号. 双曲线右支存在这样的点，当且仅当. 若再要求，右端应改为严格不等号. 把定比关系化为横坐标范围，再结合圆锥曲线允许的坐标范围确定离心率. 推导 因，椭圆的下端比值小于，只需检验. 两边乘以正数并整理，得，再与合并. 双曲线右支由，乘以正数，得，再与合并. 两种曲线等号均对应顶点，故排除时应同时排除等号. 使用提醒 本结论说的是至少存在一个点. 若要求比值对所有点满足某个不等式，应先求比值的完整取值范围，不能直接套用存在性结论. 结论08 抛物线焦半径的对照及过焦点弦的倒数关系 条件 已知抛物线，其中，焦点为. 设，，为向量与向量的夹角. 结论 ，其中. 若过焦点的直线与抛物线交于两个不同点，则. 过焦点的弦连接抛物线上的两个不同点，焦点在线段内部；焦半径关系应同时满足正值条件. 角度式以上端点为动点。 推导 由抛物线定义，. 又，所以，整理得角度式，且分母必须为正. 设直线不垂直于轴时斜率为. 联立与，当时所得关于的二次方程在处取负值，故焦点位于弦内部. 当时只有一个交点，不符合两点条件；垂直于轴的弦同样由上下对称的两个点组成，焦点位于内部. 因此射线与方向相反. 若一条射线与轴正方向的夹角余弦为，另一条的余弦为，则、. 两式取倒数后相加即得结论. 使用提醒 参数满足方程，不是焦点横坐标；后者是. 与轴重合的直线不能截得两个不同点，不能作为所述焦点弦. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并写出必要的推理过程. 完成后可对照解析订正. 类型一 坐标式 例1 由过焦点的竖直弦确定双曲线的离心率 基础 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）第12题 选编 设双曲线（）的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点. 若，，则的离心率为________.   例2 同一距离关系在双曲线两支上分别求解 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上. （1）若，求点的坐标. （2）点在双曲线上运动时，求的最小值及相应点的坐标.   例3 把双曲线远焦半径转化为距离和 提升 海南中学2024—2025学年第一学期期中考试高二数学 第5题 选编 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，，则的最小值为（ ） A. B. C. D.   类型二 角度式 例4 从同一焦点出发的两条射线 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为. 锐角满足. 过作位于轴上方的两条射线，与轴正方向的夹角分别为、，与椭圆分别交于. （1）求、. （2）求线段的长度. 图中两条射线与轴正方向的夹角分别为、，角的顶点均为.   例5 抛物线焦点弦及准线上的辅助点（多选） 综合 2025年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）第10题 选编 已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（ ） A. B. C. D.   类型三 定比模型 例6 由焦半径比值区间确定椭圆上的一段弧 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在椭圆上半部分运动，并满足. （1）求横坐标的取值范围. （2）求点的纵坐标的最大值及相应点的坐标.   例7 由焦点弦的分段比与另一焦半径确定椭圆 综合 北京工业大学附属中学2024年高二10月月考数学 第9题 选编 已知椭圆的焦点为、，过的直线与交于两点. 若，，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D.   例8 两条共焦点曲线上的同横坐标定比点 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点. 点在椭圆第一象限部分，点在双曲线右支第一象限部分，且两点横坐标相同. 已知. （1）求两点的共同横坐标. （2）判断两点是否重合，并求两点坐标及共同的焦半径比值.   