第2章 第10节 导数的概念与计算（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第10节　导数的概念与计算

[必备知识]

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，

即f′(x0)＝ ＝　　.

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　.相应地，切线方程为　y－y0＝f′(x0)(x－x0)　.

2．函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.

3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　；

(2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　；

(3)′＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与　u对x　的导数的乘积．

1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．

2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.

3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　)

答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √

[小题查验]

1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)

A．xsin x　　　　　　　 B．－xsin x

C．xcos x  D．－xcos x

解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．]

2．已知函数f(x)的导函数是f′(x)＝，则函数f(x)的图象可能是(　　)

答案：B

3．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1  B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3  D．y＝2x＋1

解析：B　[先求函数的导函数f′(x)＝4x3－6x2，则由导数的几何意义知在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝－2，又因为f(1)＝－1，由直线方程的点斜式得切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得y＝－2x＋1.]

4．曲线y＝在点处的切线方程为(　　)

A．y＝x  B．y＝x

C．y＝x＋  D．y＝x＋

解析：C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，

因为y＝，

所以y′＝＝，

所以k＝y′|x＝1＝，

所以切线方程为y－＝(x－1)，