第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第12节　利用导数研究函数的极值、最值

[必备知识]

1．函数极值的概念

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是　极大值　.

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是　极小值　.

2．求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)求导函数f′(x)．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果　左正右负　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果　左负右正　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

(4)得极值，由表得极大值与极小值．

3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　.

(2)将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值．

4．利用导数求解实际问题中的优化问题

生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题

→用导数解决数学问题→优化问题的答案．

利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：

(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．

(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．

(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．

1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点．

[自主诊断]

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　)

(2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)

(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)

(4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)

(5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　)

(6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×

[小题查验]

1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)

A．x＝1　　　　　　　　　B．x＝－1

C．x＝1或－1或0  D．x＝0

解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3，

∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得

x＝0或x＝1或x＝－1.

又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，

∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．]

2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　)

A．1，－3  B．1,3

C．－1,3  D．－1，－3

解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b，

∴f′(1)＝3a＋b＝0.①

又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.②

联立①②解得经检验符合题意．]

3．(多选题)定义：设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有(　　)

A．a＝，b＝－1

B．函数f(x)既有极大值又有极小值

C．函数f(x)有三个零点

D．y＝f(x)在区间(1,2)上单调递减

解析：ABD　[f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)，f′(x)＝3ax2＋2bx，f″(x)＝6ax＋2b，令f″(x)＝6ax＋2b＝0，得x＝－，已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(1,1)．

∴，解得a＝，b＝－1，A正确；

所以f(x)＝x3－x2＋，由f′(x)＝x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，且当x＜0或x＞2时，

f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，

在(0,2)上单调递减，D正确；

∴函数f(x)既有极大值f(0)＝，

又有极小值f(2)＝，B正确；

∵极小值f(2)＝＞0，∴函数f(x)不可能有三个零点，C错误．]