04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 类型一 坐标式 训练01 由横坐标直接求右焦半径 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且横坐标为. 则（ ） A. B. C. D.   训练02 由一条焦半径求椭圆上的两个点 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左焦点为. 若且，则的坐标为________.   训练03 由焦半径平方和确定象限内的点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆第二象限部分，且. 则的坐标为________，________.   训练04 双曲线左右支的焦半径表达式辨析（多选） 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为，. 下列结论正确的是（ ） A. 若在右支，则 B. 若在左支，则 C. D.   训练05 象限限制下焦半径线性组合的范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆的中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程. （2）点在椭圆第一象限部分运动，求的取值范围.   训练06 共焦点的双曲线与抛物线（多选） 基础 海南中学2024—2025学年第一学期期中考试高二数学 第9题 选编 抛物线（）与双曲线有相同的焦点，点在上，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线为 C. D. 点到焦点的距离为   训练07 抛物线准线、圆的切线与焦半径的比较（多选） 综合 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）第10题 选编 抛物线的准线为，为上动点. 过作圆的一条切线，为切点；过作的垂线，垂足为. 则（ ） A. 与圆相切 B. 三点共线时， C. 时， D. 满足的点恰有个   类型二 角度式 训练08 以正方向夹角求椭圆焦半径 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为，. 向量与向量的夹角为，且. 则（ ） A. B. C. D.   训练09 双曲线右支的方向与距离 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的右焦点为，点在右支上. 向量与向量的夹角为，且. 则________.   训练10 方向参数的取值不能越过渐近方向 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的右焦点为. 点在右支上，向量与向量的夹角为，记，并要求. （1）求的取值范围，并用表示. （2）若，求的取值范围.   训练11 抛物线焦点弦中两条焦半径成定比 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两个不同点，且. （1）求弦长. （2）求直线的方程.   类型三 定比模型 训练12 同一焦半径定比下点的位置与对称性（多选） 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为，且. 下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标为 B. 符合条件的点恰有两个 C. 设为原点，则 D. 若为关于轴的对称点，则   训练13 双曲线右支上给定定比的点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在位于第一象限的部分上，且，则的坐标为________，________.   训练14 允许顶点与排除顶点时的存在条件 综合 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆满足，左、右焦点为，离心率为. （1）若在整个椭圆上，焦半径比值能取到，但不能取到，求的取值范围. （2）若只允许在椭圆上且，仍要求该比值能取到而不能取到，求的取值范围.   训练15 同一比值在椭圆与双曲线上能否取得 综合 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点. （1）求这样的正数的范围：分别存在和，使. （2）当且的纵坐标均为正时，求两点坐标.   训练16 将焦半径定比与等距点的分点关系结合 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点为，点在位于第一象限的部分上. 线段上有一点满足. 记. （1）用表示点的横坐标及比值，并写出的取值范围. （2）若，求的坐标.   05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 把焦半径当成带正负号的代数式 先把长度写为，再依据曲线和分支使用正值表达式. 双曲线左右支使用同一组一次式 右支使用、，左支使用、. 没有说明焦点角的一边方向 先由或实际角的定义列式，再整理分母. 算出横坐标就认定点存在 代入曲线方程并检查纵坐标为实数；再核对分支、象限及等限制. 定比问题只写必要条件 核对比值的完整范围以及端点是否可取；必要时给出相应点证明充分性. 把双曲线比值的极限当作可取得的值 右支的可以任意接近，但不能等于. 完成后的自查 □ 能够从圆锥曲线定义与距离平方差推导坐标式，而不只记忆公式. □ 能够明确焦点处角的一边方向，检查角度式的分母和曲线分支. □ 能够把距离定比转化为横坐标范围，说明比值和离心率端点的开闭. □ 能够根据题设限制判断点的个数，并逐一核对实际可取得的位置. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 解析几何基础篇 1.3 焦半径三部曲 解析 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.3 焦半径三部曲 解析 从坐标式到角度式，再把距离定比转化为坐标与参数的范围 本讲研究椭圆与双曲线上动点到焦点的距离. 先利用坐标式减少根式运算，再由焦点处的角表示距离，最后处理距离成定比时点的位置及离心率的范围. 双曲线问题始终区分左、右支，并检查角的定义与分母的符号. 抛物线只作必要对照. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 认准曲线 再写焦半径 先确定焦点和点所在的位置，再把距离关系转化为坐标关系。 先统一记号 焦半径是曲线上一点与焦点的连线段。记、，；用、表示长度。 本讲，且、。 椭圆：先用和固定 ，，，。 ，。 联立得，；横坐标须满足。 双曲线：先看哪一支 ，，，。 右支：，。 左支：，。 已知距离关系时，怎样算 已知某条焦半径、两条焦半径的和差或线性组合时，先写相应坐标式，化为关于的一次关系。 解出后，代入曲线方程求；消去根式后仍要检查分支与象限。 椭圆先用两条焦半径的和；双曲线先辨明分支，再确定差的顺序。 不要只检查距离为正 右支，左支相反；还须核对是否在题设分支上。限定象限时，不能补入不合题意的对称点。 用角表示距离 先看清方向 角的一边指向哪里，决定代入时余弦的符号。 本讲角的定义 取，令为向量与向量的夹角，。 由数量积定义，，所以。 点在上半平面或下半平面时，都按这个向量夹角定义。 题目给另一个焦点方向时 若给出，其一边沿轴负方向。 ，故。先转换方向，再代入公式。 什么时候改用角度式 已知焦点处的角、射线方向或与坐标轴的夹角时，先用投影关系写出。 把代入已选定分支的焦半径坐标式，求出距离。 两图采用同一点。与互为补角；点在下半平面时，仍按向量夹角定义，不把图上的旋转方向当成定义。 换坐标轴时重新对应 焦点在轴上时，改用下、上焦点及纵坐标重新推导。圆的两个焦点重合，不套用本讲要求的椭圆定比结论。 方向与分母一起检查 双曲线角度式的分母必须为正，并保留所要求的分支。不能根据示意图就假定角为锐角。 同一个字母只表示一个角 不要让同一个字母同时表示焦点处的角与椭圆的参数角。 距离成定比 最后检查能否取得 先解出两条距离，再确定坐标；有代数解，还要有曲线上的对应点。 先选正确的联立关系 已知，须有。 椭圆联立；双曲线右支联立，左支联立。 再把距离变成位置 先求，再由相应坐标式求。 椭圆核对；双曲线核对或。在范围内，才可能有题目所求的点。 求参数范围时先看量词 “至少存在一个点”与“每一个点都满足”是不同问题。 求离心率或比值范围时，应先确定点能取的位置，再判断要求的是存在一个点，还是所有点。 先确定横坐标，再由曲线方程求纵坐标；最后按顶点、象限和分支条件保留符合题意的点。 端点能否保留，看题设 允许椭圆长轴顶点或双曲线顶点时，相应端点比值可以取得。若要求，这些端点应除去。 点数从横坐标继续判断 同一非顶点横坐标通常对应上下两个点；限定象限后再计数。双曲线上不可能有，不能取。 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 椭圆上两条焦半径的坐标式 条件 已知椭圆，其中，，. 左、右焦点分别为、，. 结论 ，. 两条焦半径的取值范围均为. 两条焦半径分别随横坐标增大而增大、减小；不能把它们的最大值同时相加，因为对应的点不同. 焦半径由动点的横坐标表示；左右焦点不同，横坐标项前的符号也不同. 推导 设、. 由椭圆定义，由距离公式，所以. 联立得、. 因且，得. 端点分别在椭圆左、右顶点处取得，且. 使用提醒 公式对应的焦点必须准确. 对右焦点是；若排除长轴顶点，距离范围的两端也应除去. 结论02 双曲线焦半径的坐标式应按分支使用 条件 已知双曲线，其中，，. 左、右焦点为、，. 结论 右支上，、. 左支上，、. 两支统一可写为、. 这里外层绝对值不能省略. 两支上的距离式不同；先确定分支，再去掉距离式中的绝对值. 推导 右支有，而，所以. 联立得右支的两个表达式. 左支有，仍有，所以. 联立得左支的两个表达式. 右支，左支，故上述四个长度均为正，并可合并成绝对值形式. 使用提醒 先验明分支，再代入一次式. 不能因为最后算出的长度为正，就省略对或的检查. 结论03 椭圆上以右焦点为顶点的角度式 条件 采用结论01的椭圆和焦点. 设，为向量与向量的夹角，. 结论 . 因，任意都使分母为正. 若改记，则，从而. 图中角的顶点在右焦点，一边沿横轴正方向；角度式必须与此约定对应. 推导 由角的定义，. 代入，得. 又，整理得角度式. 因，有. 对任意给定方向，取上述正数及相应点，其坐标满足椭圆方程，故式子不仅是必要条件. 使用提醒 与轴正方向的夹角和指向另一个焦点的夹角互为补角，分母中的符号应随之改变. 结论04 双曲线的角度式必须同时说明分支 条件 采用结论02的双曲线和焦点. 设，仍为向量与向量的夹角，. 结论 当在右支时，，且必须有. 当在左支时，，且必须有. 两个公式不能互换. 同一个角的定义下，左右两支仍须分别列式，并检验分母和焦半径均为正. 推导 由，在右支代入，得. 因，分母必须为正，得到右支的角度限制. 左支代入，得. 由得，得到左支的公式和角度限制. 反之，若并按右支公式取，则；代入坐标关系可验证点在双曲线上. 左支同理，整理得，故点在左支. 使用提醒 分母为零的方向没有有限交点. 左支条件更严格；只写双曲线角度式而不注明分支，可能把另一条支上的交点漏掉. 结论05 椭圆焦半径成定比时的位置与点的个数 条件 采用结论01的椭圆，设，动点满足. 结论 、，且. 存在这样的点，当且仅当. 两端各对应一个长轴顶点，严格在两端之间时对应上下两个点. 若要求，两端应同时除去. 焦半径之比确定横坐标，再用椭圆方程判断点的个数；轴上点是否允许应另行检查. 推导 联立与，得两条距离. 再用，解得横坐标. 点存在等价于. 代入后化为，因且，解得上述范围. 反之，范围内的确定的在内，代入椭圆方程可得实数纵坐标，原来的距离定比也成立. 端点纵坐标为零，内部纵坐标有两个相反的非零值. 使用提醒 焦点一般不是椭圆顶点. 比值为时对应短轴两个端点，而不是椭圆中心，因为中心不在椭圆上. 结论06 双曲线焦半径定比的范围在两支上不同 条件 采用结论02的双曲线，设，要求. 结论 右支上，，且. 上端比值在右顶点取得，不能取得. 左支上，，且. 下端比值在左顶点取得. 若要求，相应顶点比值也应除去. 同一条双曲线两支的定比范围不同；远离顶点时可接近的界限不一定能够取到. 推导 在右支，由及，得、，再由解出. 条件等价于，即所列范围. 在左支，由，得、，再由得横坐标. 条件等价于. 每个符合范围的横坐标都能在相应支上取得. 非顶点位置有两个相反的非零纵坐标；顶点只有一个. 使用提醒 不能在双曲线上取. 比值趋近表示点远离顶点，不表示存在一个焦半径相等的有限点. 结论07 由焦半径定比能否取得确定离心率范围 条件 焦点仍为、，给定常数. 分别考虑结论01的椭圆和结论02的双曲线右支. 结论 椭圆上存在点使，当且仅当. 若再要求，左端应改为严格不等号. 双曲线右支存在这样的点，当且仅当. 若再要求，右端应改为严格不等号. 把定比关系化为横坐标范围，再结合圆锥曲线允许的坐标范围确定离心率. 推导 因，椭圆的下端比值小于，只需检验. 两边乘以正数并整理，得，再与合并. 双曲线右支由，乘以正数，得，再与合并. 两种曲线等号均对应顶点，故排除时应同时排除等号. 使用提醒 本结论说的是至少存在一个点. 若要求比值对所有点满足某个不等式，应先求比值的完整取值范围，不能直接套用存在性结论. 结论08 抛物线焦半径的对照及过焦点弦的倒数关系 条件 已知抛物线，其中，焦点为. 设，，为向量与向量的夹角. 结论 ，其中. 若过焦点的直线与抛物线交于两个不同点，则. 过焦点的弦连接抛物线上的两个不同点，焦点在线段内部；焦半径关系应同时满足正值条件. 角度式以上端点为动点。 推导 由抛物线定义，. 又，所以，整理得角度式，且分母必须为正. 设直线不垂直于轴时斜率为. 联立与，当时所得关于的二次方程在处取负值，故焦点位于弦内部. 当时只有一个交点，不符合两点条件；垂直于轴的弦同样由上下对称的两个点组成，焦点位于内部. 因此射线与方向相反. 若一条射线与轴正方向的夹角余弦为，另一条的余弦为，则、. 两式取倒数后相加即得结论. 使用提醒 参数满足方程，不是焦点横坐标；后者是. 与轴重合的直线不能截得两个不同点，不能作为所述焦点弦. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并写出必要的推理过程. 完成后可对照解析订正. 类型一 坐标式 例1 由过焦点的竖直弦确定双曲线的离心率 基础 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）第12题 选编 设双曲线（）的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点. 若，，则的离心率为________. 答案 分析 利用上下对称求右焦半径，再由直角三角形求焦距，最后由双曲线定义确定实半轴长. 详解 直线过右焦点且平行于轴，两交点关于轴对称，故. 因为，所以，得. 点在双曲线右支，由定义，得，所以. 例2 同一距离关系在双曲线两支上分别求解 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上. （1）若，求点的坐标. （2）点在双曲线上运动时，求的最小值及相应点的坐标. 答案 （1）或；（2）最小值为，此时. 分析 （1）按左、右支分别把距离关系化为关于横坐标的一次方程，检验分支后求纵坐标. （2）分别求两支上线性式的最小值，再比较. 详解 （1）、、. 右支上，令其等于，得. 代入双曲线方程，得. 左支上. 令其等于，得，代入得. 四个点均符合原条件. （2）右支，所以，等号在右顶点取得. 左支，所以. 因此全曲线上的最小值为，仅在时取得. 例3 把双曲线远焦半径转化为距离和 提升 海南中学2024—2025学年第一学期期中考试高二数学 第5题 选编 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案 D 分析 利用右支两条焦半径之差为常数，把所求式转化为点到两个定点的距离和，并检验线段上的取等点是否在双曲线上. 详解 设. 该双曲线、、. 右支上、，所以. 从而. 等号要求在线段上. 线段所在直线为. 与联立，得. 此点满足且在线段内部，故下界能够取得，最小值为. 类型二 角度式 例4 从同一焦点出发的两条射线 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为. 锐角满足. 过作位于轴上方的两条射线，与轴正方向的夹角分别为、，与椭圆分别交于. （1）求、. （2）求线段的长度. 图中两条射线与轴正方向的夹角分别为、，角的顶点均为. 答案 （1），；（2）. 分析 （1）分别代入同一角度定义下的焦半径公式，注意两角的余弦相反. （2）先求两点坐标，再用两点间距离公式. 详解 （1）、、，所以，. （2）因且，得，. 因此. 例5 抛物线焦点弦及准线上的辅助点（多选） 综合 2025年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）第10题 选编 已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 答案 ACD 分析 由抛物线定义判断A；以过焦点直线的倾斜角表示弦长和两条焦半径的积，再利用垂直关系计算与辅助点有关的距离；B可用竖直弦检验. 详解 直线是抛物线的准线，由定义，A正确. 设直线的倾斜角为，其中. 与轴重合时不能截得两个不同点，故. 两端的焦半径可写为和，端点名称可以互换. 因焦点在弦内部，得，所以C正确. 又. 直线，且点与的横坐标相差，故，从而. 由直角三角形与，得、. 所以，D正确. 取直线，则、、. 此时，而，两者不等，B错误. 类型三 定比模型 例6 由焦半径比值区间确定椭圆上的一段弧 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在椭圆上半部分运动，并满足. （1）求横坐标的取值范围. （2）求点的纵坐标的最大值及相应点的坐标. 答案 （1）；（2）最大值为，此时. 分析 （1）写出两条焦半径的坐标式，利用正分母解比值不等式. （2）结合椭圆方程和横坐标的正值范围，确定纵坐标最大时的位置. 详解 （1）、，故比值为，其中. 条件分别给出与，即. 此区间在内，每个横坐标均对应一个上半椭圆上的点. （2）. 因，当增大时减小，故在时取得最大值. 对应点满足比值为，符合题意. 例7 由焦点弦的分段比与另一焦半径确定椭圆 综合 北京工业大学附属中学2024年高二10月月考数学 第9题 选编 已知椭圆的焦点为、，过的直线与交于两点. 若，，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 答案 B 分析 用一条焦半径表示弦的两段长度，由椭圆定义先确定另一端点到两焦点的距离相等，再结合分点坐标与椭圆方程求半轴. 解题图 详解 设，则. 焦点在弦内部，所以，进而. 由椭圆定义，故. 对点，有，所以在两焦点的垂直平分线上，即为短轴端点. 不妨取. 设，因为在线段内部，且，由分点关系得、. 将代入，得，所以. 又，故. 反之，在该椭圆上取、，两段焦半径和弦长满足原题关系. 例8 两条共焦点曲线上的同横坐标定比点 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点. 点在椭圆第一象限部分，点在双曲线右支第一象限部分，且两点横坐标相同. 已知. （1）求两点的共同横坐标. （2）判断两点是否重合，并求两点坐标及共同的焦半径比值. 答案 （1）两点横坐标均为；（2），共同比值为. 分析 （1）两条曲线的焦半径坐标式不同，把比值相等化为横坐标方程. （2）分别代入两条曲线求正纵坐标，再计算比值. 详解 （1）两条曲线均有. 设共同横坐标为，由第一象限及右支条件得. 椭圆上两条距离为、；双曲线右支上为、. 于是. 两分母均为正，交叉相乘整理得，故，符合范围. （2）椭圆上；双曲线上. 两点均在第一象限，所以，从而两点重合. 此时椭圆上两条焦半径为、，双曲线上同样为、，共同比值为. 04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 类型一 坐标式 训练01 由横坐标直接求右焦半径 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且横坐标为. 则（ ） A. B. C. D. 答案 A 分析 确定离心率后，使用右焦半径的坐标式. 详解 、、，所以. 训练02 由一条焦半径求椭圆上的两个点 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左焦点为. 若且，则的坐标为________. 答案 或 分析 先由左焦半径求横坐标，再代入椭圆方程，保留两个纵坐标. 详解 ，故，解得. 代入得，所以. 训练03 由焦半径平方和确定象限内的点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆第二象限部分，且. 则的坐标为________，________. 答案 ； 分析 利用两条焦半径之和与平方和先求它们的乘积，再用坐标式确定横坐标平方，最后按象限选取符号. 详解 、，故两条焦半径为、. 因而，得. 第二象限取. 代入椭圆方程得，故. 又两条焦半径之和为，所以. 训练04 双曲线左右支的焦半径表达式辨析（多选） 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为，. 下列结论正确的是（ ） A. 若在右支，则 B. 若在左支，则 C. D. 答案 ACD 分析 分左右支写出距离，再分别检验恒等式. 详解 、、. 右支有、，所以，A正确. 左支，并非，B错误. 两支均满足，C正确；右支和为，左支和为，统一为，D正确. 训练05 象限限制下焦半径线性组合的范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆的中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程. （2）点在椭圆第一象限部分运动，求的取值范围. 答案 （1）；（2）取值范围为. 分析 （1）由短半轴与半焦距确定长半轴. （2）把距离组合表示为横坐标的一次式，并保留第一象限带来的严格范围. 详解 （1）、，所以，所求椭圆为. （2）. 第一象限部分满足，所以表达式的范围为. 两端分别对应被排除的短轴端点或右顶点，均不能取到. 训练06 共焦点的双曲线与抛物线（多选） 基础 海南中学2024—2025学年第一学期期中考试高二数学 第9题 选编 抛物线（）与双曲线有相同的焦点，点在上，则下列结论正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线为 C. D. 点到焦点的距离为 答案 ACD 分析 先求双曲线的焦点和离心率，再由抛物线焦点坐标确定参数，利用抛物线定义求点到焦点的距离. 详解 对双曲线，、、，故，A正确. 渐近线为，B错误. 抛物线的焦点为，因，它与双曲线的右焦点重合，所以，C正确. 抛物线准线为，点的横坐标为，到准线的距离为，故到焦点的距离也为，D正确. 两个可能的纵坐标均符合条件. 训练07 抛物线准线、圆的切线与焦半径的比较（多选） 综合 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）第10题 选编 抛物线的准线为，为上动点. 过作圆的一条切线，为切点；过作的垂线，垂足为. 则（ ） A. 与圆相切 B. 三点共线时， C. 时， D. 满足的点恰有个 答案 ABD 分析 先求准线并由抛物线定义把换成焦半径. 共线时确定点坐标求切线长；其余选项用坐标数量积或距离平方等式判断. 详解 设. 抛物线焦点为，准线为；圆心为、半径为. 圆心到准线的距离为，所以与圆相切，A正确. 当三点共线时，因水平且，得点的纵坐标为，由抛物线方程得. 此时，所以切线长，B正确. 若，则，得或. 取，则，、，数量积为，所以C错误. 由抛物线定义. 条件等价于. 联立，整理得，即. 解得，两个纵坐标互不相同，分别确定一个，故恰有两个点，D正确. 所有抛物线上的点均在圆外：若，则且等号条件不成立；若，则，所以. 因而上述点均可以作圆的切线. 类型二 角度式 训练08 以正方向夹角求椭圆焦半径 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的右焦点为，. 向量与向量的夹角为，且. 则（ ） A. B. C. D. 答案 A 分析 角的一边是轴正方向，应使用分母为的公式. 详解 、，所以. 训练09 双曲线右支的方向与距离 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的右焦点为，点在右支上. 向量与向量的夹角为，且. 则________. 答案 分析 先核对分母为正，再用双曲线右支的角度式. 详解 、，且，满足右支的方向条件. 因此. 训练10 方向参数的取值不能越过渐近方向 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的右焦点为. 点在右支上，向量与向量的夹角为，记，并要求. （1）求的取值范围，并用表示. （2）若，求的取值范围. 答案 （1），；（2）. 分析 （1）将分母为正与合并，得到真实方向范围. （2）在正分母条件下解距离不等式，并与（1）取交集. 详解 （1）、，故，且. 联合得. 该范围内由角度式均能得到右支上的点. （2）等价于，得. 与（1）合并得. 训练11 抛物线焦点弦中两条焦半径成定比 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两个不同点，且. （1）求弦长. （2）求直线的方程. 答案 （1）；（2）或. 分析 （1）利用焦点位于弦内部与倒数关系求两条焦半径. （2）先求端点的横坐标和纵坐标，再由焦点与端点确定直线. 详解 （1）方程为，所以、. 焦点在弦内部，由及，得、. 因此. （2）由，得，进而. 过与的直线斜率为，所以直线为. 这两条直线与抛物线的另一交点分别为，对应焦半径为，符合原比值条件. 类型三 定比模型 训练12 同一焦半径定比下点的位置与对称性（多选） 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为，且. 下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标为 B. 符合条件的点恰有两个 C. 设为原点，则 D. 若为关于轴的对称点，则 答案 ABD 分析 先确定横坐标与两条焦半径，再由椭圆方程确定点数及到原点的距离；关于轴对称会交换两条焦半径. 详解 由两距离之和为，得、. 再由，得，A正确. 代入椭圆方程得，故恰有两个点，B正确. 又，所以，C错误. 关于轴对称后，两个焦点对应的距离互换，故比值成为，D正确. 训练13 双曲线右支上给定定比的点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在位于第一象限的部分上，且，则的坐标为________，________. 答案 ； 分析 联立距离差与定比先求焦半径，再由右支坐标式求横坐标. 详解 右支有，所以. 又，故，得. 代入双曲线方程得；第一象限取. 训练14 允许顶点与排除顶点时的存在条件 综合 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆满足，左、右焦点为，离心率为. （1）若在整个椭圆上，焦半径比值能取到，但不能取到，求的取值范围. （2）若只允许在椭圆上且，仍要求该比值能取到而不能取到，求的取值范围. 答案 （1）；（2）. 分析 将比值的可取得范围与“能取得”和“不能取得”分别对应；再检查比值端点是否由顶点给出. 详解 （1）在整个椭圆上，比值上端为，且可取得. 比值能取到而不能取到，等价于. 解得. （2）排除长轴顶点后，比值上端不能取得. 能取到要求，不能取到要求. 因而，解得. 训练15 同一比值在椭圆与双曲线上能否取得 综合 原创经典题 本讲重新编拟 椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点. （1）求这样的正数的范围：分别存在和，使. （2）当且的纵坐标均为正时，求两点坐标. 答案 （1）；（2），. 分析 （1）分别求两条曲线焦半径比值的完整范围，再取交集，特别检查比值为的情况. （2）分别利用定义与定比确定两点的横坐标，再求正纵坐标. 详解 （1）椭圆的离心率为，故焦半径比值范围为. 双曲线离心率为，左、右支比值范围分别为和. 所以共同可取得的正数为. 其中虽可在椭圆上取得，却不能在双曲线上取得. （2）共同半焦距为. 椭圆上两条焦半径的和为、比值为，所以，由得. 代入得. 双曲线上比值大于，点必在右支. 由距离差为、比值为，得. 再由，得，代入双曲线方程取正纵坐标，得. 两点分别满足所给定比条件. 训练16 将焦半径定比与等距点的分点关系结合 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点为，点在位于第一象限的部分上. 线段上有一点满足. 记. （1）用表示点的横坐标及比值，并写出的取值范围. （2）若，求的坐标. 答案 （1），，；（2），. 分析 （1）等距条件确定点在两焦点的垂直平分线上，再利用同一直线上的横坐标比例求距离比. （2）先由指定距离比求或横坐标，再由椭圆方程和分点关系求两点. 详解 （1）、，所以，解得. 因第一象限中，故. 由，点在直线上. 设，因、且，有. 因而. （2）由该比值为，得. 代入椭圆方程并取正纵坐标，得. 又，故. 两点均满足题设. 05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 把焦半径当成带正负号的代数式 先把长度写为，再依据曲线和分支使用正值表达式. 双曲线左右支使用同一组一次式 右支使用、，左支使用、. 没有说明焦点角的一边方向 先由或实际角的定义列式，再整理分母. 算出横坐标就认定点存在 代入曲线方程并检查纵坐标为实数；再核对分支、象限及等限制. 定比问题只写必要条件 核对比值的完整范围以及端点是否可取；必要时给出相应点证明充分性. 把双曲线比值的极限当作可取得的值 右支的可以任意接近，但不能等于. 完成后的自查 □ 能够从圆锥曲线定义与距离平方差推导坐标式，而不只记忆公式. □ 能够明确焦点处角的一边方向，检查角度式的分母和曲线分支. □ 能够把距离定比转化为横坐标范围，说明比值和离心率端点的开闭. □ 能够根据题设限制判断点的个数，并逐一核对实际可取得的位置. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $